学易金卷：九年级数学期中模拟卷·拔高卷（浙江专用，新教材浙教版九上全册：二次函数+概率+圆+相似三角形）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 4 32 -5-43219 13345 2 19.(8分) 20.(8分) D A C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D B 22. (10分) Ci D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(10分) 24.(12分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 4 5 6 9 10 Q C C 不 C D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.5 12.160 13.6m 14.3,2或-9，-2 15.-4 16.①③④. 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 17. 【答案】(1)解：设a=4k,b=3k,c=5k{k≠0.(2分) a+2b-4k+6k=10k=-2.(2分) a-3b 4k-9k-5k (2)解：设a=4k,b=3k,c=5kk≠0. .a+b+c=72 ∴.4k+3k+5k=72,解得k=6,(2分) ∴.a=24,b=18,c=30, .∴.2a-b+c=2×24-18+30=60.(2分) 18. 【答案】(1)1，-4,0(2分) 4 3 2 5-4-3-20 12B45x -4 (2) (4分) (3)解：结合图象，当y≤0时，X的取值范围是-1≤x≤3；(2分) 19. 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】(1)解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为P=2 (2分) 31 (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下： 甲 红1 红2 白 乙 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，白) 红2 (红2，红1) (（红2，红2) (红2，白) 白 (白，红1) （白，红2) (白，白) 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种.(4分) p甲胜)=号，P(乙胜)4 9 5×4 5.4 99 (或>)， 99 .这个游戏规则对甲、乙双方不公平.(2分) 20. 【答案】(1)证明：，AC为直径， ∠ABC=90°， .∠BAC+∠BCA=90, .BE⊥AC, .∠BEC=90, .∠CBE+∠BCA=90,(2分) ∴.∠CBE=∠BAC, :B为CD的中点 ·BD=BC ∴.∠BCF=∠BAC, ∴.∠BCF=∠CBE, BF=CF」 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)BE的长为 V5 5 .(2分) (2)解：“B为CD的中点， BC=BD' .BC=BD=2, 又∠ABC=90,AB=4, 六AC=VAB+BC=V4+2=26:(2分) BE⊥AC, ∴5号ABBC- AC-BE, :BE=ABBC=4×245 AC29V55· (2分) 21. 【答案】(I)证明：CD⊥BD, ∴.∠ADF=∠CDB=90, ∴.∠FAD=90°-∠F=∠BCD, .AF·CD=BC·AD, AD_CD ·AFBC ∴.△ADF一△CDB,(2分) .∠F=∠B, .∠FAD=∠EAB, .∴.∠FDA=∠BEA=90°， ∴.AE⊥BC;(2分) (2)证明：，BE=CE,AE⊥BC, .'AB=AC, ∴.∠B=∠1， 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 又∠BDC=∠AEC=90° ∴.△BCD~△CAE,(2分) BC BD ·ACCE ∴.BCCE=BD·AC, ∴.BC·2CE=2BD·AC, BE=CE, ∴.BC=2CE, ∴.BC2=2BD·AC.(2分) 22. 【答案】(1)解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为3,4， 设抛物线解析式为 y=ax-32+4' 代入出手点P0,c=0,2.2, 可得2.2=a0-32+4 解得a=- 5 所以抛物线解折式为y=一吉x-3+4,1分) 当x=6,y吉6-3+4=言×9+4号-2. 因为2.2<2.95，不满足2.95≤n≤3.10， 答：不能命中篮筐.(2分) (2)解：已知向阳向前走了t米， 侧揽物线向右平移：米解析式变为y=一吉x-3一+4,1分) 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 此时篮球恰好经过篮筐中心点A6,3, 代入得3=引6-3-+4， 整理得3-t=5即3-t=±5 解得，=3+5，t,=3-5(2分) 当t=3+V5时，顶点横坐标为3+t=6+V5>6, 不符合“向前走”的实际情境，舍去 答：t的值为3-V5」 (3)解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为x=1, 已知保持出手高度c=2.2米， 则抛物线顶点横坐标为1+3=4， 所以解析式为y=一 x-4+4 当x=6时，y=- 6-4+4=-日×4+4=5=32 5 5 因为3.2>3.1，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐.(2分) 设改变出手商度后，地物线解析式为y=一x-4+4+m, 当x=6时，y=言×6-4+4+m=号+4+m=32+m, 4 当篮球的高度(n米)满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐， 则2.95≤3.2+m≤3.10，即-0.25≤m≤-0.1， 出手点垒标为1，c小.代入解析式c=一号×1-4+4+m=-×g+4+m=22+m, 所以1.95≤c≤2.1， 答：不能命中篮筐，若要命中，则c的取值范围是1.95≤c≤2.1.(2分) 23. 【答案】(1)解：(1)由题意，可知抛物线的顶点坐标为1,3.(1分) ,直线y=kx+1经过抛物线的顶点， .∴，将点1,3代入直线y=kx+1中，得3=k+1,解得k=2.(1分) 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)(a)解：由题意，m=-1此时抛物线的解析式为y=-X-1?+3 .-1<0, ∴，抛物线开口向下，且当x=1时，y有最大值3，当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增 大而减小 当n≤X≤n+2时，二次函数y=-x-1P+3的最大值为-2（1分) ①当n+2<1即n<-1时，-n+2-12+3=-2 解得n=-1-5或n=-1+5(舍去)： ②当n<1<n+2根据题意，得最大值为3，与二次函数y=-x-1?+3的最大值为-2矛盾，不存在： ®当n>1时，-n-1P+3=-2解得n=1+5或n=1-5（舍去)， 综上所述，n的值为-1-V5或1+V5.(3分) (b)解：“m=-1·抛物线的表达式为 y=-x-12+3 ,抛物线向右平移h个单位长度， :新抛物线的表达式为y=-x-1-h+3 ∴.对称轴为直线x=1+h>1,且当x=1+h时，函数取得最大值，且最大值为3，(2分) ,函数y在-1≤x≤2的范围内有最大值2， ∴.x=1+h不在-1≤x≤2中， .x=1+h>1, ∴.-1≤x≤2一定在直线X=1+h的左侧，且y随x的增大而增大， ∴y在x=2处取得最大值， 六y=-2-1-h+3=2 解得h=2或0（舍去）. .h=2.(2分) 24. 【答案】(I)证明：，E是CD的中点， ∴.CE=DE 618 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠CAE=∠DAE, ∴.∠CAB=2∠CAE ∴.∠COF=∠CAB(1分) ..OF AB, 8谣 .∵CO=AO ∴CF=BF, ∴.F是CB的中点.(2分) (2)证明：连接CE,连接CD, .:∠ACB=90° B .∠OCE+∠ECF=90° .AC是⊙O的直径， ∴.∠AEC=90, .∴.∠OCE+∠CAE=90°. .∴.∠ECF=∠CAE, ∴.∠DAE=∠ECF (2分) ,四边形ACED是⊙O的内接四边形， .∠ADE+∠ACE=180. OC=OE, ∴.∠OCE=∠OEC .∠CEF+∠OEC=180°， ∴.∠ADE=∠CEF, ∴.△ADE一△CEF, AE DE ·CFEF .∴.AE·EF=DE·CF. 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CF=BF. ∴.AE·EF=DE·BF,(2分) (3)解：.AC=2,BC=4, ∴.OC=OE=1,CF=2, ∴.AB=2V5,OF=5. .EF=V5-1 (2分) .AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=90, ∴.∠ADC=∠ACB=90 .'∠CAD=∠BAC ∴.Rt△ADC一Rt△ACB ..AD-AC ·ACAB .AD=25.(2分) 5 .'△ADE~△CEF, DE_AD ·EFCE DE:CE=AD·EF=2-25 5 CE=DE, ∴CE=DE DE2=2-25.1分) 5 818 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. _______________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册全册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 4．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 6．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 8．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 9．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 10．如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数），其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中心角为的正多边形边数为________． 12．已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 13．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 15．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 16．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 17．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．已知某二次函数中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 5 … (1)根据表格，顶点坐标为__________，的值为__________； (2)在下面的平面直角坐标系中描点连线画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，的取值范围是__________． 19．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 20．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 22．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 23．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 24．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． (1)求证：F是的中点； (2)求证：； (3)若，，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册全册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是一次函数，不符合． B．的自变量最高次数为3，不符合． C．是二次函数，符合． D．含分式，不是整式函数，不符合． 3．下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：选项：买张中奖率为的彩票不一定中奖，为随机事件，不符合题意； 选项：正月十五晚上可能因天气等原因看不到圆月，为随机事件，不符合题意； 选项：打开电视机不一定在播放广告，为随机事件，不符合题意； 选项：口袋中装有个红球和个白球，白球仅有个，摸出个球时，最多有个白球，故必有红球，是必然事件，符合题意． 4．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 6．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 7．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 8．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 9．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 10．如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数），其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置可判断①②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象与轴交点位置可判断④，由函数最大值性质可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 抛物线与轴的一个交点在和之间， 当时，， 对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，，即， 将代入得，故③错误； 由图象可得，抛物线与轴的左交点在和之间，右交点在和之间， 当在左交点左侧时，； 当在右交点右侧时，， 时，存在使，故④错误； 由图象可得时，函数值取最大值， 即对任意实数，都有， ，故⑤正确． 综上，正确的说法是①②⑤，共个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中心角为的正多边形边数为________． 【答案】5 【详解】解：， 这个正多边形的边数为． 12．已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 【答案】 【分析】已知比例尺和图上距离，根据比例尺定义计算实际距离后换算单位即可． 【详解】解：设两座城市之间的实际距离为， 根据比例尺的定义可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 即这两座城市之间的实际距离为 13．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键．根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是. 故答案为：. 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 15．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【分析】两条抛物线关于直线对称，则上任意点关于直线的对称点都在上，利用对称点的坐标关系得到等式，对应系数相等求出和，即可得到的值． 【详解】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上， ∴， 展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，， 解得，， ∴． 16．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④． 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理可得，据此可判断①；证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和圆内接四边形的性质可得的度数，据此可判断②；可证明，据此可判断③；取的中点T，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，最小值为的值，利用等面积法可求出的长，据此可判断④． 【详解】解：①∵圆心O到的距离等于， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴；故①正确； ②∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴；故②不正确； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴；故③正确； ④取的中点T，连接， ∵， ∴， ∵点T是的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值， ∵是等边三角形，点T是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 17．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】（1）解：设，，．（2分） ．（2分） （2）解：设，，． ， ，解得，（2分） ，，， ．（2分） 18．已知某二次函数中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 5 … (1)根据表格，顶点坐标为__________，的值为__________； (2)在下面的平面直角坐标系中描点连线画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)，0（2分） (2)（4分） （3）解：结合图象，当时，的取值范围是；（2分） 19．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为．（2分） (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种．（4分） ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．（2分） 20．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（2分） ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为．（2分） （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴．（2分） 21．如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ，（2分） ， ， ， ；（2分） (2)证明：， ， ， 又， ，（2分） ， ， ， ， ， ∴．（2分） 22．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为，（1分） 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐．（2分） （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为，（1分） 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得，（2分） 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐．（2分） 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是．（2分） 23．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为．（1分） ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得．（1分） （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为．（1分） ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或．（3分） （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，（2分） ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴．（2分） 24．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． (1)求证：F是的中点； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵E是的中点， ∴ ， . （1分） ， ， ， 是的中点．（2分） (2)证明：连接，连接， 是的直径， ， . ， . （2分） ∵四边形是的内接四边形， . ， . ， ， ， . . ，（2分） （3）解：， ， . . （2分） 是的直径， ， . ， . （2分） ， ， ， ．（1分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册全册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 4．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 6．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 8．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 9．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 10．如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数），其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．中心角为的正多边形边数为________． 12．已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 13．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是________．（结果保留） 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 15．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 16．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题每题12分。 17．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．已知某二次函数中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 5 … (1)根据表格，顶点坐标为__________，的值为__________； (2)在下面的平面直角坐标系中描点连线画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，的取值范围是__________． 19．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 20．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 22．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 23．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 24．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． (1)求证：F是的中点； (2)求证：； (3)若，，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $