专题04 双（多）角平分线模型（角度）（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级上册

专题04 双（多）角平分线模型（角度） 本模型是初中几何第一个重要模型，属于几何入门核心基石，贯穿七上到九年级。基础题直接套模型计算；中档题是射线动点，需要分类讨论（射线在角内部/外部）；压轴小问常结合多角平分线，用设元法求解。七上只要求会推导、规范书写步骤。 角平分线是几何线段、角度转化最基础工具。学好本模型，直接为后续：角平分线全等模型、平行线倒角、三角形内心、圆的圆周角倒角、相似倒角打基础。很多学生后面几何学不动，根源就是七上双角平分线模型没有吃透，不会用角平分线做角度等量代换。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型 2 模型2.角n等分线模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 22 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持，是从角平分线定义衍生出来的经典几何二级结论。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 1）角平分线定义、角的和差； 2）平角、周角定义、三角形内角和； 3）角度计算中的方程思想。 模型1.双角平分线模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）如图，直线相交于点，平分，平分，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【典例2】（2026·河南周口·三模）如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，从直线上一点在的同侧顺次作射线，其中点在直线上，平分，平分．当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【典例6】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【典例7】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 模型2.角n等分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【典例4】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】（1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 模型常见易错点 1）看到 “两条角平分线” 直接套公式，不看图形射线位置 解决方案：先画图！ 做题第一步画出草图，标记OC 在角内还是角外；内部相加、外部相减，公式只是推导结果，不能脱离图形。 2）动点题型，题目没有限定射线位置，漏掉分类讨论 解决方案：题干出现“平面内射线OC”，立刻警惕分类讨论，分为：OC在角内部、OC在角外部两大类。 3）解答题直接写模型结果，省略角平分线定义步骤，被扣步骤分 解决方案：答题硬性规范：只要出现角平分线，必须写出 “∵XX 平分∠X，∴∠XXX=1/2∠X”，再进行角度加减。 4）多角平分线题目，看错平分对象，分不清哪条射线平分哪个角 解决方案：图形上做标记：相同角度用相同弧线标记；多角平分线优先设最小角为x，用代数代替角，降低识图难度。 解题方法总结 解题步骤：① 识图标记：在图上用弧线标记被平分产生的相等角，确定分割射线在大角内部 / 外部； ② 提取条件：圈出 “平分” 关键词，写出角平分线定义的等式； ③ 模型判定：判断属于共顶点双角平分线，还是三角形双角平分线；多角平分线选择设元法； ④ 角度运算：利用角的和差，合并代数式； ⑤ 代入数值，计算结果； ⑥ 检查 + 作答：动点问题回头检查是否完成分类讨论，规范写答。 1.（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 2.（25-26·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）如图，点O是直线上一点，射线，分别平分，．若，则________． 6．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，．求的度数． 7．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，与互为邻补角，平分，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由；(2)若，求的度数． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数． 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（    ）（多选题）    A． B． C．是的角平分线 D．若，则和互余 2.（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 3.（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段检测）射线是的三等分线（靠近），射线是的角平分线，从点O引射线，使得，若，则的度数为_________°． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 6.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 3．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 4．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”． 例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”． (1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”； (2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________； (3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则____； (2)如图3，，为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线；②求的度数（用含的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】（1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】（2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】（3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双（多）角平分线模型（角度） 本模型是初中几何第一个重要模型，属于几何入门核心基石，贯穿七上到九年级。基础题直接套模型计算；中档题是射线动点，需要分类讨论（射线在角内部/外部）；压轴小问常结合多角平分线，用设元法求解。七上只要求会推导、规范书写步骤。 角平分线是几何线段、角度转化最基础工具。学好本模型，直接为后续：角平分线全等模型、平行线倒角、三角形内心、圆的圆周角倒角、相似倒角打基础。很多学生后面几何学不动，根源就是七上双角平分线模型没有吃透，不会用角平分线做角度等量代换。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型 2 模型2.角n等分线模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 22 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持，是从角平分线定义衍生出来的经典几何二级结论。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 1）角平分线定义、角的和差； 2）平角、周角定义、三角形内角和； 3）角度计算中的方程思想。 模型1.双角平分线模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）如图，直线相交于点，平分，平分，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平分，， 直线相交于点，， 平分，． 【典例2】（2026·河南周口·三模）如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，，∴. 【典例3】（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，从直线上一点在的同侧顺次作射线，其中点在直线上，平分，平分．当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴．故选：A． 【典例4】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，，； ∵平分，且，∴； ∵平分，且，∴； ∴；故选：B． 【典例5】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，，∴， ∴，∴． 【典例6】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【答案】C 【详解】情况1：当在内部时， 平分，，， 平分，，，. 情况2：当在外部时， ，，，， .故答案为.故选C 【典例7】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴，∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 模型2.角n等分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，是的三等分线，∴每一份是， 如图所示，，∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，，∴，∴； 如图所示，，∴， ∴；故答案为：或或 ． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴，∴， 则，故选：D． 【典例3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分．∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分，∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 【典例4】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】（1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵ ，OQ是的4倍分线， ∴ ，∴ ， ∵ OP是的4倍分线，∴ ， ∴ 故答案为：． （2）解：∵ 与互为补角，∴ ， ∵ OP是的3倍分线，且，∴ ， ∵ OQ是的3倍分线，且，∴ ， ∴ ． （3）解：设，∵ OM是的3倍分线，且， ∴ ，．设， ∵ ON是的3倍分线，且，∴ ，． ∵ 点O在直线AB上，∴ ，，． ∵ ，∴ ， 联立方程：解得：，． ∵ OC是的平分线，∴ ， ∴ ．答：的度数为． 模型常见易错点 1）看到 “两条角平分线” 直接套公式，不看图形射线位置 解决方案：先画图！ 做题第一步画出草图，标记OC 在角内还是角外；内部相加、外部相减，公式只是推导结果，不能脱离图形。 2）动点题型，题目没有限定射线位置，漏掉分类讨论 解决方案：题干出现“平面内射线OC”，立刻警惕分类讨论，分为：OC在角内部、OC在角外部两大类。 3）解答题直接写模型结果，省略角平分线定义步骤，被扣步骤分 解决方案：答题硬性规范：只要出现角平分线，必须写出 “∵XX 平分∠X，∴∠XXX=1/2∠X”，再进行角度加减。 4）多角平分线题目，看错平分对象，分不清哪条射线平分哪个角 解决方案：图形上做标记：相同角度用相同弧线标记；多角平分线优先设最小角为x，用代数代替角，降低识图难度。 解题方法总结 解题步骤：① 识图标记：在图上用弧线标记被平分产生的相等角，确定分割射线在大角内部 / 外部； ② 提取条件：圈出 “平分” 关键词，写出角平分线定义的等式； ③ 模型判定：判断属于共顶点双角平分线，还是三角形双角平分线；多角平分线选择设元法； ④ 角度运算：利用角的和差，合并代数式； ⑤ 代入数值，计算结果； ⑥ 检查 + 作答：动点问题回头检查是否完成分类讨论，规范写答。 1.（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】C 【详解】解：，， ∵平分，，∵平分，， ，故选： C． 2.（25-26·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， 平分，平分，，， ．故选：D． 3.（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的平分线，，∴， ∵是的平分线，∴，故选：A． 4.（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴ ∵射线，分别平分，∴， ∴ ∴．故选：B． 5．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）如图，点O是直线上一点，射线，分别平分，．若，则________． 【答案】 【详解】解：∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴，故答案为：． 6．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，．求的度数． 【答案】 【详解】解：∵平分，∴，， ∵，，∴，解得， ∴，∴， ∵平分，∴， ∴，∴． 7．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，与互为邻补角，平分，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由；(2)若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【详解】（1）解：， 理由是：∵与互为邻补角，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴； （2）∵平分，∴， ∵与互为邻补角，∴， ∵平分，∴． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为(2)的度数为 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵是的平分线，∴，∴； （2）解：∵是的平分线，，∴， ∵是的平分线，，∴， ∴， ∵，∵，∴， ∴，即． 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（    ）（多选题）    A． B． C．是的角平分线 D．若，则和互余 【答案】AC 【详解】解：∵，是的三等分线，，是的三等分线， ∴，， ∴是的角平分线，，不能判断与的大小关系，，故B不正确； 若，因为， 所以，故D不正确；故选：AC． 2.（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵，平分，，∴， ①当射线在内时，如图，； ②当射线在内时，如图，； ∴度数是或．故选：B． 3.（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】解：如图1，当位于内部时，∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 如图2，当位于外部时，∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 综上可知或．故选：A． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段检测）射线是的三等分线（靠近），射线是的角平分线，从点O引射线，使得，若，则的度数为_________°． 【答案】80或120/120或80 【详解】解：如图，在的内部， ∵，，∴，∴， ∵是的三等分线（靠近），∴，， ∵是的角平分线，∴，∴．    解：如图，在的外部，∵，，∴，∴， ∵是的三等分线（靠近），∴，， ∵是的角平分线，∴， ∴．故答案为：80或120． 5．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”，∵，； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵，，； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，，，解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，，，解得； 综上，的度数为或或，故答案为：或或． 6.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 综上，为或或，故选：C． 2．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【答案】B 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵∴互为“优角”； ∵，∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”；故共有7对角互为“优角”。故选∶B． 3．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ，，故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，，，， ，，，， ，故答案为：135； ②不变，理由如下： ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 4．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”． 例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”． (1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”； (2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________； (3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)是(2)(3)或或 【详解】（1）解：∵，射线在的内部，且， ∴∴ ∴射线是的“角余分线”；故答案为：是． （2）解：∵射线平分，设∴ 又∵射线是的“角余分线”，∴ ∴∴故答案为：． （3）解：∵射线是的角平分线，∴， 设，则∵射线是的“角余分线”， ∴或 ∴，即①；或即②； ∵射线是的角余分线，∴或 ∴③或，即④ 当，时（即①③成立），如图所示 ∴解得：∴； 当，时（即①④成立），如图所示， ∴解得：∴； 当，时（即②③成立），如图所示 ∴解得：∴； 当，时（即②④成立），如图所示 ∴解得：∴； ∵， ∴，则在的外部，不是的角余分线，不合题意，舍去 综上所述，或或 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则____； (2)如图3，，为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【详解】（1）解：由题意，，， ∵平分，平分，∴， ∴，故答案为： (2)由题意，画图如下， ②∵，平分， ∴，∴, ∵,平分，∴， ∴； （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴； 综上，的角度为或． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】（1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】（2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】（3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”，， ，，； （2）如图，当在上方时，OM平分角，， 根据题意得，， ，， 当在下方时，平分角，， 根据题意得，， ，综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $