九年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（浙江专用，新教材浙教版九上全册：二次函数+概率+圆+相似三角形）

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 5 6 7 P 9 10 D D 马 D D C D C 二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.12/十二 12.6V5-6M-6+6V5 3.8 14.13 15. 2V5 3 16.-7<b<-6 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 【详解】(1)解：，a:b:c=2:3:4, 设a=2k,b=3k,c=4k,…(2分) ,a+b_2k+3k_5 6+e3k+4k7 …（2分) (2)解：a:b:c=2:3:4, 设a=2k,b=3k,c=4k, .2b-c=8, .6k-4k=8,…(2分) 解得k=4, .a+b+c=2k+3k+4k=9k=36.…(2分) 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分) 【详解】(1①解：二次画数y=X-2.开口向上， -b=0, 3 2a 对称轴是y轴，顶点坐标0，-2， 当x=-3时，y号×-3-2=3-2=1，当x=3时，y号×32-2=1， ∴在直角坐标系中描点：-3,1,0，-2,3,1，用平滑曲线连接，得到抛物线， 6 5 3 -5-4-32-10 345x …（3分) (2)解：二次函数y= 1X-2,开口向上，对称轴是y轴， 当-3≤X≤6时，在对称轴x=0处，取得最小值，即y=-2,…(1分) 当-3≤X<0时，y随x的增大而减小，当x=-3时，y号×-3-2=3-2=1，…1分) 当0≤X≤6时，y随x的增大而增大，当x=6时，y=号×62-2=号×36-2=12-2=10，…1分) 3 3 ,当-3≤X≤6时，离对称轴越远函数值越大， ∴.当x=6时，y取得最大值为10， y的取值范围为：-2≤y≤10.…(2分) 19.(8分) 【详解】(1)解：树状图如下： 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开始 第一次 第二次1234123412341234 和2345345645675678…(2分) 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：1,3,2,2,3,1 甲获胜（记作事件A)的概率PA三6…2分） (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由(1)中的列表可知，两球上的数字之和为5的结果数有4种 心乙获胜（记作事件B)的概率PB二冬- …（2分) 31 ”164’ ∴.甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ,这个游戏规则对甲乙双方不公平.…(2分) 20.(8分) 【详解】(1)证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC=3, 根据折叠可知∠EDF=∠C=60°， .∠ADE+∠BDF=120°，…(2分) .∠A=60°， ∴.∠ADE+∠AED=120°， .∴.∠BDF=∠AED, .∠A=∠B, ∴△AED△BDF.…(2分) (2)解：设BF=X,则CF=BC-BF=3-X, 根据折叠可知DF=CP=3-X,CE=DE, .AD:DB=21,AB=3, .AD=2,BD=1, ,'△AED一△BDF, 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AD=AE_DE BF BD DE …(2分) .2=AE-DE ·X13-X .'.AE=2 DE=23-x DE=CE=213-x) X AE+CE=AC=3, 2+23-x=3. XX 解得x 51 经检验，X= 是所列方程的根。 即BF的长为亏 …(2分) 21.(8分) 【详解】(1)解：每件利润为50+x-35)元，则月销售量为210-7x)件， 六y=(15+x)(210-7x)=-7x2+105x+3150.(1分) ,每件售价不高于70元， .50+x≤70， 解得x≤20. 又，x为正整数， .自变量x的取值范围是1≤X≤20且x为整数.…(1分) (2)解：y=-7x2+105x+3150=-7X- 152 +3543.75 -7<0, ∴.当x=7.5时，y有最大值. .x为正整数，且1≤x≤20， ∴.当X=7或x=8时，y取得最大值3542.…(2分) 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时售价为50+7=57（元）或50+8=58（元）. 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元.…（1分) (3)解：令y=3500,则-7x2+105x+3150=3500, 整理得x2-15x+50=0, 解得X1=5,x2=10, 对应售价为50+5=55（元）或50+10=60（元），…(2分) 二次函数开口向下， .当5≤x≤10时，y≥3500， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元.·(1分) 22.(10分) 【详解】(1)解：如图，连接OC,OD,OE, D B …(1分) ,AB是半圆O的直径，点C,D,E将半圆四等分， ..AC=CD=DE=BE, .∠AOC=∠COD=∠DOE=∠BOE=45°，…(2分) ∠ABP=∠A0C=22.5°，∠DAB=∠D0B=45°， 六∠APB=1800-450-2.50=112.50…(2分) (2)解：如图，连接BD,BE, B …(1分) AB是半圆O的直径，AB=6. ∴.∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°， 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=CD=DE=BE, .'.AD=BD,ACE=BEC, ∴AC=BE,AD=BD,AE=BC,…(2分) ..AD2+BD2=2AD2=AB2=36,AC2+AE2=AC2+BC2=AB2=36, .AD2=18, 六AC2+AD2+AE2=18+36=54…(2分) 23.(10分) 【详解】(1)解：.b=2, ∴.y2=b-1x=x 将(2，m)代入，可得：m=2,…(1分) 将(2,2代入y1=(a-1)x2+2x-a 可得：2=4a-1)+4-a, 2 解得：a= 3 言x*2 3…(2分) 2)解当a=0时.=a-1+bx-a=-+bx=-x-多+安 b 抛物线开口向下，对称轴为直线x=3…（1分) 当X<名时，y随x增大而增大 .b>0, ∴.当X≤0时，y随x增大而增大， 当x=0时，y一4+4=0为最大值：…(2分) (3)解：.y1<y2, 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.(a-1)x2+bx-a<(b-1)x 整理得：（a-1)xX2+x-a<0 令y=(a-1)x2+x-a a>1, .a-1>0, :抛物线y=(a-1)X2+x-a开口向上，…（1分) .y=a(x2-1)-x2+x ∴.x=1时，y=0,即抛物线经过定点(1,0)， :.方程(a-1)X2+x-a=0的-个根是x,=1 g。 8。 当(a-1)x2+x-a<0时， 可得：x<1,…(1分) x>-3, 0.2-3 .1-a<0, 解得a≥ 3 …(1分) 24.(12分) 【详解】(1)证明：①如图所示 7/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H ,四边形ABCD是圆的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， .BC=CD C为弧DB中点， .'.BC=DC, .∠BAC=∠DAC, ∠BAD=2∠DAC,…(1分) 又2∠DAC=∠CQP, .∠CQP=∠BAD, 又∠BAD+∠BCD=180°， .∠CQP+∠BCD=180°， PQ‖BC,即PH‖BE;1分) ②PH‖BE, △DQP一△DCB, 股阳 QH‖CE, ∴.△DQH一△DCE,…(1分) :.QH=DH_DQ CE DE DC DP_QH DB CE …(1分) (2)0△APD是直角三角形，理由： .AB=AB. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADP=∠ACB, ,∠APD=∠BPC, ∴.△APD~△BPC, :A迟=DP BP CP .AP·PC=BP·PD, CE+CPCE-CP=BP.PD. ..CE2-C P2=BP PD, .CE2-CP=AP·PC, 六CE2=CP2+AP-PC=CPCP+AP=CPAC…(2分) ,∠DBC=∠DAC=∠CAB,∠BCP=∠ACB, .△BCP一△ACB BC_CP ACBC' ..BC2=CP.AC, ..BC2=CE2, ∴.BC=CD=CE, ∴点B、D、E在以C为圆心，CD为半径的圆上，此时BE为直径， .∠BDE=90, .∠ADP=90°， ∴△APD是直角三角形：…(2分) ②是定值，为1 由①得∠ADP=90°， .∠ACB=∠ADP=90°，AB=X,CD=BC=1, ·AC=X2-1 BC=CP·AC, cp=r2-1, x2-1 ,∠BAD+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°， 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=∠DCE, 又∠DEC=∠BEA, ∴.△DEC一△BEA, DE CD CE.HI DE 11.SACOE-(CD BE AB AE 1+1 x AE SABE AB 解得DE=2, AE=x, AD=AE-DE=x-2 ,…（1分) 过D作DM⊥AC于M, B D E …(1分) ∴.∠DMC=∠ADB=90°， 又∠MCD=∠DBA, .△DMC一△ADB, .DM_CD DM_1 ·ADAB,即x-2x, X一 X "DM=X-2, 2SACDE+SACPD=2+2 CP·DM x2-2 2+DM-2+X=1.(2分) ”S△ABE SAcmCP-RG x BC x 1 10/10 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 3．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 4．下列相似图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 5．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 6．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 7．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 12．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 13．如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 14．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 15．如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．（8分）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (2)当时，求的取值范围． 19．（8分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 20．（8分）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 21．（8分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 22．（10分）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数（其中，是实数，，）． (1)若，函数的图象与函数的图象交于点，求函数的表达式． (2)若，，当时，求函数的最大值． (3)若，当时，始终有，求的取值范围． 24．（12分）如图1，圆内接四边形中， ，对角线交于点，延长交于点． (1)上有点H，连接交 于点Q，若， 求证： ①；②； (2)如图2，若成立时， ①试判断 的形状并说明理由； ②若，则 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 3．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 4．下列相似图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 5．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 6．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 7．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 12．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 13．如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 14．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 15．如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．（8分）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (2)当时，求的取值范围． 19．（8分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 20．（8分）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 21．（8分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 22．（10分）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数（其中，是实数，，）． (1)若，函数的图象与函数的图象交于点，求函数的表达式． (2)若，，当时，求函数的最大值． (3)若，当时，始终有，求的取值范围． 24．（12分）如图1，圆内接四边形中， ，对角线交于点，延长交于点． (1)上有点H，连接交 于点Q，若， 求证： ①；②； (2)如图2，若成立时， ①试判断 的形状并说明理由； ②若，则 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 2．下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 【答案】D 【分析】以必然事件的定义为依据，筛选正确选项． 【详解】解：A选项：任意买一张电影票，座位号可能是奇数也可能是偶数，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， B选项：出现的直播可能是有关学习的，也有可能不是，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， C选项：三角形内角和为，内角和为的情况不可能发生，属于不可能事件，不符合题意， D选项：3个人分成两组，只能分为1人和2人的情况，一定有2个人分在一组，属于必然事件，符合题意． 3．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 4．下列相似图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 5．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 6．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 7．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 9．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中，根据正方形的性质对角线平分和，又因为，所以，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确,该选项不符合题意； ∵， ∴ 故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴， 而不一定等于， ∴与不一定相似， 故D错误，该选项符合题意． 10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用二次函数的图象和性质逐项进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴的右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵其对称轴为， ∴， ∴， 当时，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， 故②错误； ③∵抛物线与y轴的交点在和之间， ∴， 即， 解得， 故③错误； ④由函数图象可得，点，两点到对称轴的距离分别为， 当时，，抛物线开口向下，距离对称轴越近，值越大，故； 当时，，即，仍然； 当时，点，两点到对称轴的距离分别为，故； 综上，当实数时，， 故④正确； ⑤抛物线的顶点纵坐标为， ∵， ∴， 即抛物线顶点到x轴的距离小于， 故⑤正确； 综上，正确的选项为①④⑤，共3个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 12．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 13．如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】设大正方形的面积为，根据七巧板的特点可以得到7块图形各自的面积，进而求出阴影部分的面积，再根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的面积为， 七巧板由块图形组成，其中包括个大等腰直角三角形，个中等腰直角三角形，个小等腰直角三角形，个正方形，个平行四边形， 其中每个大等腰直角三角形的面积为，中等腰直角三角形的面积为，每个小等腰直角三角形的面积为，正方形的面积为，平行四边形的面积为， 观察图形可知，阴影部分由2个小等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成， ∴ 阴影部分的面积为 ， ∴飞镖恰好落在阴影部分的概率为． 14．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 15．如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 【答案】 【分析】由折叠性质得，，结合平分可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由折叠的性质可知，， 平分， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， 解得， 的长为． 16．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：∵， 设，……（2分） ∴；……（2分） （2）解：∵， 设， ∵， ∴，……（2分） 解得， ∴．……（2分） 18．（8分）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (2)当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，开口向上，， ∴对称轴是轴，顶点坐标， 当时，，当时，， ∴在直角坐标系中描点：，用平滑曲线连接，得到抛物线，；……（3分） （2）解：∵二次函数，开口向上，对称轴是轴， 当时，在对称轴处，取得最小值，即，……（1分） 当时，随的增大而减小，当时，，……（1分） 当时，随的增大而增大，当时，，……（1分） ∵当时，离对称轴越远函数值越大， ∴当时，取得最大值为， ∴的取值范围为：．……（2分） 19．（8分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【详解】（1）解：树状图如下： ……（2分） 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率；……（2分） （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率……（2分） ∵ ， ∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．……（2分） 20．（8分）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【详解】(1)证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ，……（2分） ， ， ， ， ．……（2分） （2）解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ，……（2分） ， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为．……（2分） 21．（8分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【详解】（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴．……（1分） ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数．……（1分） （2）解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542．……（2分） 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元．……（1分） （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元），……（2分） ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元．……（1分） 22．（10分）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ……（1分） ∵是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分， ∴， ∴，……（2分） ∴，， ∴.……（2分） （2）解：如图，连接， ……（1分） ∵是半圆O的直径， ． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，……（2分） ∴，， ∴， ∴.……（2分） 23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数（其中，是实数，，）． (1)若，函数的图象与函数的图象交于点，求函数的表达式． (2)若，，当时，求函数的最大值． (3)若，当时，始终有，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 将代入，可得：，……（1分） 将代入， 可得：， 解得：， ；……（2分） （2）解：当时，， 抛物线开口向下，对称轴为直线，……（1分） 当时，随增大而增大， ， ， 当时，随增大而增大， 当时，为最大值；……（2分） （3）解：， ， 整理得：， 令， ， ， 抛物线开口向上，……（1分） ， 时，，即抛物线经过定点， 方程的一个根是， ， ， 当时， 可得：，……（1分） ， ， ， 解得．……（1分） 24．（12分）如图1，圆内接四边形中， ，对角线交于点，延长交于点． (1)上有点H，连接交 于点Q，若， 求证： ①；②； (2)如图2，若成立时， ①试判断 的形状并说明理由； ②若，则 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】(1)证明：①如图所示： ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴为弧中点， ∴， ∴， ∴，……（1分） 又， ∴， 又， ∴， ∴，即；……（1分） ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴，……（1分） ∴， ∴；……（1分） (2)①是直角三角形，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，……（2分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径， ∴， ∴， ∴是直角三角形；……（2分） ②是定值，为1 由①得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，……（1分） 过D作于M， ……（1分） ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴．……（2分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $