专题10 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题10. 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 对角互补模型，即四边形一组对角之和为180°（对角互补），常搭配邻边相等/定角条件，既可考全等，升级到九年级，就利用对角互补 + 等角构造相似三角形，是全等对角互补模型的延伸。 模型地位：属于 “定角 + 对角互补” 系列模型，是圆内接四边形、四点共圆思想的前置模型，学会这个模型，能快速识别四点共圆的角条件，在几何综合题中快速找到相似三角形，减少辅助线试错时间。各地中考高频几何模型，多见于填空压轴、几何综合大题。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 31 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 1）补角性质：同角（等角）的补角相等； 2）三角形内角和180°； 3）相似三角形判定：AA（两角对应相等，最常用）；SAS、SSS 相似； 4）外角定理：四边形对角互补 → 四边形外角 = 内对角； 5）角平分线性质：角平分线上点到角两边距离相等； 6）四点共圆判定：对角互补 ⇒ 四点共圆（辅助理解）。 常结合考点：勾股定理、特殊角三角函数；线段比例、乘积式证明（ab=cd，转化相似）； 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G； 则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·（九下）. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·（九下）. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F； 则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆（九下）。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【典例2】（25-26九年级上·成都·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【典例3】（2026·山东济南·中考真题）矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时，①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【典例4】（25-26九年级下·重庆·校考期中）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【典例5】（2026·山东·中考真题）在中，，． 【观察与发现】(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】(2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 【典例6】（25-26九年级上·广东深圳·期中）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值； (3)如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长． 模型常见易错点 1）看到对角互补，直接默认全等。 错因：混淆全等对角互补与相似对角互补。 解决方案：先看有没有邻边相等；有邻边相等优先全等；无邻边相等，只有对角互补，优先证相似。 2）不会利用 “外角 = 内对角”，找不到相似需要的等角，盲目作垂线。 解决方案：对角互补第一步，优先写补角推导，得到外角=内对角，先找一组等角，再找公共角/对顶角，凑AA。 3）对角互补条件隐藏在圆内接四边形中，识别不出模型。 解决方案：看到圆内接四边形，立刻反应对角互补，直接套用本模型找相似。 4）比例式写反，对应顶点不匹配，计算出错。 解决方案：写相似三角形，对应字母对齐；写完比例，检查角的对应关系。 5）想不到辅助线，不知道要作双垂线 错误：直接找现成三角形，找不到全等相似，卡住不动。 解决方案：看到“对角互补 + 一个公共顶点”，优先尝试：从这个公共顶点，向另外两条边做两条垂线，人为造出直角三角形。 6）点在延长线上，直接套用线段和差结论 解决方案：当交点落在边的延长线上，线段关系由“和”变成“差”，重新通过全等线段代换推导，不直接背诵结论。 解题方法总结 解题步骤： 1）识模型：观察图形，寻找四边形，检查是否存在一组对角相加等于180°； 2）导等角：利用对角互补，推导出：四边形外角=内对角，得到第一组相等角； 3）找第二组角：寻找公共角、对顶角，凑齐两组等角； 4）证相似：AA判定写出三角形相似（顶点一一对应）； 5）列式计算：列出相似比例式，求边长、比值，或者变形证明线段乘积等式； 6）检验：核对对应边，区分是全等型对角互补，还是相似型对角互补。 1．（25-26九年级下·山东青岛·校考期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 2．（2026·安徽·校考一模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    3．（25-26·上海·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 4．（2025·安徽池州·三模）在四边形中，，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点P，设．①若，求证：；②若，求k的值． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 6.（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 1．（25-26江苏·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 2.（25-26九年级上·河南·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程： 小亮：证明：连接．    由题意，可知，即为的中点． 平分，． ． ． ．．． 小红：证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．    ． 易得． ．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 5.（2026广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 6．（25-26九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 1．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       2.（2026·山东青岛·校考一模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 3.（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级下·浙江·期中）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 5．（2025·四川成都·二模）【情景导入】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】(1)任务一：基础研究:如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究:①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用:如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10. 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 对角互补模型，即四边形一组对角之和为180°（对角互补），常搭配邻边相等/定角条件，既可考全等，升级到九年级，就利用对角互补 + 等角构造相似三角形，是全等对角互补模型的延伸。 模型地位：属于 “定角 + 对角互补” 系列模型，是圆内接四边形、四点共圆思想的前置模型，学会这个模型，能快速识别四点共圆的角条件，在几何综合题中快速找到相似三角形，减少辅助线试错时间。各地中考高频几何模型，多见于填空压轴、几何综合大题。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.对角互补模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 31 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 1）补角性质：同角（等角）的补角相等； 2）三角形内角和180°； 3）相似三角形判定：AA（两角对应相等，最常用）；SAS、SSS 相似； 4）外角定理：四边形对角互补 → 四边形外角 = 内对角； 5）角平分线性质：角平分线上点到角两边距离相等； 6）四点共圆判定：对角互补 ⇒ 四点共圆（辅助理解）。 常结合考点：勾股定理、特殊角三角函数；线段比例、乘积式证明（ab=cd，转化相似）； 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G； 则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·（九下）. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·（九下）. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F； 则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆（九下）。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】特殊化研究：，证明见解析；一般化探究：，证明见解析； 结论推广：当在射线上时，，当在延长线上时， 【详解】解：特殊化研究：，证明如下：连接， D是边中点， 且在中，，， ，，， ，，，， ，.，， ， ；故答案为：； 一般化探究：，证明如下：过点作于点，作于点， ，，， ，，和为等腰直角三角形， ，，，同理，， ，，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，，， ，，， ，，，即， ； 结论推广：当在射线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，再同理可证， ，即，； 当在延长线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，，， 设，，，，， ，四边形为矩形，再同理可证， ，即，． 【典例2】（25-26九年级上·成都·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，         ∵是的平分线,∴ . 由,∴,∴, ∵,∴.∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ∵,,∴.∴.∴.在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理， ∴，，，∴∴ ，，，，综上所述. 【典例3】（2026·山东济南·中考真题）矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时，①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵，∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点，∴，， 又∵，，∴为中点，为中点， ∴，，∴， ∵，，矩形是正方形，∴， ∵，∴，， （当时，，）∴， 在与中∴，∴； ∵，，∴，，∴， 在与中∴，∴， ∵，∴，即， ∵在中，，∴． (2)①，证明如下：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，，，又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ，同理可得：，， ∵四边形为矩形，∴ 又∵，，∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，）， 又，，，即． ②，证明如下：如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形，，， 又，，，，， ，即垂直平分，， ∵在中，由勾股定理得，∴． （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，，，， 又∵，∴，设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：，∴，，， 当点与点重合时，点落在点的位置，此时，， ，，连接，， ∵，，，，， （当时，）即． ，，， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即，∴， 当点与点重合时，点落在点的位置，点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ，四边形是矩形， ，，， ，的最小值为． 【典例4】（25-26九年级下·重庆·校考期中）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）连接， ∵，∴菱形、都是正方形，∴，，，， ∵，∴是中点，∴，，， 又，∴，∴，∴， 又，∴，故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，，∴，∴， 又，∴，∵，∴； （3）过作于H，设，∵，∴，∴，∴， 在中，，在中，， ∴解得或3，∴或3， 又，，∴或． 【典例5】（2026·山东·中考真题）在中，，． 【观察与发现】(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】(2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图所示：根据旋转可得：，， ∴为等边三角形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴； (2)；理由如下：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，， ∴，即， ∵，∴，∴， ∴，，∴， ∴，∴； （3）解：延长，并取点N，使，过点G作于点M，如图所示：则， ∵，∴为的中位线，∴，， ∴，∴，∵，∴， 设，则，，， ∵， ∴，，∴， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，，∴或2． 【典例6】（25-26九年级上·广东深圳·期中）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值； (3)如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)2，，是(2)(3)或或 【详解】（1）解：在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是邻等对补四边形．故答案为：2，，是； （2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2， ∵四边形是邻等对补四边，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴设，则，∴， 在中，，在中，， ∴，∴； （3）解：∵，∴， ∵四边形是邻等对补四边形，∴，∴， 当时，如图3．1，连接，过N作于H， ∴，在中，， 在中，，，解得， ∵，∵，∴， ∴，即，∴，∴，∴； 当时，如图3．2，连接， ∵，∴，∴， 过点N作交于G，∵，∴， ∴，∴，在中，； 当时，连接，过N作于H，如图3．3， ∵，∴，即， 即，解得：，∵，∴， ∴，即，∴，∴，∴； 当时，如图3．4，连接， ∵，∴，∴，∴， 综上，的长为或或． 模型常见易错点 1）看到对角互补，直接默认全等。 错因：混淆全等对角互补与相似对角互补。 解决方案：先看有没有邻边相等；有邻边相等优先全等；无邻边相等，只有对角互补，优先证相似。 2）不会利用 “外角 = 内对角”，找不到相似需要的等角，盲目作垂线。 解决方案：对角互补第一步，优先写补角推导，得到外角=内对角，先找一组等角，再找公共角/对顶角，凑AA。 3）对角互补条件隐藏在圆内接四边形中，识别不出模型。 解决方案：看到圆内接四边形，立刻反应对角互补，直接套用本模型找相似。 4）比例式写反，对应顶点不匹配，计算出错。 解决方案：写相似三角形，对应字母对齐；写完比例，检查角的对应关系。 5）想不到辅助线，不知道要作双垂线 错误：直接找现成三角形，找不到全等相似，卡住不动。 解决方案：看到“对角互补 + 一个公共顶点”，优先尝试：从这个公共顶点，向另外两条边做两条垂线，人为造出直角三角形。 6）点在延长线上，直接套用线段和差结论 解决方案：当交点落在边的延长线上，线段关系由“和”变成“差”，重新通过全等线段代换推导，不直接背诵结论。 解题方法总结 解题步骤： 1）识模型：观察图形，寻找四边形，检查是否存在一组对角相加等于180°； 2）导等角：利用对角互补，推导出：四边形外角=内对角，得到第一组相等角； 3）找第二组角：寻找公共角、对顶角，凑齐两组等角； 4）证相似：AA判定写出三角形相似（顶点一一对应）； 5）列式计算：列出相似比例式，求边长、比值，或者变形证明线段乘积等式； 6）检验：核对对应边，区分是全等型对角互补，还是相似型对角互补。 1．（25-26九年级下·山东青岛·校考期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵，∴∴四边形是矩形∴， ∵∴，∴∴ ∵设，则∵中，，， ∴，在中，∴∴ 在中，，∴，故答案为：． 2．（2026·安徽·校考一模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；       （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ， 则有： ， ∴，∴， ∵∴，∴，∵，，∴ 又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 3．（25-26·上海·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果； （2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果． (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°， ∵∠DAE=45°，∴ ∴ ∴∠DAC=∠EAB， ∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB， ∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB． (2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°， ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE， 又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA． 4．（2025·安徽池州·三模）在四边形中，，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点P，设．①若，求证：；②若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）证明：过点B作，的垂线，垂足为分别为E，F，如图1． 平分，．又，， ．，四边形为矩形， ，，即． （2）证明：①当时，．，，． 又，平分，， ∵，，，． 又，在中，． ②解：延长至点Q，使，连接，如图2． ，∴，， ，，，， ，为等腰直角三角形，，设，则， ，，，， 由①得，即，解得：， ，，即． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）综合与实践 问题情境：在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N， 猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； 【答案】(1)四边形为矩形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点，∴．∴， ∵，∴，又∵，∴四边形为矩形． （2）解：连接．在中，，∴， ． ∵点为的中点，∴，．∴． ∵，∴，∵，∴．∴． ∵，∴．∴，即：，∴． 6.（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 图② 1．（25-26江苏·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 2.（25-26九年级上·河南·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程： 小亮：证明：连接．    由题意，可知，即为的中点． 平分，． ． ． ．．． 小红：证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．    ． 易得． ．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 【答案】(1)详见解析(2)①，详见解析；②(3) 【详解】（1）∵四边形是矩形，∴． ．，即． 又，． （2）过点作于点于点，如解图1所示，          则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．． 易得．由四边形是矩形，得． ．，即． 又．，即． ②．当点在线段上时，同①可得，即； 当点在的延长线上时，如解图2所示；当点在的延长线上时，如解图3所示． 在解图2，3中，过点作于点于点，则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．．易得，． 由四边形是矩形，得．． 又，，即． （3）．连接，如解图4所示． 的中点为．点在线段的垂直平分线上运动． 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点； 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点． 点运动的路径长为． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立；证明见解析；（3）12 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴， ∴，∴，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立；在上截取，连接， ∵四边形是菱形，，∴， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴；      （3）连接，在上截取，使，连接，如图， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴四点共圆，∴，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和，，∴， ∴， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴，∴． 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，是等边三角形，是边的中点，以为顶点作一个的角，角的两边分别交直线，于，两点，以点为中心旋转（的度数不变），若与垂直时（如图（1）所示）证． （1）如图（2），若与不垂直，点在边上，点在边上，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），若与不垂直时，点在边上，点在边的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）结论成立，理由详见解析；（2）上述结论不成立，，，之间的数量关系为 【详解】（1）如图（1），过点作，交于点 ∵∴ 且 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵是边的中点∴ ∵∴DE是中位线 ∴且 ∴∴ ∴ ∴ （2）如图（2），过点作交于点 ∵是等边三角形∴∴ ∵∴且 ∴且 ∵ ∴ 又∵∴∴∴ ∵且是边的中点∴且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴上述结论不成立，． 5.（2026广西贺州·一模）【特例探究】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的______，说明理由． 【类比迁移】如图②，正方形的对角线上一点P，，且． （1）判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； （2）若，，当点F与点B重合时，求的长． 【答案】【特例探究】，理由见解析；【类比迁移】（1），理由见解析；（2） 【详解】解：特例探究：四边形是正方形，，，， ，，，， 四边形的面积 正方形的面积，故答案为：； 类比迁移：（1），理由如下：如图②中，过点作于点， 于点， 四边形是正方形，， ，，，等腰直角三角形， ，，， ，，， ，，； （2）如图③，过点作于点， 于点， ，，，，， ，， ，，． 6．（25-26九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，       ∵是的平分线,∴ .由, ∴,∴,∵,∴. ∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时，∵,,∴.∴.∴.    在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理，∴， ，，∴∴ ，，，，综上所述. 1．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       【答案】（1）①证明见详解；②（2） 【详解】（1）①解：和都是等边三角形， ，，，， ，， ②；是等边三角形，， 点和点关于的对称，，，， （2），理由如下：如图，过点作于，    点和点关于的对称，，，， ，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形， ，，， ，，，， 是等腰直角三角形，， ，即： 2.（2026·山东青岛·校考一模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）连接，∵，，， ∴，，，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）过点作于，于，∵，，∴， ∵，，∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）如图，过点作于，于， ∵，，∴，∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∴， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，∴，又∵， ∴，∴，∴，∴， 故答案为：． 3.（2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 4．（25-26九年级下·浙江·期中）如图1，点在正方形的对角线上，正方形的边长是，的两条直角边分别交边于点．    （1）操作发现：如图2，固定点，使绕点旋转，当时，四边形是正方形． 填空：①当时，四边形的边长是_____； ②当（是正实数）时，四边形的面积是______； （2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点在矩形的对角线，的两条直角边分别交边于点，固定点，使绕点旋转，则______； （3）拓展探究：如图4，当四边形满足条件：，，时，点在对角线上，分别交边于点，固定点，使绕点旋转，请探究的值，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由见解析 【详解】（1）① ，，，，，，，，即，，∵四边形是正方形，∴四边形的边长是． ② 当时，，，，∴四边形的面积为． （2） 如图，       过点作于点，于点，则，，又，，，．由，，得，，，，即，． （3）．理由如下： 如图，过点作交于点，交于点，则， ，，即，， ，，又，， ，．由，，得，， ，即，． 5．（2025·四川成都·二模）【情景导入】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】(1)任务一：基础研究:如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究:①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用:如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)(2)①；② (3) 【详解】（1）解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵过点作的垂线交直线于点，∴，∴， ∴，∴， 又，∴，∴， ∵，，∴，∴，同理可得， ∴，∴，即，∴，故答案为：； （2）①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，∵，，∴四边形是矩形，∴， 同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，，，∴，，， ∴，，又，∴，∴， ∴，∴，又，∴， ∴，∴，∴， 与（1）同理可证：，∴，故答案为：； ②当时，以，为边作矩形， 过作，交于点，交于点，过作的延长线于点， ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴， 延长与交于点，∵四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 又，，∴，∴， ∴，∴，∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴，，∴四边形是矩形， ∴，同理可得是矩形，∴，∴，∴， ∵在矩形中，，，， ∴，解得：，∴， 又在矩形中，，∴，又，∴， 又在矩形中，，，∴， 当时，，∴，∴， ∴，∴，，∴， 又，∴， ∴;∴，与①同理可证：， ∴，∴，解得：，∴， ∴，∴； （3）以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，当点在点时，∵四边形是矩形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， 又，∴； 当点在点时，过点作于， ∵，，∴， ，∴， ∴， 又，∴， ∵，，，∴， ， ∴对角线扫过的面积为． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴；    ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $