精品解析：福建省永定第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试题

永定一中2025级高一第一次阶段考试数学科试卷 一、单选题 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，则有，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：B. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C. 考点：全称命题与存在性命题. 3. 定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D． 考点：元素的互异 点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 若则一定有 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 7. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果. 【详解】由题得，， 由题意可知若则且，若则且， 若则，若则，而元素5没有限制可或. 综上，集合A可为：，，，，，，，. 所以集合A的个数共8个. 故选：B. 8. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 二、多选题 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义,只需对应关系和定义域一致,即可判断为同一个函数. 【详解】关于选项A,因为对应关系和定义域一致,所以A是同一个函数; 关于选项B,因为的定义域为,定义域为R,定义域不一致, 所以B不是同一个函数; 关于选项C,因为对应关系和定义域一致,所以C是同一个函数; 关于选项D,因为的定义域为,可得, 定义域为, 定义域不一致,所以D不是同一个函数. 故选:AC 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，能推出，而不能推出，因为也满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项正确； 对于B，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，两个三角形全等则面积一定相等， 所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，B选项正确； 对于C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C选项错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知集合，，且，则___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 13. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可． 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 四、解答题 15. （1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 【答案】 （1）证明： （当且仅当等号成立） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证； （2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果. 【详解】（1）略 （2） ∴． 由，得①． 由，得②． 16. 设集合，或. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入集合A中，先求，再求； （2）由，分和两个类型讨论. 【小问1详解】 若，则， 由或，得， 则； 【小问2详解】 因为，当时，，解得，符合题意; 当时，有①或② ， 解①得，解②得， 因为， 所以实数的取值范围. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解. （2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 二次函数，则 ，而，于是，， 解得，则，又，解得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式 令，则，由， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】（1） （2） （3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【解析】 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值； （2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案； （3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知，当时，， ∴，解得：， 【小问2详解】 由（1）知， 故 ， 化简得：． 【小问3详解】 ， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】（1）是“完全集”，理由如下： 集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）； （3） 证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可； （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定一中2025级高一第一次阶段考试数学科试卷 一、单选题 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若则一定有 A. B. C. D. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 7. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 8. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知集合，，且，则___________． 13. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 四、解答题 15. （1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 16. 设集合，或. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $