专题05 线段、角（对角线）的计数与等量代换模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级上册

专题05. 线段（角）的计数与线段（角）的等量代换模型 等量代换是几何证明最基础的推理工具，后续所有三角形、全等、倒角模型都依赖等量代换思想。等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 计数模型考察有序思维，线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段与角度的等量代换模型 2 模型2.线段与角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 10 模型4.多边形的对角线条数计数模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 25 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”、“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ 1）线段、射线、直线定义；线段中点定义； 2）角、角平分线定义；角的和差； 3）等式基本性质：等式两边同时加 / 减同一个量，等式仍成立； 4）几何符号书写。 常结合考点：线段中点、角平分线模型（最高频）；线段/角度动态动点问题；双（多）角平分线模型；分类讨论（点在线段上/延长线上；射线在角内部/外部）。 模型1.线段与角度的等量代换模型 【模型提炼与证明】 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：（人教版、苏科版、浙教版、沪科版） ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 【模型运用】 【典例1】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 【答案】C 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．故选C． 【典例3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，即：，故答案为：=； ②∵，且，∴， ∴，∴，故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点，∴， 又∵，∴，解得，，∴． 【典例4】（25-26七年级上·上海·期中）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOD=∠AOD+∠AOC,∴∠AOC=∠BOD,故选C. 【典例5】（25-26天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ，故选：D． 【典例6】（25-26七年级上江苏校考期末）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知）， 所以 （　        　） 因为平分（已知）， 所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 【答案】对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，，垂直的定义，两角差的定义，等量代换． 【详解】解：理由：因为直线，相交于点（已知）， 所以 （对顶角相等） 因为平分（已知），所以（平分线的定义） 所以 （等量代换） 因为 （平角的定义） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以（垂直的定义） 因为（两角差的定义） 所以（等量代换）． 模型2.线段与角的计数模型 【模型提炼与证明】 1）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 2）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 【答案】28 【详解】解：依题意，将8个站点视为直线上的8个点，单程车票的种类等同于这8个点所确定的线段条数，则直线上n个点的线段总数公式， 当时，代入计算得：，故答案为：28． 【典例2】（25-26七年级上·江西抚州·期末）昌厦高铁线途经抚州市，通车后将大大方便人们的出行．列车往返于南昌，厦门两个城市，中途经过11个站点（共13个站点），不同的车站来往需要不同的“二等座车票”，则这条路线共有________种不同的“二等座车票”． 【答案】156 【详解】解：（种）；故答案为：156． 【典例3】（25-26七年级上·广西玉林·期中）探究与发现 【问题背景】某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（每两个队之间都比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【数学模型】如图①，用平面内的5个点（任意3个点都不在同一条直线上）代表球队，两点间连一线段表示一场比赛．每个点需连4条线，总连线数为条．因为每条线段重复计算一次，故实际比赛场次为：场． 【解决问题】（1）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知该校一共要安排________场比赛． （2）若有n支足球队进行单循环比赛，则总的比赛场数是________． （3）9月1日开学，李老师让全班52位新同学每两个人都握一次手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．请你求出全班共握了多少次手？ （4）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【详解】解：（1）单循环比赛中，每支球队要和其他支球队各赛一场，总共有次“单向比赛”，但每场比赛被重复计算了，所以实际场次为场．故答案为． （2）支球队时，每支球队和支球队比赛，总“单向次数”为，消去重复后则总场次为． 故答案为． （3）全班共握了次手． （4）如图所示，F已经和A、B、C三人握手． 理由：握了5次，说明与B、C、D、E、F，此时F与握手； 仅握手一次，因此唯一一次握手是与； 握手4次，且未与握手，因此的握手对象为、 C、D、； 握手两次，结合、的握手情况，的两次握手只能是与、； 握手3次，已确定与、握手，已握够2次，已握够1次，因此第3次握手是与； 结合以上分析，与A、B、C三人握手． 【典例4】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【答案】D 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角；…… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角． 【典例5】（25-26七年级上·广东·期末）如图，在一个角的内部画射线，画1条射线，就有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角……以此类推，在一个角的内部画条射线有 个不同的角（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵当条射线时有1个角，1条射线时有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角，∴一个角的内部画条射线时有角的个数为：， 故答案为：． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 【模型提炼与证明】 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【答案】45 【详解】解：由所给图形可知，两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：，…， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，．即10条直线相交，最多的交点个数为45个．故答案为：45． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母的式子表示，） 【答案】 【详解】解：3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点．故答案为：． 【典例3】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）一条直线可以把平面分成两个部分，两条直线可以分成三个或四个部分，问7条直线最多可以将平面分成______个部分． 【答案】29 【详解】解：一条直线最多将平面分成2部分，即 两条直线最多分成4部分，即 三条直线最多分成7部分，即 四条直线最多分成11部分，即 以此类推，n条直线最多分割平面的部分数为， ∴当时，7条直线最多可以将平面分成个部分．故答案为：29． 【典例4】（25-26七年级上·重庆·课后作业）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分，… （1）5条直线最多可将平面分成________个部分； （2）n条直线最多可将平面分成________个部分． 【答案】 16 【详解】解：1条直线将平面分为个部分， 2条直线最多可将平面分为个部分， 3条直线最多可将平面分为个部分， 4条直线最多可将平面分为个部分， 5条直线最多可将平面分为个部分， 故条直线最多可将平面分为个部分，故答案为：16，． 模型4.多边形的对角线条数计数模型 【模型提炼与证明】 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条），…， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条），故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】(1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． 【答案】(1)14(2) 【详解】（1）三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为，六边形对角线条数可表示为， 七边形对角线条数可表示为，故答案为：14； （2）三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为，… n边形的对角线条数可表示为，故答案为：； 【典例3】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，②(2)(3)44个 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，…， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 模型常见易错点 1）计数直接套公式，忽略前提 错误：随便拿几个不共线的点，直接用公式算线段。 解决方案：先判断：点是否共线，射线是否共顶点，不满足只能枚举。 2）数线段/角，想到哪个数哪个，出现重复、漏数 解决方案：固定起点有序数，从左到右依次枚举，数完标记，不回头。 3）等量代换写步骤，只写结果，缺少几何依据 错误：直接写AC=BD，不写等式性质，考试扣分。 解决方案：每一步推理标注依据（等式性质/ 等量代换），七年级几何必考书写规范。 4）忽略分类讨论，点在延长线上/射线在角外部 例：点C在AB延长线上，线段和差关系变为AC=AB+BC，学生仍套用线段内部公式。 解决方案：看到无图几何题，先画图，分情况讨论。 5）混淆线段计数与射线计数，射线无此公式，射线数量直接数，不能套 解题方法总结 线段 / 角计数解题步骤 1）观察：判断是否【点共线 / 射线共顶点】； 2）数总个数：数点的数量n / 射线数量n； 3）代入公式：总数=；不能套公式就有序枚举； 4）检验：重新枚举核对，防止漏数。 等量代换（线段 / 角度）解题步骤 1）找已知相等量（线段相等 / 角相等）； 2）找公共部分（公共线段 / 公共角）； 3）判断：是同时加公共部分，还是同时减公共部分； 5）列式变形，写出结论； 6）标注推理依据（等式性质 / 等量代换）。 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，点在线段上，若，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵，∴，即，故该选项正确，不合题意； 、∵，，∴，故该选项正确，不合题意； 、∵，，∴，故该选项正确，不合题意； 、∵，与不一定相等， ∴不一定等于，故该选项错误，符合题意；故选：． 2.（24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C 3.（25-26七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【详解】解：因为，，所以， 因为，所以．故答案为： 4．（25-26七年级上·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有__________种不同的车票． 【答案】 【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种， 当时，（种）．故答案为：． 5．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备______种单程车票． 【答案】 【详解】解：车站需要准备单程车票的种数为：（种），故答案为：． 6．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点，． 7．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，即：，故答案为：=； ②∵，且，∴， ∴，∴，故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点，∴， 又∵，∴，解得，，∴． 8.（25-26七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 【答案】已知；角平分线的定义；已知；90；等式的基本性质；；角的和差的定义；；；角平分线的定义 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）．（垂直定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 1.（25-26山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 【答案】B 【详解】12×（12-3）÷2=54故本题答案为：B 2．（2026·湖北孝感·校考一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有___________个交点； （2）n条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． 3.（25-26七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 【答案】46 【详解】解：1条直线把一个平面分成个部分， 2条直线把一个平面最多分成个部分， 3条直线把一个平面最多分成个部分，……， 以此类推，n条直线把一个平面最多分成个部分， ∴9条直线把一个平面最多分成个部分，故答案为：46． 4．（25-26七年级上·广东·专题练习）①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； ②如图2直线l上有3个点，则图中有_____条可用图中字母表示的射线，有_____条线段； ③如图3直线上有n个点，则图中有_____条可用图中字母表示的射线，有_____条线段； ④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需_____场比赛． 【答案】 4 3 15 【详解】解：②射线有：共4条， 线段有：共3条．故答案为：4，3； ③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，故射线的条数是；线段是从所有点中，任取两个，故线段的条数是． 故答案为：，； ④∵某校七年级共有6个班进行足球比赛，∴全部赛完共需比赛场次为：（场）， ∴全部赛完共需比赛场次为15．故答案为：15． 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时．①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．”选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①； ②选择嘉嘉，∵平分，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∵，∴，即，∴一定平分． 选择淇淇，∵，∴，∴， ∵，，∴ ∴，∴∴． (2)的度数为或 【详解】（1）解：①∵，∴， ∵，∴； ②略 （2）解：当点，在的同侧时，∵，∴， ∵，，∴ ， ∴； 当点，在的异侧时，． 6.（25-26湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 7.（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）． （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 1．（25-26七年级上·上海·期末）条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，按照规律依此类推，条直线最多有个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为两条直线最多有1个交点，则； 同理可得，；；…， ；条直线最多有个交点， 所以；， ，故选：． 2.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角． 【答案】 【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，引2条线段，有1+2+3=6（个）角，··· 引n条线段，有（个）角， 故答案为：． 3．（2026七年级上·成都·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有___________个交点，4条直线相交最多有___________个交点，……，像这样，8条直线相交最多有___________个交点，n条直线相交最多有___________个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成___________部分，4条直线最多把平面分成___________部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成___________部分，n条直线最多把平面分成___________部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点，… n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分；… n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）现有人参加会议，若每两人之间只握一次手，则一共握手①次．这个法则被称为握手法则，数学上有很多题目可以用握手法则解决．①式获得的方法如下： 法一：假设法 假设每两个人之间都一一握手（每两个人之间共握手两次），则共握②次，再将②式除以2即可． 法二：倒置法 设①，则②， ①+②，得 所以，． 请你借助握手法则，完成以下问题： (1)若过边形的一个顶点可以画出条对角线，则___________； (2)现有10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片___________张； (3)乘地铁从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么在甲、乙两地之间需要___________种不同的票价，需要___________种车票； (4)计算：． 【答案】(1)3(2)90(3)15；30(4)89700 【详解】（1）解：对于n边形，从一个顶点出发可画的对角线数为 (不能与自身及相邻两个顶点连 线)，即，因此． （2）解：根据握手法则，若每两人之间握手两次，共握次， 所以10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片张． （3）解：从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么一共有个站， 不同的票价∶两个站之间确定一种票价，类似于两人之间只握一次手，根据握手法则，共需要种不同的票， 车票∶因为甲到乙和乙到甲是不同的车票，类似于两人之间握手两次，所以需要种车票． （4）解： 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）（1）如图，已知线段，在上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有十个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知，在内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当内有十条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 【答案】（1）3，6，10，；（2）3，6，10， ；（3）可以 【详解】解：（1）图①中，线段上有1个点，共有3条线段，即； 图②中，线段上有2个点，共有6条线段，即； 图③中，线段上有3个点，共有10条线段，即； 以此类推，当线段上有个点时，共有条线段； （2）图①中，内有1条射线，共有3个角，即； 图②中，内有2条射线，共有6个角，即； 图③中，内有3条射线，共有10个角，即； 以此类推，内有条射线时，共有个角． （3）可以，当小亮作一条直线分别与各射线相交时，就可以把求角的个数转化为求线段的条数，如图所示： 由（1）（2）求解过程可知，把求角的个数转化为求线段的条数，规律是一样的，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决． 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 【答案】（1）6，10，；（2），11；（3）①20，8；②九江队小组赛胜了4场． 【详解】解：（1）通过规律探究可知： 平面上有4个点时，一共可画直线的条数为（条）， 平面上有5个点时，一共可画直线的条数为（条），， 平面上有n个点时，一共可画直线的条数为； （2）两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的， n位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握次手， ，解得：或（舍去）， 所以若共握了55次手，则有11人参加了此次握手活动； （3）①北区有5支球队，实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛），把每支球队看作一个点，由（1）中规律可知：单循环赛制有（场）比赛，因为是双循环赛制，所以共有20场比赛；九江队要和北区除自己之外的4支球队比赛，每两支球队之间进行主、客场两场比赛，所以九江队进行的小组赛场数为（场）比赛； ②设九江队在北区小组赛中获胜的场数为x场， 依题意可得：， 解得， 所以九江队在北区小组赛中获胜了4场． 7.（25-26·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，．十二边形有条对角线． 能．由题意得，23，解得=1014． 多边形的边数n是正整数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05. 线段（角）的计数与线段（角）的等量代换模型 等量代换是几何证明最基础的推理工具，后续所有三角形、全等、倒角模型都依赖等量代换思想。等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 计数模型考察有序思维，线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段与角度的等量代换模型 2 模型2.线段与角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 10 模型4.多边形的对角线条数计数模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 25 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”、“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ 1）线段、射线、直线定义；线段中点定义； 2）角、角平分线定义；角的和差； 3）等式基本性质：等式两边同时加 / 减同一个量，等式仍成立； 4）几何符号书写。 常结合考点：线段中点、角平分线模型（最高频）；线段/角度动态动点问题；双（多）角平分线模型；分类讨论（点在线段上/延长线上；射线在角内部/外部）。 模型1.线段与角度的等量代换模型 【模型提炼与证明】 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：（人教版、苏科版、浙教版、沪科版） ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 【模型运用】 【典例1】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【典例2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 【典例3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【典例4】（25-26七年级上·上海·期中）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【典例5】（25-26天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【典例6】（25-26七年级上江苏校考期末）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知）， 所以 （　        　） 因为平分（已知）， 所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 模型2.线段与角的计数模型 【模型提炼与证明】 1）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 2）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 【典例2】（25-26七年级上·江西抚州·期末）昌厦高铁线途经抚州市，通车后将大大方便人们的出行．列车往返于南昌，厦门两个城市，中途经过11个站点（共13个站点），不同的车站来往需要不同的“二等座车票”，则这条路线共有________种不同的“二等座车票”． 【典例3】（25-26七年级上·广西玉林·期中）探究与发现 【问题背景】某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（每两个队之间都比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【数学模型】如图①，用平面内的5个点（任意3个点都不在同一条直线上）代表球队，两点间连一线段表示一场比赛．每个点需连4条线，总连线数为条．因为每条线段重复计算一次，故实际比赛场次为：场． 【解决问题】（1）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知该校一共要安排________场比赛． （2）若有n支足球队进行单循环比赛，则总的比赛场数是________． （3）9月1日开学，李老师让全班52位新同学每两个人都握一次手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．请你求出全班共握了多少次手？ （4）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了． 【典例4】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【典例5】（25-26七年级上·广东·期末）如图，在一个角的内部画射线，画1条射线，就有3个不同的角，画2条射线，就有6个不同的角，画3条射线，就有10个不同的角……以此类推，在一个角的内部画条射线有 个不同的角（用含的代数式表示）． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 【模型提炼与证明】 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母的式子表示，） 【典例3】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）一条直线可以把平面分成两个部分，两条直线可以分成三个或四个部分，问7条直线最多可以将平面分成______个部分． 【典例4】（25-26七年级上·重庆·课后作业）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分，… （1）5条直线最多可将平面分成________个部分；（2）n条直线最多可将平面分成________个部分． 模型4.多边形的对角线条数计数模型 【模型提炼与证明】 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【典例2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】(1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． 【典例3】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 模型常见易错点 1）计数直接套公式，忽略前提 错误：随便拿几个不共线的点，直接用公式算线段。 解决方案：先判断：点是否共线，射线是否共顶点，不满足只能枚举。 2）数线段/角，想到哪个数哪个，出现重复、漏数 解决方案：固定起点有序数，从左到右依次枚举，数完标记，不回头。 3）等量代换写步骤，只写结果，缺少几何依据 错误：直接写AC=BD，不写等式性质，考试扣分。 解决方案：每一步推理标注依据（等式性质/ 等量代换），七年级几何必考书写规范。 4）忽略分类讨论，点在延长线上/射线在角外部 例：点C在AB延长线上，线段和差关系变为AC=AB+BC，学生仍套用线段内部公式。 解决方案：看到无图几何题，先画图，分情况讨论。 5）混淆线段计数与射线计数，射线无此公式，射线数量直接数，不能套 解题方法总结 线段 / 角计数解题步骤 1）观察：判断是否【点共线 / 射线共顶点】； 2）数总个数：数点的数量n / 射线数量n； 3）代入公式：总数=；不能套公式就有序枚举； 4）检验：重新枚举核对，防止漏数。 等量代换（线段 / 角度）解题步骤 1）找已知相等量（线段相等 / 角相等）； 2）找公共部分（公共线段 / 公共角）； 3）判断：是同时加公共部分，还是同时减公共部分； 5）列式变形，写出结论； 6）标注推理依据（等式性质 / 等量代换）。 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，点在线段上，若，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 3.（25-26七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ． 4．（25-26七年级上·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有__________种不同的车票． 5．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备______种单程车票． 6．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 7．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 8.（25-26七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 1.（25-26山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（    ） A．9 B．54 C．60 D．108 2．（2026·湖北孝感·校考一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有___________个交点； （2）n条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母n的式子表示，） 3.（25-26七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 4．（25-26七年级上·广东·专题练习）①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； ②如图2直线l上有3个点，则图中有_____条可用图中字母表示的射线，有_____条线段； ③如图3直线上有n个点，则图中有_____条可用图中字母表示的射线，有_____条线段； ④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需_____场比赛． 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时．①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．”选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 6.（25-26湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 7.（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）． （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 1．（25-26七年级上·上海·期末）条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，按照规律依此类推，条直线最多有个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角． 3．（2026七年级上·成都·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有___________个交点，4条直线相交最多有___________个交点，……，像这样，8条直线相交最多有___________个交点，n条直线相交最多有___________个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成___________部分，4条直线最多把平面分成___________部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成___________部分，n条直线最多把平面分成___________部分． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）现有人参加会议，若每两人之间只握一次手，则一共握手①次．这个法则被称为握手法则，数学上有很多题目可以用握手法则解决．①式获得的方法如下： 法一：假设法 假设每两个人之间都一一握手（每两个人之间共握手两次），则共握②次，再将②式除以2即可． 法二：倒置法 设①，则②， ①+②，得所以，． 请你借助握手法则，完成以下问题： (1)若过边形的一个顶点可以画出条对角线，则___________； (2)现有10名同学，她们赠送彼此各一张卡片，则共需要卡片___________张； (3)乘地铁从甲地出发，沿途经过4站后到达乙地，那么在甲、乙两地之间需要___________种不同的票价，需要___________种车票； (4)计算：． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）（1）如图，已知线段，在上逐一画点．数一数，图①中有几条线段？图②中有几条线段？图③中有几条线段？当线段上有十个不相同的点时，共有多少条线段？ （2）如图2，已知，在内逐一画射线．图①②③中分别有多少个角（不大于平角）？当内有十条射线时，共有多少个角？ （3）小亮在解答（2）题时，在上面的各图中画一条直线和各射线相交，从而将（2）题变成了与（1）题中相应的问题予以考虑和解决，你认为这样做可以吗？ 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 7.（25-26·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $