专题09投影与视图知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题09投影与视图知题通关讲义 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 1. 混淆平行投影与中心投影的计算公式 提醒：太阳光为平行投影，同一时刻物体高度与影长成正比；灯光为中心投影，高度与影长不成正比，严禁混用平行投影比例公式计算中心投影题型。 2. 投影类型判定依据混淆 提醒：光线互相平行为平行投影；光线汇聚于一点为中心投影，严格依据光线特征判定，不凭影子长短、大小主观判断。 3. 中心投影解题误用比例关系 提醒：中心投影无固定比例规律，必须通过构造相似三角形列方程求解，不可直接套用平行投影的正比公式。 4. 三视图绘制虚实线使用错误 提醒：几何体看得见的轮廓线画实线；被遮挡、不可见的轮廓线必须画虚线，不得漏画、不画或错画为实线。 5. 三视图不遵循三等规则 提醒：严格遵循三视图核心规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等，数据对应必须精准。 6. 单一视图或两视图直接确定几何体 提醒：单一、两种视图无法唯一确定几何体，存在多种组合可能，不可凭局部视图直接判定立体图形形状。 7. 由三视图还原几何体层数、布局出错 提醒：还原几何体优先由俯视图确定底层摆放位置，再通过主视图、左视图逐层判定高度与层数，分步推理，不可主观臆断。 8. 圆柱、圆锥三视图特征记忆错误 提醒：圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆；圆锥主、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，圆心不可省略。 9. 三视图面积直接相加求几何体表面积 提醒：三视图面积仅为投影平面面积，不等于几何体表面积；计算表面积需分析立体所有外表面，严禁直接累加三视图面积。 10. 误认为物体影子长度、方向固定不变 提醒：平行投影随光线角度变化，影子长度、方向会改变；中心投影随物体与光源距离变化，影子大小随之改变，影子不固定。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★ 题型二 平行投影 ★ 题型三 中心投影 ★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正投影 1．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影的性质，掌握当物体的面平行于投影面时，正投影与该面形状、大小相同是解题的关键． 当正方体的一个面平行于投影面时，其正投影即为该面本身，因此投影面积为该正方形的面积． 【详解】解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 2．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 3．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 题型二 平行投影 4．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 5．如图，有与地面垂直的高10m的旗杆AB和高度未知的电线杆CD．某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长为2m，落在地面上的影子BF的长为10m，而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3m，落在地面上的影子DH的长为5m，则电线杆的高度为_________m． 【答案】7 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 过点作于，过点作于．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得即电线杆的高度即可． 【详解】解：过点作于，过点作于． 则，，，． ∴， 由平行投影可知，，即， 解得，即电线杆的高度为． 故答案为：． 6．如图所示，长方体的一个底面在投影面P上，分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设它们的面积分别是，则其大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到. 【详解】解：立体图形是长方体， ∴底面底面． 矩形的投影是矩形． ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影和立体图形，掌握由平行光线形成的投影是平行投影是解题的关键. 题型三 中心投影 7．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 8．小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和小星的顶端并延长交平面于一点，这点到小星的底端的距离就是小星的影长，画出相应图形，比较即可． 【详解】解：如图所示： 由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， ∵他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长， 则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯 故选：A 9．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 10．在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系是解决问题的关键．证明，然后利用相似比即可求出的长． 【详解】解：木杆两端的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， 故选：B． 题型四 判断简单几何体的三视图 11．如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图的定义，从左向右观察几何体，确定外轮廓形状及内部棱的可见性． 【详解】解：观察几何体，其左侧面为完整的矩形， 从左向右观察，外轮廓为矩形， 几何体右上方被切去一部分，产生一条内部棱， 该棱从左向右看被左侧面遮挡，不可见，应画为虚线， 所以左视图为矩形且内部有一条斜虚线． 12．图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】B 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可判断． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 13．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【分析】根据三视图的数据，确定线段所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义，可得： 在水平方向上，线段对应的直角边长度为： ， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得： ， ， ， ． 答：主视图上线段的长度为． 题型五 判断简单组合体的三视图 14．小明在新四军纪念馆看见了老一辈无产阶级革命家刘少奇、陈毅曾使用过的水壶（如图1）．图2是其示意图，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目指定的图形，判定主视图方向是正前方，从而判定水壶的主视图． 【详解】解：A、呈现的是从正前方观察水壶，能看到左侧壶嘴，下方的壶身，上方的环形提手以及壶口轮廓，符合题目指定的主视图方向． B、呈现的是从水壶的侧面（正对壶嘴的方向）观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． C、呈现的是从水壶的正上方俯视观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． D、呈现的是从水壶的侧面（壶嘴的相反方向）观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． 15．图中是由四个相同的小长方体堆成的物体，试指出三个平面图形分别是这个物体的三视图中的哪个视图． ( )       ( )      ( ) 【答案】 主视图 俯视图 左视图 【分析】根据三视图的定义进行求解即可． 【详解】解：左边数第一个图为主视图，左边数第二个图为俯视图，左边数第三个图为左视图． 16．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：根据三视图的定义，可知这个几何体的主视图是． 题型六 判断非实心几何体的三视图 17．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：空心圆柱的主视图与俯视图为： ． 18．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 19．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 20．一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查三视图求解几何体的侧视图，求解底面三角形的高是解题的关键，是基础题．求出正三棱柱底面边长的高，然后求解侧视图的面积． 【详解】解：由题意可知，底面三角形是正三角形，边长为4，高为， 所以侧视图的面积为：． 故选：A． 21．为迎接端午节，超市用一些装有同种饮料的正方体纸箱做造型，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的正方体纸箱的个数，那么该造型的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，1；据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 22．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为已知几何体的主视图和左视图，所以解题突破口是根据主视图和左视图的形状特征，分析每个选项作为俯视图时，能否组合出符合已知主、左视图的几何体；如果某一选项作为俯视图，结合主、左视图无法构造出合理的几何体，那么该选项就是不可能的俯视图；需利用三视图的投影规律，即主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，来逐一验证每个选项的合理性． 【详解】该几何体是两个柱体上下叠放，俯视图的外框是下柱体的底面，内部图形是上柱体的底面： 根据三视图的规则： 主视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 左右方向长度 左视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 前后方向长度 题目给出的主视图和左视图中，上层矩形的宽度相等，说明 上柱体底面的左右长度前后长度： 选项A、同心圆，内圆直径在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项B、大正方形内横放小长方形，小长方形的左右长度前后长度，因此主视图上层宽度会大于左视图上层宽度，与题目给出的主视图左视图矛盾，不可能； 选项C、大圆内正方形，正方形边长在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项D、正方形内等腰直角三角形，三角形的左右最大长度前后最大长度（等于直角边长），符合要求，可能． 题型八 画简单几何体的三视图 23．如图放置的正六棱柱，其左视图是（    ）    A．   B．   C． D．   【答案】B 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看可得到上下相邻的两个长方形， 故选： 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，本题需注意左视图中只能看到正六棱柱的两个面． 24．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 25．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 题型九 画简单组合体的三视图 26．如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，确定三视图的形状和大小． 【详解】解：主视图，四个小正方形构成，如图所示：    左视图，四个小正方形构成，如图所示：    俯视图，5个小正方形构成，如图所示：    所以，主俯视图面积最大； 故选：B． 【点睛】本题考查三视图，从不同方向观察物体的形状，具备相应的空间想象能力是解题的关键． 27．如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形， 如图所示： 故选：C． 28．如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 【答案】D 【分析】先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可； 【详解】解：根据原图画出三视图如图所示：    ∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形， ∴ 俯视图为中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键． 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 29．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，其左视图如图所示： ． 30．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 31．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若增加一个正方体木块，保证左视图不变，则添加的小正方体只能在左边或右边． 【详解】解：分析可知，有以下种摆法： 题型十一 由三视图还原几何体 32．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【分析】由主视图确定侧面形状，由俯视图确定底面形状． 【详解】解：主视图为三角形，则该几何体为锥体；俯视图为圆，则底面为圆， 故该几何体为圆锥． 33．如图所示的是从一个立体图形的三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形的体积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】从三视图可得，正视图以及左视图为正方形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以得到圆柱的半径和高，进而得出体积． 【详解】解：由三视图可得，该立体图形为圆柱． ∵圆柱的底面半径高 ∴圆柱的体积（立方厘米）， 故答案为： 【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 34．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形．掌握三视图的定义是解题关键． 【详解】解：根据该几何体的三视图，可知该几何体为： ． 题型十二 已知三视图求边长 35．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 36．如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 37．如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 38．一个立体图形的三视图如下，根据图中数据求出该立体图形的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图确定立方体的侧面积．熟练掌握由三视图确定立方体的侧面积是解题的关键． 由题意知，该立方体是圆柱，根据圆柱的侧面积为，其中为圆柱底面圆的直径，为圆柱的高，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该立方体是圆柱， ∴侧面积为， 故选：A． 39．某几何体的三视图如图所示，若它们均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三视图的应用，利用三视图，将几何体进行还原，得到该几何体为底面是直角三角形侧棱和底面垂直的三棱锥，然后根据三棱锥的表面积公式求表面积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面． 所以，所以侧面三角形为边长为的正三角形．如图，过点P作于点D， 则， ∴， 所以三角形的面积为，其余三角形的面积之和为， 所以该几何体的表面积为． 故答案为：． 40．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是， ∴空心圆柱体的表面积为， 故选：． 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 41．如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可是搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键． 【详解】根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：将三块长方体按，面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为，，，再用两个大长方体(即个小长方体) 按, 面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为m的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 将两块块长方体按面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为. 再用三个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体(即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 再用两个大长方体 (即个小长方体) 按面重叠, 可得棱长为的大长方体. 此时大长方体的表面积为： 因为 所以搭成大长方体表面积的最小值为， 故选: B. 42．一个画家有14个边长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，解题的关键要数对露出小正方形的个数． 根据题意可知小正方形的面积，数出该几何体露出了多少个小正方形即可求得． 【详解】解：从下面数第一层露出的侧面有：（个）， 第二层露出的侧面有：（个）， 第三层露出的侧面有：（个）， 第一层的上面露出的面有：（个）， 第二层的上面露出的面有：（个）， 第三层的上面露出的面有：1个， （个）， ∴该几何体露出了33个小正方形， ∵每个小正方形的边长为， ∴每个小正方形的面积为， ∴被涂上颜色的总面积为：， 故答案为：33． 43．下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正方体单个面面积，原表面积， 由图可知，切成36块需切7刀，每切一刀增加2个面， 新增面积， 总表面积：． 题型十五 已知三视图求体积 44．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据主视图可得长方体的长为4， 左视图可得长方体的高为3，宽为2，进而即可求解． 【详解】解：由主视图可得长方体的长为4， 由左视图可得长方体的高为3，宽为2， 则这个长方体的体积是 故这个长方体的体积是24． 故选B． 【点睛】本题考查了长方体的三视图，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 45．一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 _______． 【答案】48 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题意可知该直四棱柱的底面正方形的对角线长为，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 【详解】解：这个直四棱柱的体积为： ． 故答案为：48． 46．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面和从上面看到的图形，得出该长方体的长为4、宽为3、高为3，最后根据长方体的体积公式即可得出结果． 【详解】解：由从正面和从上面看到的图形可知，该长方体的长为4、宽为3、高为3， 则这个长方体的体积为． 题型十六 求几何体视图的面积 47．如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴． 48．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 49．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 50．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆放而成的，其三视图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，同时考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由三视图分析，在俯视图中标出每个位置小正方体的个数如图． 共有个小正方体． 故选：C． 51．用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的几何体的形状图如图所示．它最多需要___________个小立方块． 【答案】 【分析】根据俯视图确定底层小立方块的个数及分布，结合主视图确定每一列的最大高度，从而计算最多需要的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层共有个小立方块，其中左侧一列有个位置，中间一列有个位置，右侧一列有个位置．由主视图可知，左侧一列最高为层，中间一列最高为层，右侧一列最高为层．要使小立方块最多，则左侧一列的3个位置均放个小立方块，中间的个位置均放个小立方块，右侧一列的个位置均放个小立方块，因此最多需要的小立方块个数为（个）． 52．一张水平故置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的基本知识以及在现实生活中的应用从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有个，右侧有个，根据三视图的思路可解答该题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子， 主视图可知左侧碟子有个，右侧有个， 而左视图可知左侧有个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计个， 故选：． 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 53．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，组成该几何体所需小正方体的个数最多是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查三视图，由两个视图想象几何体是解答的关键． 根据左视图和俯视图可以猜测几何体的可能性，进而得到答案． 【详解】解：从俯视图可看出，该几何体有两行三列，从左视图可看出后面一行最多都是两层，最前面一行最高是一层， ∴所需的小正方体的个数最多是， 故选：C． 54．一个由大小相同的正方体组成的几何体，从正面看和从左面看都是“田”字形（由4个小正方形组成），则这个几何体最少需要___个正方体． 【答案】 【分析】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，具有良好的空间想象能力是解题的关键． 从正面看和从左面看都是“田”字形，在俯视图上进行表示即可． 【详解】解：若从正面看和从左面看都是“田”字形，则首层必须要有个正方体， 顶部最少需要两个正方体，错开放置即可，俯视图表示个数如下图所示： ∴最少需要个正方体， 故答案为：． 55．一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，通过分析主视图、俯视图、左视图，确定立体图形中小正方体的排列和数量，最终计算出小正方体的总量． 通过俯视图可确定小正方体整体排列的情况，通过左视图可知最左边一列最多有1排小正方体，中间1列最多有3排小正方体，最右边1列最多有2排小正方体，通过计算即可得解． 【详解】由图可得有以下情况： 最少有12个， 故答案选． 解答题 1．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)解：由题意，作图如下： (3)甲立柱的高度是. 【分析】（1）利用太阳光线是平行光线进而得出乙立柱的影子； （2）利用平移即可得出答案； （3）根据同一时刻，同一地点，物高和影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设甲立柱的高度是， 由题意， 解得； 答：甲立柱的高度是. 2．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 3．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2) 【分析】（1）根据主视图和左视图的定义画图即可； （2）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面（边长为1的正方形）有多少个即可得到答案． 【详解】（1）略． （2）解：， ∴这个几何体的表面积为． 4．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 5．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 【答案】（1）主，俯；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置． （1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）表面积 ． 6．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题（x，y，z均为非零整数）． (1)x，z各表示多少？ (2)y可能是多少？这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)或2，最少11个，最多12个 【分析】本题考查简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数． (1)由主视图和俯视图可知，俯视图中第1列第2行小正方体的个数为3，第3列第2行小正方体的个数为1，因此； (2)由题意可知俯视图中第2列第2行小正方体的个数最多为2，最少为1，加上其他小正方体的个数即可求出最多、最少需要几个小正方体． 【详解】（1）解：由俯视图和主视图的关系可得，； （2）解：由题意可知，或2， 最少由 (个)小正方体搭成； 最多由 (个)小正方体搭成． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09投影与视图知题通关讲义 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 1. 混淆平行投影与中心投影的计算公式 提醒：太阳光为平行投影，同一时刻物体高度与影长成正比；灯光为中心投影，高度与影长不成正比，严禁混用平行投影比例公式计算中心投影题型。 2. 投影类型判定依据混淆 提醒：光线互相平行为平行投影；光线汇聚于一点为中心投影，严格依据光线特征判定，不凭影子长短、大小主观判断。 3. 中心投影解题误用比例关系 提醒：中心投影无固定比例规律，必须通过构造相似三角形列方程求解，不可直接套用平行投影的正比公式。 4. 三视图绘制虚实线使用错误 提醒：几何体看得见的轮廓线画实线；被遮挡、不可见的轮廓线必须画虚线，不得漏画、不画或错画为实线。 5. 三视图不遵循三等规则 提醒：严格遵循三视图核心规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等，数据对应必须精准。 6. 单一视图或两视图直接确定几何体 提醒：单一、两种视图无法唯一确定几何体，存在多种组合可能，不可凭局部视图直接判定立体图形形状。 7. 由三视图还原几何体层数、布局出错 提醒：还原几何体优先由俯视图确定底层摆放位置，再通过主视图、左视图逐层判定高度与层数，分步推理，不可主观臆断。 8. 圆柱、圆锥三视图特征记忆错误 提醒：圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆；圆锥主、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，圆心不可省略。 9. 三视图面积直接相加求几何体表面积 提醒：三视图面积仅为投影平面面积，不等于几何体表面积；计算表面积需分析立体所有外表面，严禁直接累加三视图面积。 10. 误认为物体影子长度、方向固定不变 提醒：平行投影随光线角度变化，影子长度、方向会改变；中心投影随物体与光源距离变化，影子大小随之改变，影子不固定。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★ 题型二 平行投影 ★ 题型三 中心投影 ★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正投影 1．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 2．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二 平行投影 4．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A．B． C． D． 5．如图，有与地面垂直的高10m的旗杆AB和高度未知的电线杆CD．某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长为2m，落在地面上的影子BF的长为10m，而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3m，落在地面上的影子DH的长为5m，则电线杆的高度为_________m． 6．如图所示，长方体的一个底面在投影面P上，分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设它们的面积分别是，则其大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型三 中心投影 7．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 8．小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 9．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 10．在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 题型四 判断简单几何体的三视图 11．如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 12．图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 13．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 题型五 判断简单组合体的三视图 14．小明在新四军纪念馆看见了老一辈无产阶级革命家刘少奇、陈毅曾使用过的水壶（如图1）．图2是其示意图，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 15．图中是由四个相同的小长方体堆成的物体，试指出三个平面图形分别是这个物体的三视图中的哪个视图． ( )       ( )      ( ) 16．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 题型六 判断非实心几何体的三视图 17．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 18．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 19．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C．D． 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 20．一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（    ） A． B．16 C． D．8 21．为迎接端午节，超市用一些装有同种饮料的正方体纸箱做造型，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的正方体纸箱的个数，那么该造型的左视图是（    ） A． B． C． D． 22．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 题型八 画简单几何体的三视图 23．如图放置的正六棱柱，其左视图是（    ）    A．   B．   C． D．   24．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 25．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 题型九 画简单组合体的三视图 26．如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 27．如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 28．如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 29．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 30．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    31．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 题型十一 由三视图还原几何体 32．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 33．如图所示的是从一个立体图形的三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形的体积是________（结果保留）． 34．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 题型十二 已知三视图求边长 35．一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 36．如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 37．如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 38．一个立体图形的三视图如下，根据图中数据求出该立体图形的侧面积为（    ） A． B． C． D． 39．某几何体的三视图如图所示，若它们均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是_____． 40．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 41．如图，用24块棱长分别为，，的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（    ） A． B． C． D． 42．一个画家有14个边长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为______． 43．下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 题型十五 已知三视图求体积 44．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 45．一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 _______． 46．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 题型十六 求几何体视图的面积 47．如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 48．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 49．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 50．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆放而成的，其三视图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 51．用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的几何体的形状图如图所示．它最多需要___________个小立方块． 52．一张水平故置的桌子上摆故着若干个盘子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有盘子为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 53．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，组成该几何体所需小正方体的个数最多是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 54．一个由大小相同的正方体组成的几何体，从正面看和从左面看都是“田”字形（由4个小正方形组成），则这个几何体最少需要___个正方体． 55．一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 解答题 1．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 2．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 3．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)求该几何体的表面积． 4．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 5．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 6．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题（x，y，z均为非零整数）． (1)x，z各表示多少？ (2)y可能是多少？这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $