2026-2027学年浙教版数学九年级上册【期中素养培优模拟卷】（浙江专用）

浙教版九年级上册【期中素养培优模拟卷】2026-2027学年（浙江专用） （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品的原价是 元，若每次降价的百分率都为 ，则连续两次降价后的价格 （单位：元）关于 的函数表达式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．对于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上　　B．图象的顶点坐标是 　　C．图象的对称轴是直线 　　D．当 时， 有最小值 3．已知点 、、 都在二次函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．如图，转盘 被分成 个大小相同的扇形，分别标有数字 、、、；转盘 被分成 个大小相同的扇形，分别标有数字 、、．分别转动转盘 、 各一次，当转盘停止转动时，记下指针所指扇形上的数字（指针指向分界线时重新转动）．则这两个数字之和为 的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知抛物线 与直线 交于点 、，则线段 的长是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．某商店以每件 元的价格购进一批商品．若每件售价定为 元（），则每天可卖出 件．设每天获得的利润为 元，则 的最大值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．下列事件： ①在标准大气压下，水加热到 ℃ 时沸腾；②抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；③任意画一个三角形，其内角和是 °；④射击运动员射击一次，命中 环．其中是随机事件的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 8．如图，正方形 的边长为 ，、 分别是边 、 的中点．向正方形 内随机投掷一点，则该点落在 内（含边界）的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．若直线 与该图象有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．已知二次函数 的图象经过点 和 ．下列结论： ①；②；③该图象的对称轴是直线 ；④当 或 时，．其中正确的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一辆汽车刹车后行驶的距离 （单位：m）与行驶时间 （单位：s）满足 ，则汽车从开始刹车到停止共行驶 ＿＿＿＿ m． 12．某学习小组做“用频率估计概率”的试验：在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，每次随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀．多次试验的部分数据如下表．根据表中数据，估计摸到红球的概率约为 ＿＿＿＿（结果精确到 ）． 摸球次数 100 200 500 1000 2000 摸到红球的次数 28 61 148 302 601 13．将抛物线 绕它的顶点旋转 ° 后，再向右平移 个单位，所得抛物线的函数表达式是 ＿＿＿＿． 14．已知二次函数 ．将该函数的图象沿 轴向上平移 （）个单位后，所得图象与 轴没有公共点，则 的取值范围是 ＿＿＿＿． 15．定义：若二次函数 （）的图象与 轴的两个交点关于原点对称，则称这个二次函数为“对称型二次函数”．若二次函数 是“对称型二次函数”，且它的图象经过点 ，则 的值是 ＿＿＿＿． 16．甲、乙两人做游戏：将分别标有数字 、、、 的四张卡片（除数字外完全相同）背面朝上洗匀，两人各随机抽取一张（不放回）．若两张卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方 ＿＿＿＿（填“公平”或“不公平”）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）计算： (1) 已知二次函数 ，求它的图象与 轴的交点坐标及它的对称轴； (2) 已知二次函数 的图象经过点 ，且当 时 ，当 时 ，求 、、 的值； (3) 求抛物线 关于 轴对称的抛物线的表达式． 18．（8分）已知二次函数 ． (1) 求该函数图象与 轴的交点坐标，并写出它的对称轴； (2) 在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3) 若点 在该函数图象上，求 的值． 19．（8分）已知二次函数 的图象经过点 、． (1) 求 、 的值； (2) 设该图象的顶点为 ，求 的面积； (3) 若直线 与该图象交于点 、，求线段 的长． 20．（8分）某隧道横截面是抛物线形，隧道宽 m，最高处距路面 m．以路面所在直线为 轴、隧道的对称轴为 轴建立平面直角坐标系． (1) 求这条抛物线的函数表达式； (2) 一辆宽 m、高 m 的货车能否通过这个隧道？请通过计算说明理由． 21．（8分）一个不透明的箱子中装有分别标有数字 、、 的三个小球（除标号外都相同）．从箱子中任意摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再任意摸出一个小球． (1) 请用列表或画树状图的方法，表示所有可能的结果； (2) 求两次摸出的小球的数字之积为偶数的概率； (3) 若规定两次摸出的小球数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜，请判断这个游戏是否公平，并说明理由． 22．（10分）如图，在 中，°， cm， cm．点 从点 出发，沿 向点 以每秒 cm 的速度运动；同时点 从点 出发，沿 向点 以每秒 cm 的速度运动．当点 到达点 时，两点都停止运动．设运动时间为 秒． (1) 当 为何值时， 的面积等于 cm²？ (2) 设 的面积为 （cm²），求 关于 的函数表达式，并写出 的取值范围； (3) 求 面积的最大值． 23．（8分）如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 为坐标原点，点 在点 的右侧），顶点为 ．点 是该抛物线在第一象限内的一点． (1) 求点 的坐标及顶点 的坐标； (2) 用含 的代数式表示 的面积 ，并求 的最大值； (3) 当 的面积为 时，求点 的坐标． 24．（10分）某公司销售一种新型电子产品，成本为每件 元．经市场调查，该产品在一个月内的销售量 （件）与售价 （元/件）满足 （）．设该公司每月销售这种产品的利润为 （元）． (1) 求 与 的函数表达式； (2) 当售价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ (3) 若受市场调控，规定该产品的售价不能超过 元/件，求此时每月获得的最大利润． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版九年级上册【期中素养培优模拟卷】2026-2027学年（浙江专用） （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品的原价是 元，若每次降价的百分率都为 ，则连续两次降价后的价格 （单位：元）关于 的函数表达式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 C． 【解析】 第一次降价后的价格为 元； 第二次降价是在第一次降价后价格的基础上再降低 ，所以第二次降价后的价格为 元． 即 ．故选 C． ———————————————————————————————— 2．对于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上　　B．图象的顶点坐标是 　　C．图象的对称轴是直线 　　D．当 时， 有最小值 【答案】故选 C． 【解析】 因为 ，所以图象的开口向下，A 错误； 由顶点式 知，图象的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，所以 B 错误、C 正确； 因为图象开口向下，所以当 时 有最大值 ，D 错误．故选 C． ———————————————————————————————— 3．已知点 、、 都在二次函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 D． 【解析】 因为 ，所以图象开口向上，对称轴是直线 ． 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． 点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ． 因为 ，所以 ．故选 D． ———————————————————————————————— 4．如图，转盘 被分成 个大小相同的扇形，分别标有数字 、、、；转盘 被分成 个大小相同的扇形，分别标有数字 、、．分别转动转盘 、 各一次，当转盘停止转动时，记下指针所指扇形上的数字（指针指向分界线时重新转动）．则这两个数字之和为 的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 C． 【解析】 分别转动两个转盘各一次，共有 种等可能的结果． 其中两个数字之和为 的有 、、，共 种． 所以所求概率为 ．故选 C． ———————————————————————————————— 5．已知抛物线 与直线 交于点 、，则线段 的长是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 令 ，整理得 ，即 ， 解得 或 ． 当 时 ；当 时 ．所以两交点坐标为 、． 所以 ．故选 A． ———————————————————————————————— 6．某商店以每件 元的价格购进一批商品．若每件售价定为 元（），则每天可卖出 件．设每天获得的利润为 元，则 的最大值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 B． 【解析】 由“利润＝(售价−进价)×销售量”得 ， 所以 ． 因为 ，且 在 内，所以当 时 取得最大值 ． 即每天获得的最大利润是 元．故选 B． ———————————————————————————————— 7．下列事件： ①在标准大气压下，水加热到 ℃ 时沸腾；②抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；③任意画一个三角形，其内角和是 °；④射击运动员射击一次，命中 环．其中是随机事件的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 【答案】故选 B． 【解析】 ①在标准大气压下，水加热到 ℃ 时一定沸腾，是必然事件； ②抛掷硬币，正面可能朝上也可能朝下，事先无法确定，是随机事件； ③任意三角形的内角和都是 °，不可能为 °，是不可能事件； ④射击运动员射击一次，可能命中 环，也可能不中，是随机事件． 所以是随机事件的有 ②④，共 个．故选 B． ———————————————————————————————— 8．如图，正方形 的边长为 ，、 分别是边 、 的中点．向正方形 内随机投掷一点，则该点落在 内（含边界）的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 正方形 的边长为 ，所以它的面积为 ． 因为 是 的中点，所以 ，直角 的面积为 ；同理直角 的面积为 ； 在直角 中，，，面积为 ． 所以 的面积为 ． 所以该点落在 内的概率为 ．故选 A． ———————————————————————————————— 9．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．若直线 与该图象有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 ，所以图象开口向上，顶点坐标为 ，即该图象最低点的纵坐标为 ． 直线 是平行于 轴的直线． 当 时，它与抛物线有两个不同的公共点； 当 时，它与抛物线只有一个公共点（即顶点）；当 时，它与抛物线没有公共点． 所以 的取值范围是 ．故选 A． ———————————————————————————————— 10．已知二次函数 的图象经过点 和 ．下列结论： ①；②；③该图象的对称轴是直线 ；④当 或 时，．其中正确的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 【答案】故选 D． 【解析】 因为图象经过点 和 ，所以 、 是方程 的两个根． 由根与系数的关系，，即 ；，即 ．所以 ①、② 都正确； 对称轴是直线 ，所以 ③ 正确； 因为 ，图象开口向上，所以当 或 时图象位于 轴上方，即 ，所以 ④ 正确． 所以正确的结论有 个．故选 D． ———————————————————————————————— 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一辆汽车刹车后行驶的距离 （单位：m）与行驶时间 （单位：s）满足 ，则汽车从开始刹车到停止共行驶 ＿＿＿＿ m． 【答案】 【解析】 ． 因为 ，所以当 时 取得最大值 ． 即汽车从开始刹车到停止共行驶 m． ———————————————————————————————— 12．某学习小组做“用频率估计概率”的试验：在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，每次随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀．多次试验的部分数据如下表．根据表中数据，估计摸到红球的概率约为 ＿＿＿＿（结果精确到 ）． 摸球次数 100 200 500 1000 2000 摸到红球的次数 28 61 148 302 601 【答案】 【解析】 分别计算各次试验中摸到红球的频率： ，，， ，． 可以看出，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率稳定在 附近， 所以估计摸到红球的概率约为 ． ———————————————————————————————— 13．将抛物线 绕它的顶点旋转 ° 后，再向右平移 个单位，所得抛物线的函数表达式是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 ，所以抛物线的顶点坐标为 ，开口向上． 绕它的顶点旋转 ° 后，抛物线的开口方向改变（变为向下），形状和顶点都不变，此时表达式为 ． 再向右平移 个单位，得 ． ———————————————————————————————— 14．已知二次函数 ．将该函数的图象沿 轴向上平移 （）个单位后，所得图象与 轴没有公共点，则 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 沿 轴向上平移 个单位后，所得图象的函数表达式为 ． 该图象与 轴没有公共点，即方程 没有实数根， 所以 ， 即 ，解得 ． ———————————————————————————————— 15．定义：若二次函数 （）的图象与 轴的两个交点关于原点对称，则称这个二次函数为“对称型二次函数”．若二次函数 是“对称型二次函数”，且它的图象经过点 ，则 的值是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 设该图象与 轴的两个交点为 、． 因为它们关于原点对称，所以 ，即 ，所以 ． 由根与系数的关系，，所以 ． 此时函数为 ．因为它的图象经过点 ，所以 ，解得 ． 所以 ． ———————————————————————————————— 16．甲、乙两人做游戏：将分别标有数字 、、、 的四张卡片（除数字外完全相同）背面朝上洗匀，两人各随机抽取一张（不放回）．若两张卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方 ＿＿＿＿（填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【解析】 两人各抽一张（不放回），共有 种等可能的结果． 两张卡片上的数字之和为偶数，需要两张同为奇数或同为偶数． 同为奇数的有 、，共 种；同为偶数的有 、，共 种， 所以数字之和为偶数的共有 种． 所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ． 因为 ，所以这个游戏对双方不公平． ———————————————————————————————— 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）计算： (1) 已知二次函数 ，求它的图象与 轴的交点坐标及它的对称轴； (2) 已知二次函数 的图象经过点 ，且当 时 ，当 时 ，求 、、 的值； (3) 求抛物线 关于 轴对称的抛物线的表达式． 【答案】(1) 与 轴交点为 ，对称轴为直线 ；(2) ，，；(3) 【解析】 (1) 令 ，得 ，所以图象与 轴的交点坐标为 ； 因为 ，，所以对称轴是直线 ． (2) 把 代入 ，得 ； 当 时 ，得 ，即 ； 当 时 ，得 ，即 ． 两式相加得 ，所以 ；代入 ，得 ． 所以 ，，． (3) 抛物线 关于 轴对称，只要把 换成 ， 得 ，即 ． ———————————————————————————————— 18．（8分）已知二次函数 ． (1) 求该函数图象与 轴的交点坐标，并写出它的对称轴； (2) 在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3) 若点 在该函数图象上，求 的值． 【答案】(1) 与 轴交于 、，对称轴为直线 ；(2) 图象见解析图；(3) 或 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 ，，所以图象与 轴交于点 、； 又 ，所以它的对称轴是直线 ． (2) 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ．取 、、、、，对应的 分别为 、、、、，描点、连线，得到开口向上的抛物线（如解析图）． (3) 因为点 在该函数图象上，所以 ，即 ， 所以 ，解得 或 ． ———————————————————————————————— 19．（8分）已知二次函数 的图象经过点 、． (1) 求 、 的值； (2) 设该图象的顶点为 ，求 的面积； (3) 若直线 与该图象交于点 、，求线段 的长． 【答案】(1) ，；(2) ；(3) 【解析】 (1) 因为图象经过点 、，所以 、 是方程 的两个根． 由根与系数的关系，，即 ；，即 ． 所以该函数的表达式为 ． (2) ，所以顶点 的坐标为 ． ，所以 的面积为 ． (3) 令 ，得 ， 解得 或 ， 所以线段 的长为 ． ———————————————————————————————— 20．（8分）某隧道横截面是抛物线形，隧道宽 m，最高处距路面 m．以路面所在直线为 轴、隧道的对称轴为 轴建立平面直角坐标系． (1) 求这条抛物线的函数表达式； (2) 一辆宽 m、高 m 的货车能否通过这个隧道？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ；(2) 能通过，理由见解析 【解析】 (1) 由题意，抛物线的顶点为 ，且经过点 、． 设抛物线的表达式为 ．把 代入，得 ，解得 ． 所以这条抛物线的表达式为 ． (2) 能通过．因为货车宽 m，沿隧道正中间行驶，所以货车两侧所占位置对应的横坐标为 与 ． 当 时，，即距隧道中线 m 处的最大高度为 m． 因为 ，所以货车能通过这个隧道． ———————————————————————————————— 21．（8分）一个不透明的箱子中装有分别标有数字 、、 的三个小球（除标号外都相同）．从箱子中任意摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再任意摸出一个小球． (1) 请用列表或画树状图的方法，表示所有可能的结果； (2) 求两次摸出的小球的数字之积为偶数的概率； (3) 若规定两次摸出的小球数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜，请判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) 共 种等可能的结果，见解析；(2) ；(3) 不公平，理由见解析 【解析】 每次摸球后都放回，所以两次摸球各有 种等可能的结果，共有 种等可能的结果． (1) 所有可能的结果为 、、、、、、、、，共 种． (2) 两次数字之积为偶数，即两次中至少有一次摸到 ． 其中两次数字之积为奇数的只有 、、、，共 种， 所以两次数字之积为偶数的有 种，所求概率为 ． (3) 不公平．两次数字之和为奇数的结果有 、、、，共 种， 所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ． 因为 ，所以这个游戏不公平． ———————————————————————————————— 22．（10分）如图，在 中，°， cm， cm．点 从点 出发，沿 向点 以每秒 cm 的速度运动；同时点 从点 出发，沿 向点 以每秒 cm 的速度运动．当点 到达点 时，两点都停止运动．设运动时间为 秒． (1) 当 为何值时， 的面积等于 cm²？ (2) 设 的面积为 （cm²），求 关于 的函数表达式，并写出 的取值范围； (3) 求 面积的最大值． 【答案】(1) 或 ；(2) （）；(3) cm² 【解析】 由题意， cm，所以 cm；又 cm（）． (1) 的面积 ． 由 ，得 ，即 ， 解得 或 ，都在 内，所以 或 ． (2) ， 的取值范围是 ． (3) ． 因为 ，所以当 时 取得最大值，最大值为 cm²． ———————————————————————————————— 23．（8分）如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 为坐标原点，点 在点 的右侧），顶点为 ．点 是该抛物线在第一象限内的一点． (1) 求点 的坐标及顶点 的坐标； (2) 用含 的代数式表示 的面积 ，并求 的最大值； (3) 当 的面积为 时，求点 的坐标． 【答案】(1) ，；(2) （），最大值为 ；(3) 或 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 或 ，所以 ． 又 ，所以顶点 的坐标为 ． (2) 因为点 在抛物线上，所以 ． 因为点 在第一象限内，所以 ，且 ． 的面积 ． 配方得 ．因为 ，且 ，所以当 时 取得最大值 ． (3) 令 ，整理得 ，解得 或 ，都在 内． 当 时，；当 时，． 所以点 的坐标为 或 ． ———————————————————————————————— 24．（10分）某公司销售一种新型电子产品，成本为每件 元．经市场调查，该产品在一个月内的销售量 （件）与售价 （元/件）满足 （）．设该公司每月销售这种产品的利润为 （元）． (1) 求 与 的函数表达式； (2) 当售价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ (3) 若受市场调控，规定该产品的售价不能超过 元/件，求此时每月获得的最大利润． 【答案】(1) ；(2) 当售价为 元/件时利润最大，最大利润为 元；(3) 元 【解析】 (1) 由“利润＝(售价−成本)×销售量”得 ， 所以 （）． (2) 配方得 ． 因为 ，且 在 内，所以当 时 取得最大值 ． 即当售价定为每件 元时，每月获得的利润最大，最大利润为 元． (3) 当 时，因为抛物线的开口向下、对称轴为直线 ， 所以在 上 随 的增大而增大，所以当 时 取得最大值． 最大值为 （元）． ———————————————————————————————— 学科网（北京）股份有限公司 $