专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过模型框架图系统构建了胡不归模型的知识体系，梳理了模型来源、核心本质（斜线段转化为垂线段）及知识储备（三角函数、特殊平行四边形性质等），并以解题步骤流程图呈现转化方法，突出模型识别、k值处理等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）与中考典例结合，如菱形60°内角下PA+0.5PB最值问题，培养几何直观与推理能力。方法指导含易错点总结和步骤化解题，助力基础生掌握方法，优秀生提升综合应用，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题04.特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型是初中几何四大最值模型之一（将军饮马、费马点、胡不归、阿氏圆），是中考带系数线段和最值的专属模型。必考载体：菱形（60°）、正方形（45°），利用图形自带特殊角，降低构造难度，是特殊平行四边形最难、最必考的最值模型。核心本质：将斜向的k·PB线段，通过三角函数定角转化为垂线段，把“折线段和”转化为“垂线段最短”。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 3 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 15 C组（综合压轴题） 22 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 ①特殊角三角函数：sin30°=；sin45°=；sin60°=。 ②最值公理：垂线段最短（胡不归唯一最值依据）。 ③特殊平行四边形性质： 菱形：60°、120°内角、对角线平分角；正方形：45°对角线角、四边相等；矩形：直角、边长比例。 ④勾股定理、二次根式化简。 ⑤模型区分常识：动点在直线→胡不归；动点在圆→阿氏圆；无系数k=1→将军饮马。 常联动综合考点：①菱形、正方形折叠问题；②特殊平行四边形动点问题；③几何多模型嵌套（将军饮马+胡不归）；④中考填空压轴规律探究；⑤三角函数几何求值。 模型1.胡不归模型（最值模型） 【模型提炼与证明】 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 【典例2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 【答案】 30 【详解】解：（1）∵菱形，∴，， 又，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵，∴，∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故答案为：． 【典例3】（2025·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ∵，∴，∴， ∵，∴当和在同一直线上时，最小，最小值为， ∵，且，∴， ∵∴，， ∴，∴，∴， ∴的最小值为．故答案是：． 【典例4】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由折叠得，，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：． 【典例5】（2026·四川成都·校考二模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【典例6】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点F作于点M，连接，，过点A作于点H． ∵，∴，∵．∵垂直平分∴， ，的最小值为． ，，， 的最小值为．故答案为：． 【典例7】（25-26九年级上·福建漳州·期末）【问题原型】如图所示①，在中，，，，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图所示②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程：过点作射线使，作于。 ，。 在中，，，… 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图所示③，在平行四边形中，，，为边上的一点，直接写出的最小值________； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值________． 【答案】【问题探究】；【问题应用】；【问题迁移】6 【问题探究】解：过点作射线使，作于． ，．在中，，， 在中，，，∴， ∴，∴，即的最小值为； 【问题应用】解：如图，过点作射线，使，过作于； 在中，，，，； 根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取得最小值，即的长度； 四边形是平行四边形，，，， ；故答案为：． 【问题迁移】解：如图，将看作点到点的距离，当点在点左侧时，看作点到点的距离的一半． 构造，作于，则，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， 当、、共线时，最小值为点到的距离．此时． 当点在点右侧时，. 综上，的最小值为．故答案为：． 模型常见易错点 1）模型识别错误（90%学生丢分） 错误：动点在圆上，仍用胡不归； 解决方案：直线动点=胡不归，圆动点=阿氏圆，做题第一步先看轨迹！ 2）定点、动点搞反 错误：胡乱构造角度，分不清谁是定点、谁是动点； 解决方案：P是动点，A、B是定点；只对含k的线段做转化。 3）k＞1 直接套用模型 错误：出现 2PA+PB 直接构造； 解决方案：k＞1必须先提取系数，化为 2(PA+PB) 再做模型。 4）角度构造方向错误，取不到垂线段 解决方案：构造射线必须与定点分居轨迹直线两侧，提前预判图形方位。 5）特殊角乱用 错误：看到菱形直接默认30°； 解决方案：严格审题，只有60°菱形才有的系数，普通菱形无默认角。 解题方法总结 步骤1【判模型】动点P在定直线上，所求式子为 PA+k·PB（0＜k＜1），符合胡不归模型。 步骤2【定角度】令 k = sinα，确定构造角（30°、45°、60°）。 步骤3【作辅助线】以定点为顶点、轨迹直线为一边，作定角α射线。 步骤4【线段转化】过动点P作射线垂线PH，则 PH = k·PB。 步骤5【最值原理】原式=PA+PH，根据垂线段最短，定点到射线的垂线段长度即为最小值。 步骤6【计算作答】利用特殊平行四边形边长、勾股定理、三角函数求出最终最值。 1．（2026·内蒙古通辽·校考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°， ∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形， ∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=， ∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 【答案】 【详解】解：如图，作于， 四边形是矩形，，，， ，，，， 即、、三点共线时，最小值为， 将长方形沿对角线折叠，得，，， ，，的最小值为，故答案为： 3．（2021·四川眉山·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小 ∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH= ∴此时得到最小值， ∵AC=10，AM=3, ∴MC=7 又∠MPC=60° ∴MH=MCsin60°= 故答案为： 4．（2025·黑龙江·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，，∴∠ABP=30°，，， 由垂线段最短可知，的最小值为的长，， 即的最小值是：，故答案是：． 5．（25-26上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ． 【答案】 ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 1．（2025·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 2．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 3．（25-26·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 4．（2025·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 【答案】3 【详解】解：如图，过作交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，线段的和最小， ∵，，∴， 即：的最小值等于3；故答案为：3． 5．（25-26·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H， ∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°， 设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a， ∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5， AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5． 6．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】3+2 【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E， ∵∠PCE=30°，PE⊥CE，∴PE=PC，∴的最小值即为PA+PE的最小值， 当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE， ∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠PCE=30°，∴AP=2BP， ∴，解得：BP=（负值舍去），∴AP=，∴PE=， ∴AE=PA+PE=+=3+2，∴的最小值为3+2．故答案是：3+2． 7．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程：由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于； ；在中，； 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究] 见解析；[问题应用] ，尺规作图见解析；[问题迁移] 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中，，，， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值，此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ， ，，，，， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ，，故答案为：； 尺规作图如下：以点为顶点作，则，与的交点即为点， [问题迁移]解：如图，，， 令，根据勾股定理可得，，，， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度，连接， ,，， 根据勾股定理可得，， 即的最小值为，故答案为：． 1．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是___________． 【答案】3 【详解】解：如图，过点M作于点E，过点N作于点， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当M，N，三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为的长， ∵，∴，∵，，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为3．故答案为：3． 3．（2025·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 5．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 6．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点F作于点N，作交的延长线于点H，过点C作于点M，在中，，，，    在中，，，，同理可得， ，，， ； （2）解：如图，过点P作于点K，连接，， 由（2）知中，，，， ，， ，， 是直角三角形，，， 又F是边上的中点，垂直平分，． 在中，， ，， 由（2）知，的最小值是． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型是初中几何四大最值模型之一（将军饮马、费马点、胡不归、阿氏圆），是中考带系数线段和最值的专属模型。必考载体：菱形（60°）、正方形（45°），利用图形自带特殊角，降低构造难度，是特殊平行四边形最难、最必考的最值模型。核心本质：将斜向的k·PB线段，通过三角函数定角转化为垂线段，把“折线段和”转化为“垂线段最短”。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 3 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 15 C组（综合压轴题） 22 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 ①特殊角三角函数：sin30°=；sin45°=；sin60°=。 ②最值公理：垂线段最短（胡不归唯一最值依据）。 ③特殊平行四边形性质： 菱形：60°、120°内角、对角线平分角；正方形：45°对角线角、四边相等；矩形：直角、边长比例。 ④勾股定理、二次根式化简。 ⑤模型区分常识：动点在直线→胡不归；动点在圆→阿氏圆；无系数k=1→将军饮马。 常联动综合考点：①菱形、正方形折叠问题；②特殊平行四边形动点问题；③几何多模型嵌套（将军饮马+胡不归）；④中考填空压轴规律探究；⑤三角函数几何求值。 模型1.胡不归模型（最值模型） 【模型提炼与证明】 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【典例2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点．（1） ；（2）的最小值为 ． 【典例3】（2025·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 【典例4】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2026·四川成都·校考二模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【典例6】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 【典例7】（25-26九年级上·福建漳州·期末）【问题原型】如图所示①，在中，，，，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图所示②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程：过点作射线使，作于。 ，。 在中，，，… 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图所示③，在平行四边形中，，，为边上的一点，直接写出的最小值________； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值________． 模型常见易错点 1）模型识别错误（90%学生丢分） 错误：动点在圆上，仍用胡不归； 解决方案：直线动点=胡不归，圆动点=阿氏圆，做题第一步先看轨迹！ 2）定点、动点搞反 错误：胡乱构造角度，分不清谁是定点、谁是动点； 解决方案：P是动点，A、B是定点；只对含k的线段做转化。 3）k＞1 直接套用模型 错误：出现 2PA+PB 直接构造； 解决方案：k＞1必须先提取系数，化为 2(PA+PB) 再做模型。 4）角度构造方向错误，取不到垂线段 解决方案：构造射线必须与定点分居轨迹直线两侧，提前预判图形方位。 5）特殊角乱用 错误：看到菱形直接默认30°； 解决方案：严格审题，只有60°菱形才有的系数，普通菱形无默认角。 解题方法总结 步骤1【判模型】动点P在定直线上，所求式子为 PA+k·PB（0＜k＜1），符合胡不归模型。 步骤2【定角度】令 k = sinα，确定构造角（30°、45°、60°）。 步骤3【作辅助线】以定点为顶点、轨迹直线为一边，作定角α射线。 步骤4【线段转化】过动点P作射线垂线PH，则 PH = k·PB。 步骤5【最值原理】原式=PA+PH，根据垂线段最短，定点到射线的垂线段长度即为最小值。 步骤6【计算作答】利用特殊平行四边形边长、勾股定理、三角函数求出最终最值。 1．（2026·内蒙古通辽·校考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是 3．（2021·四川眉山·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 4．（2025·黑龙江·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 5．（25-26上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ． 1．（2025·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    3．（25-26·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 4．（2025·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 5．（25-26·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 6．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 7．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程：由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于； ；在中，； 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 1．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是___________． 3．（2025·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 5．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 6．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $