精品解析：福建省龙岩第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

龙岩一中2029届高一上学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，所以，所以，，所以. 2. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，，此时，所以A错误. 对于B，当时，，所以B错误. 对于C，因为，两边同时乘正数，不等号方向不变，所以，所以C正确 对于D，当时，，此时，所以D错误. 3. 函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，有意义，则解得. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由命题，得命题. 6. 已知函数，若，则（   ） A. 或2 B. 或0 C. 或0 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，结合基本不等式的性质，运用换元法分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数单调递增，有； 当时，，当且仅当，即时取等号； 因此有， 令，则，因此，或， 当时，即，显然，因此，解得； 当时，即，显然，因此，解得； 综上所述：或. 7. 函数的值域是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再利用换元法并结合二次函数性质求出值域. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数为， ，而， 因此，解得，所以原函数的值域为. 8. 已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据单调性定义得到在上为减函数，再由的图象关于点中心对称，结合，得到，最后根据分式不等式的解法，结合函数单调性得到的解集为. 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为8 C. 的最小值为15 D. 的最小值为32 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式变形分析即可. 【详解】对于A，因为， 令，则，解得，所以， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，因为，故最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为， 所以 ，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确； 11. 已知函数的定义域为,是奇函数,是偶函数,且当时,则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是奇函数,是偶函数得到的对称中心与对称轴，进而判断的周期为4.在区间上利用对称中心求出.利用周期和函数关系式化简求解. 【详解】对于A,B,由是奇函数可得,即.令,则,,因为,所以,解得,A选项正确,B选项错误； 对于C,由是偶函数可得,又,则,所以,C选项正确； 对于D,因为,所以函数的周期,, 所以, 已知时,,则. 因为,令,解得. 故, D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合满足，可知集合必包含元素，可能包含元素， 则符合条件的集合个数即为集合的子集个数，即为. 13. 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，得. 当时，不等式的解为，不符合题意； 当时，解不等式得，所以不等式的解集为， 解集中最多2个正整数，不符合题意； 当时，解不等式得，所以不等式的解集为， 解集中恰有3个正整数，则应满足，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 14. 设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，根据集合的交集运算，即可求解； （2）由条件可确定，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 解不等式，得，故. 当时，集合的不等式为， 解得 ，故. 因此， . 【小问2详解】 ∵，∴. 对于集合，不等式，可因式分解为 . ①当时，.要使，只需，这与1矛盾，故无解. ②当时，，显然成立. ③当时，.要使，只需，即. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）证明：设，则， 因为，所以，，， 所以，即，即在上单调递减. 因为，，所以在上的值域. 【解析】 【分析】（1）用换元法求解析式. （2）用定义法证明单调性，再结合单调性即可求出值域. 【小问1详解】 由，令，则， 则有，即. 【小问2详解】 略 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元 【解析】 【分析】（1）将三点代入，即可求出，进而根据题意求解； （2）根据二次函数、基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 将三点代入， 得，解得， 则， 依题意，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值485. 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元. 18. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值 （2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由不等式恒成立限定得出满足的表达式，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0， 则； 【小问2详解】 将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增， 只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或， 即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增， 只需，解得或， 即， 综合①②③可知：的取值范围为. 19. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 【答案】（1），； （2）①集合具有性质，理由如下： 因为，所以． 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 综上可得，集合具有性质； ②的最小值为，所有可能取值是、、、、. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可写出与； （2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论； （ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解. 【小问1详解】 解：由题中定义可得，. 【小问2详解】 ①略 ②设集合，不妨设． 因为为正整数，所以，． 因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且， 所以．所以． 因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且， 所以，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 同理可知，，． 若，则，所以． 当时，若， 则取，可知不存在，使得， 所以，解得． 又因为，所以． 经检验，当、、、、时，集合符合题意． 所以的最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2029届高一上学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（   ） A. 或2 B. 或0 C. 或0 D. 或 7. 函数的值域是（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为8 C. 的最小值为15 D. 的最小值为32 11. 已知函数的定义域为,是奇函数,是偶函数,且当时,则（    ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 13. 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是______． 14. 设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值 （2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $