专题21 二次函数中的新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题21二次函数中的新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中点坐标的新定义型问题 题型二 二次函数中伴随问题的新定义型问题 题型三、 二次函数与一次函数的新定义型问题 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”)，要求解析 式、交点或参数范围。 -解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求 解：结合图象辅助理解范围。 -易错提醒：未理解定义即套用常规方法，忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”)；参数讨 论时漏解或范围边界处理不当。 刁题型归纳一—精讲典型题法，奔尖解题报基 题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题 典例1：(25-26九年级上河南驻马店期末)在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已 有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究. 定义：若抛物线上存在一点P,且点P的横、纵坐标之和为n,则称点P为此抛物线的“阶梯点”. 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(0,I 例如：点 在抛物线y=x+3x+1 ，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的 “阶梯1点”. 根据以上定义，解决下列问题： (Q)若点P是抛物线少=+3x+ 的“阶梯6点”，求点P的坐标. x,y 设点P的坐标为 ,由定义可知'=父+3x+1,且+y=6,所以'=6-x, 所以+r+3x+1=6 x=1x2=-5 解得 所以点P的坐标为 y=x2-3x-2 (2)若点P是抛物 的“阶梯1点”，求点P的坐标. y=x+x+c (3)若抛物线 上存在“阶梯3点”P,请直接写出C的取值范围. 题型模版 1特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。 2方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。 变式1-1(2425九年级上湖南永州期末)【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点 A(x,y 是函数图象上任意一点，纵坐标》与横坐标x的差“’-x”称为点A的“纵横值”，函数图象上 所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，例如：己知点1(24)在面数”=3江-2的图 象上，点A的“纵横值”可以表示为y-x=3x-2-x=2x-2,当1≤x≤5时，2x-2的最大值为 2×5-2=8 y=3x-21≤x≤5 ，因此，函数 )的“最优纵横值”为8。 【问题】根据定义，解决下列问题： P(3,6) (1)①点 的“纵横值”为， 2025 ②求出函数y= +x(5≤x<9)的“最优纵横值”： 2/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【应用】(2)己知二次函数y= 2+r+C的对称轴为直线x=2:且“最优纵横值”为3，求b,c的 值： ()求二次函数'=+K-2(1≤x≤1+)的“最优纵横值”是多少？（用'的代数式表示） 变式1-2(2025辽宁阜新·一模)在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如 果将二次函数：y=+hr+c(a≠0) 图象上的点 (x》的横坐标不变，纵坐标变为4点的横、纵坐标之 和，就会得到的一个新的点 A(xxx+y) 他们把这个点A:定义为点A的“和点”，他们发现：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 y=ax2+bx+c(a≠0) 的“和抛物线”.例如，二次函数'=x+x+l1 的“和抛物线”就是 y=x2+x+1+x=x2+2x+1 请按照定义完成： 点P2)的“和”点是 (2如果抛物线'=+r+3(a≠0y经计点M,-3) 经过点 求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线y=r+r+C图象上的 B武x八的“和点”是 (-1,1) 若该抛物线的顶点坐标为P,q), m,n) 该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为 ①当0≤c≤5时，求n的取值范围. (P,9) ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点P,9组成一条新的抛物线，设为”，所有的顶点 m,n）也组成 一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离， 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题 典例2(2026江西模拟预测)定义：已知二次函数y=心+bx+C,则称二次函数 y=a(x-)+b(x-)+ 是二次函数y=+br+C的伴随二次函数，t是伴随值. 定义理解 (山)下列二次函数中，是二次函数”=+x+2 的伴随二次函数的是() A.y=(x-I0'+x+3 B.y=(x+I)+x+1 C.y=(x-2}'+x D.y=(x+2)}2+x+2 深入探究 网次同数青-式-2一了台国要知两防际，北件板次是致定片=F-6红习 ①伴随值为_： ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当m≤x≤m+2时，记=次函数”与”的图象为取，若甲的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐 标 6街 3 56 比 0 6 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=x2-6x+5 5 -3 -4 -3 题型棋版 1特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。 2方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求 解。 变式2-1(2425九年级上江苏泰州阶段检测)【定义与性质】 定义：如图，记二次函数'=ax-+c和'=-a(x-p+9a≠0 的图象分别为抛物线C和C,若抛物 C C (p,9) 在抛物线C上，则称是C的件随抛物线. C 线的顶点 0 备用图 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若S是C的件随抛物线，则C也是C的件随抛物线，即C的顶点 C (b,c)C 在 【理解与运用】 (1)证明性质②： (2)若二次函数y=2x-+m和y=一2x-m+3的图象都是抛物线y=2”的件随抛物线，则m=- ,n= 【思考与探究】 (3)设函数'=r-2c+2+3 的图象为抛物线 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若函数'=-r+c+e 图象为抛物线C,且C始终是C的件随抛物线，求，©的值： ②在(3)①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点 x,0)(x2,0x<x3) 请直接写出的取 值范围 变式2-2(2026辽宁抚顺模拟预测)【定义与性质】 记二次函数'=a-+(a≠0 P(h,k) 的图象为抛物线乙，其顶点为 定义：若存在另一条抛物线L,其解析式为'=-ax-m+”,且顶点 (m”)在抛物线上，则称抛物线 L'是抛物线L的“镜像抛物线”. 0)【理解与运用】：已知揽物线4y-式，若抛物线马：y=(x-3+是抛物线L的“镜像抛物线”， 求t的值： (2)【思考与探究】：设抛物线 y=-2mx+2m+4m为任意实数)，抛物线：y-+6x+C, ,且 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”. ①若抛物线凸与'轴交于4(，0)，B(,0)两点任<）.且满足5=4 ,求m的值： ②设N是“镜像抛物线”b的顶点，M是抛物线的顶点，当点V在点M的右侧，且<∠M0N<45° 时，求m的取值范围. 题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题 典例3(25-26九年级上：江苏苏州期末)定义：若直线y=x+m(m是常数)经过抛物线的顶点，则称 直线y=x+m是该抛物线的“最美直线”， ()若直线少=+m y=x2-2x-1 m 是抛物线 的“最美直线”，求的值： (2)平移抛物线 C:y=x2 得到抛物线9，若直线=x一是抛物线9的“最美直线”，直线”=x-与'轴 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的交点为A,抛物线C2与y轴的交点为B,点A与点B关于原点对称，求抛物线C2对应的函数表达式 题型模版 1特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。 2方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。 变式3-1(2026江西上饶三模)【定义】若二次函数'=+c+c(a≠0 的顶点在直线’=上，则称 二次函数叫做直线'=的开心函数.例如：二次函数)=r-2x+2 1,1) 的顶点为 在直线’=x上，所以 二次函数"=r2-2x+2 y=x 是直线 的开心函数. 【应用】 y=x2+4x-3 (1)若二次函数 是直线少=」 的开心函数，求k的值： ②若二次函数y=-2mx+ 是直线少x “的开心函数. 1 ①求证：n≥- 4； ②若m-3≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值. 变式3-2(2024江西九江·一模)定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y=心-a为抛物线 y=ax2+bx+c y=-x2+bx+c 的“衍生直线”.如图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A,B两点（点B在 C(-3,0) x轴上，点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点 图1 图2 (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标： 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②如图2，抛物线y=-+x+C的“衍生直线”与y轴交于点D,依次作正方形D0 正方形 DE2E ,,正方形DE,F(为正g数)，使得点A,D,B,,D在“生直线”上，点 FFF F ,…,在x轴负半轴上. E E ①直接写出下列点的坐标： ②试判断点，，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理 由 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 典例4(2425九年级上·江西吉安期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且 y=(x+2)2-1 项点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数.如 与少=(x-2}+1 为伴随函数. y1=x2+2x-1 2=(x-h)2+k (0）少=-2x2-4x 的伴随函数的表达式为_： (2)若片=r2+2.x- 的图像的顶点为P,且过它的件随函数为=-+ 的图像顶点e, 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① 、Q 求证：这两个函数图像的交点为 如图，点M是片=r+2x-1在R 在 之间的图像的动点， W上产轴交=--+的图像于点N。 求MN长度的最大值 题型模版 1.特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。 2方法：利用对称变换法则（如关于x轴、y轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。 变式41(2026河南平顶山·三模)定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物 A(2,4) 中心对称点”.点 在抛物线'=+c-4上，点A的“抛物中心对称点”为点B, (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标. (②)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线AB, ②将直线AB向下平移3个单位长度得到直线1，则直线1上 互为“抛物中心对称点”的两个 点。（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线y=r'+bx-4 向上平移k>0 个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对 称点”的两个点，请直接写出k的取值范围. 空式42(2026辽宁抚顺一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数=-2x-3与 +x+e交于有B两点，已知为的图象与y轴交于点C0,引， 2 且关于直线x=-1对称. 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 y2 (1)求二次函数的函数解析式； (2直线=m(1≤m≤2 分别与片和”的图象交于M,N两点，与轴交于点P.若PM=2PW,求m的 值： 定义：M)为较小画数即M-5) 凸（仍>），直线y=1与M()的图象交于D:E,F,G四点 (D,E,F,G从左到右依次排布)，若DG=4EF,求出的值. ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，交威思维上很 一、单选题 1.(2026江苏苏州二模)新定义：在平面直角坐标系中，对于 Pm,川）和点P(mm）,若满是m≥0时， 和点 n=n-4:若满足m<0时，n=-n,则称点 P'(m,n）a_P(m,n) 是点 的限变点.例如：点 (2,5) 的限变点 是21，点B(-23)的限变点是2-)，若点P心m 在二次函数y=-+4x+1 的图像上，则当 -1≤m≤3时，其限变点P的纵坐标n的取值范围是() A.-1≤n'≤1 B.-3≤n≤1 C.-1≤n≤4 D.-3≤n'≤4 2.(2026江苏无锡三模)定义：若函数'=f儿的图像上存在一点 P(x) 且该点处的“瞬时变化 =kac+b(k≠0) 率”k满足 k=,则称该函数为“函数”，规定：对于一次函数 ,其图像上任意一 10/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=ar2+bx+c(a≠0) 点的“瞬时变化率”均为k;对于二次函数 其顶点处的“瞬时变化率”为0.下列 结论正确的是() ①一次函数y=2x+1是2函数；②若一次函数是2函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函 3 数y=x2-4x+5是2函数：④二次函数y=m2+br+5是2函数，则一定有a=4: A.①③ B.②③ C.①④ D.① 二、填空题 3.(2026浙江温州三模)定义：在直线'=c+b(k,b为常数且k≠0)上的两点 (,）B(x,) Atm-w sm) 满足条件“名-=k且x式最小”时，称B是A的“k点”.若点（ 直线y=+b(飞，b为常数且k≠0)上且N是M的“k点”，则b= 4.（2026四川成都二模)定义：一个二次函数y=+r+c 与x轴有两个交点，且其中一个交点的横 =x2-3x+2 坐标是另一个交点的横坐标的一半，称该二次函数为半根函数.例如，二次函数 与x轴的交 1,0)(2,0) =x2-3x+2 =x2-x-2 点坐标为 1是2的一半，所以二次函数 是半根函数；二次函数 与x （-1,0)(2,0)-1 y=x2-x-2 轴的交点坐标为 不是2的一半，所以二次函数 不是半根函数.下列说法正 确的有一· 3.1 ①二次函数y=+2x+2是半根函数 2 ②若函数y=(x-3(mr+m）是半根函数，则18m2+15mn+2n2=0 y=ax+bx+c 是半根函数，且对称轴为直线=3，则% b2 =12ac ③若函数 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(a,b y=ax+bx+ ④若点 在直线yv6r 上，且函数 是半根函数，则4a=3c 三、解答题 5.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的 X(n) 两点关于直线x=”(n为常数)对称，则称该函数为“ 函数”. ①在下列函数中，是X(川 函数”的有一（填序号）. 1 ①y=x:②y=2024x+1;③y=x:④y=x2 (②若关于'的函数'=r+hr+4(a≠0)是X 是 函数，且过点8) ,求该函数关系式 6)考关于‘的函数'=(-+大是：X0)函数”，且图象与直线=4相交于4、B两点，函数图象的顶 点为P,当∠PBA=45°时，求h、k的值. 6.(2026河南平顶山三模)定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为 “轴顶函数”· )判断二次函数y=+k和y=-2+2h-是否为“轴项函数”，并说明理由： 2 y=-x+mx-m+l(m≠0) (2)若二次函数 是“轴顶函数” ①求二次函数的解析式： ②与'轴平行的直线交“轴顶函数”)=-+m-m+1m≠0)干P, 2两点(P点在点的左侧)，若 P2≤ ,请直接写出P点横坐标”的取值范围， 7.(2026江西吉安一模)我们定义：如图，抛物线'=(-+k(a<0)的顶点为4，与*轴交于 点8，C(点B在点C的左侧)，当△4BC为等边三角形时，我们把揽物线'=a(-广+(a<0)称为 “等边抛物线”，等边△ABC为它的内接正三角形. 12/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探究发现】 y=ax2+ 是“等边抛物线”，则a一 y=-3x2+k (1)若抛物线 ；若抛物线 是“等边抛物线”，则《二 y=ax2+ (2)若抛物线 是“等边抛物线”，请直接写出“，无的数量关系. 3)若抛物线y=a(x-h)+ 是“等边抛物线”，则(2)中a,K的数量关系仍成立吗？请说明理由、 (4)【拓展应用】 1 已知“等边抛物线”片=a(x-h)}+k与与=a,(x-,)}+k的内接正三角形的面积之比为1：9'试求a, 的值. 8.(2026湖南长沙三模)定义：在平面直角坐标系O少中，当点N在图形M的内部，或在图形M上， 且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”· 43o124 -4 图① 图② ①咖图O,矩形4BCD的原点坐标分别是4(-，2)，B(-,),C6),D3,2),在点 M(,),M2(2,2),M(3,3) 中，是矩形4BCD“立信之点”的是： 如©，已知点，8是微物线一+2x+“上伯“立行之点”，点C是抛物俊的顶点.在携4C 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB,BC,若△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，求C的值； (3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、O,使得以AB为对角线， 以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标：若不存在，请说明理由 9.(2026江西上饶二模)综合与探究 定义：抛物线C与销交于A,B两点，抛物线C也与辅交于A,B两点，且开口方向与抛物线C相反， 我们稼抛物线9与S为“牵手抛物线”，若抛物线9的顶点到销的距离是抛物线S的顶点到鞋的距离 的n倍，则抛物线C为9的“阶牵手抛物线” .C 图1 图2 探究1 0四下列抛物线是”r- 的“牵手抛物线”的是一· (填序号) -x21 ②y=-2x2+2 :③-22-2 探究2 C:y=x2-2x- C (2)如图1，抛物线 3与x轴分别交于A,B两点，且抛物线9为9的“2阶牵手抛物线”、 ①求抛物线C2的解析式： ②直线 :y=1>0)与抛物线S交于点C,D,与抛物线S交于点五，R,且CD=2F,求t的值. 探究3 )如图2，抛物线Gy=r-2r- 与x轴交于4，B两点，且抛物线9为9的“n阶牵手抛物线”，M 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N分别是抛物线S,C的顶点，作4PLAM交抛物线C于点P,连接PW,若PW∥4 ,请直接写出n 的值. 10.(2026湖北孝感·一模)如图1，在平面直角坐标系 0中，二次函数'=+r-4 的图象与轴交 于A,B两点(B在A的右侧)，与y轴交于点C,已知OB=1,OA=4OB VA V A1/ B D D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式和项点D的坐标： ②如图2，定义：记二次函数=a(x-矿+/和'=-ax-p旷+9a≠0)的图象分别为抛物线T和了.若抛 物线的顶点 (,9)在抛物线T上，则称了是T的件随抛物线。件随抛物线的性质有：(I)一条抛物 线有无数条伴随抛物线；（Ⅱ）若1是T的伴随抛物线，则T也是的伴随抛物线，即T的顶 D(s,在 记二次函数'=ar+bx-4 图象为抛物线T。 ①若函数少=-2++ T 的图象为抛物线，且是T的伴随抛物线，求的值： ②在①的条件下，若点P为抛物线T上第~象限内任意一点，过点P作x轴的平行线交抛物线买于点M, 过点P作y轴的平行线交抛物线T于点N,以PM、PN为邻边作矩形PMON,记矩形PMON的周长为f, 设点P的横坐标为m,求了关于m的函数解析式： 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③在②的条件下，若∫满足10≤f≤18，则m的取值范围为 16/16 专题21 二次函数中的新定义型问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题 题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题 题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”），要求解析式、交点或参数范围。 - 解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求解；结合图象辅助理解范围。 - 易错提醒：未理解定义即套用常规方法；忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”）；参数讨论时漏解或范围边界处理不当。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题 典例1 （25-26九年级上·河南驻马店·期末）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知，且，所以， 所以，解得，． 所以点P的坐标为　　　　． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标． (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解题意是解决本题的关键． （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于x的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，点P的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴ 由题意得，， ∴． 题型模版 1.特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。 2.方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。 变式1-1（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 变式1-2（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题 典例2 （2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 题型模版 1.特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。 2.方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求解。 变式2-1（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】 （1）证明：∵是的伴随抛物线， 即抛物线的顶点在抛物线上， ∴成立， 抛物线的顶点坐标为， 将点代入中， 则有， 即， 整理可得，， ∴抛物线的顶点在抛物线上， ∴也是的伴随抛物线； （2）；； （3）①，；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式的性质，结合“伴随抛物线的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键． （1）由是的伴随抛物线，可将点代入抛物线中可得成立，再将点代入抛物线中可证成立，即可得证； （2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入中即可求解； （3）①先将抛物线化为顶点式，再求出抛物线的顶点，由“始终是的伴随抛物线”可令k的值，再将k的值代入抛物线中，即可求解； ②先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点，再根据抛物线的运动过程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由“伴随抛物线”的定义可知， 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， 则有顶点和顶点在抛物线上， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：；； （3）①解：抛物线， 化为顶点式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴令，则顶点坐标为； 令，则顶点坐标为； ∴，解得， ∴的值为2，的值为3； ②解：由（1）可知，，顶点为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴抛物线的顶点在抛物线上运动， 令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线与轴有两个不同的交点，， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∵始终是的伴随抛物线， 则也是的伴随抛物线， ∴顶点也在上， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∴的取值范围为或． 变式2-2（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． (1)【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； (2)【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；②． 【分析】（1）将抛物线的顶点代入抛物线的解析式即可求解； （2）①令抛物线的解析式为结合条件即可得到的值；②用配方法求出“镜像抛物线”的顶点的表达式，将其代入抛物线的解析式可得抛物线，故，当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点，利用可得，设直线的解析式为，将代入，得直线的解析式为，把代入得，解方程后可得到点的横坐标，即，结合且点在点的右侧即可得到的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得，抛物线的顶点在抛物线上， 将点代入，得； （2）①在中，令，得， 解得， ， ，， ， ， ， 解得或， ②， 抛物线的顶点为， 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”， 点在抛物线上， ，且此式对任意均成立， ，， 抛物线， 为抛物线的顶点， ， 当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，点的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去） 点的横坐标为， ， ， ，且点在点的右侧， ． 题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题 典例3 （25-26九年级上·江苏苏州·期末）定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． (1)若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； (2)平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）求出点坐标，设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为，可得，，进而得到，求出的值即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴， 解得； （2）解：把代入直线，得， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴直线经过点， ∴， ∵抛物线与轴的交点为， ∴， ∴， 将代入，得， 即， 解得或， 当时，； 当时，； ∴抛物线的函数表达式为或，即或． 题型模版 1.特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。 2.方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。 变式3-1（2026·江西上饶·三模）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若时，y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)①证明：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， ∴； m的值为1或5 【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则；当时，求解即可． 【详解】（1） 解：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， 解得； （2） ①略； ②的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：m的值为1或5． 变式3-2（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为 (2)①，，，；②是，这条直线的解析式为 【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标； （2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，； ②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式． 【详解】（1）解：抛物线为， ， “衍生直线”的表达式为． “衍生直线”与x轴交于点B， 点B的坐标为． 抛物线与x轴交于点，， 抛物线的表达式为． 令，解得或， 把代入，得， 点A的坐标为； （2）解：①对于，令，则， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上， ∴， ∴． 同理可求出，…，． 故答案为：，，，； ②点，，…，在同一条直线上． 令，， ∴， ∴， 这条直线的表达式为． 题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题 典例4 （24-25九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）略 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 题型模版 1.特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。 2.方法：利用对称变换法则（如关于x轴、y轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。 变式4-1（2026·河南平顶山·三模）定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) ； (2)①；②不存在；③ 【分析】（1）求出点A的“抛物中心对称点”为点B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方求出顶点坐标即可； （2）①画出的抛物线和直线 即可； ②求出直线 的解析式为，平移后的解析式为，假设存在两点，判断是否在抛物线上即可； ③平移后的抛物线的表达式为 ，设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为，根据 可得 ，结合可得结论． 【详解】（1）解：由题意，可知点，点，且点 均在抛物线上． 把代入 ，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①略 ②设直线 的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线 的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度得到直线 ， 假设存在两点关于原点对称， 把点的横坐标代入得： 故不存在两点互为“抛物中心对称点”； ③由题意，得平移后的抛物线的表达式为 ． 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为， ∴ ． ∴ ． 整理，得 ． ∴ ． ∴ ， ∵， ∴ ． 变式4-2（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）设，则，则可得，解方程即可； （3）解方程可得，，列方程即可． 【详解】（1）解：过，对称轴， ，， ， ∴二次函数的函数解析式； （2）解：设，则，， ，， 由， 可得， 可得或， 解得或或， ， 或； （3）解：如图， 令， 可得， 解得， ， 令， 可得， 解得， ， ， ， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·江苏苏州·二模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；若满足时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据限变点的定义，分和两类讨论，结合二次函数的增减性求出的范围即可． 【详解】解：首先将二次函数配方得：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小， ∴分两种情况讨论： 1.当时，由限变点定义得， ∵该区间在对称轴左侧，随增大而增大， 当时，；当时，， ∴， ∴； 2.当时，由限变点定义得， ∵对称轴在该区间内， ∴当时，取最大值；当时，取最小值， ∴， ∴； 综上，合并两个区间得的取值范围是． 2．（2026·江苏无锡·三模）定义：若函数的图像上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”k满足，则称该函数为“Ω函数”．规定：对于一次函数，其图像上任意一点的“瞬时变化率”均为k；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为0．下列结论正确的是（     ） ①一次函数是Ω函数；②若一次函数是Ω函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函数是Ω函数；④二次函数是Ω函数，则一定有． A．①③ B．②③ C．①④ D．① 【答案】D 【分析】根据题目给出的“Ω函数”定义，以及一次函数、二次函数瞬时变化率的规定，逐一判断每个结论，即可得到正确选项． 【详解】解：①一次函数，由规定得任意点瞬时变化率， 若为Ω函数，需满足，其中，代入得：， 整理得， ∵，方程有实根， 该函数是Ω函数，①正确； ②一次函数是Ω函数，则满足， 整理得， ， ， ，方程总有实根，可以为负数，例如，时方程有实根， 该函数是Ω函数，但函数值随自变量增大而减小，故②错误； ③二次函数，由规定得顶点处瞬时变化率， 配方得，顶点坐标为， ，不满足Ω函数定义，故③错误； ④二次函数，顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点处“瞬时变化率”，即， 若，则，此时， 而， 因此只要就满足条件，不一定，故④错误． 综上只有①正确． 二、填空题 3．（2026·浙江温州·三模）定义：在直线（k，b为常数且）上的两点，满足条件“且最小”时，称B是A的“k点”．若点，在直线（k，b为常数且）上且N是M的“k点”，则______． 【答案】 【分析】先将M、N坐标代入中，作差化简，结合“k点”定义得到，利用最小，结合二次函数性质求得n值，进而求得m、k值，代入①中可求得b值． 【详解】解：∵点，在直线， ∴ 得， ∵N是M的“k点”， ∴根据“k点”定义，， ∴等式两边同除以，得， ∴，整理，得， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，此时， ∴， 将，代入①中，得， 解得． 4．（2026·四川成都·二模）定义：一个二次函数与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标是另一个交点的横坐标的一半，称该二次函数为半根函数．例如，二次函数与x轴的交点坐标为，，1是2的一半，所以二次函数是半根函数；二次函数与x轴的交点坐标为，，不是2的一半，所以二次函数不是半根函数．下列说法正确的有______． ①二次函数是半根函数 ②若函数是半根函数，则 ③若函数是半根函数，且对称轴为直线，则 ④若点在直线上，且函数是半根函数，则 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数与轴的交点以及半根函数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：，令， 则， 解得， 是的一半，故二次函数是半根函数，①正确； ，令， 则， 解得， 当时，化简得，即，此时； 当时，化简得，即，此时， 故②正确； 设二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，且， ， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 根据，得， ， ∴， ∴， 故③错误； 点在直线上， ， 设二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，且， ， 将代入，得， ， 将代入可得， 即，④正确． 三、解答题 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有______（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于的函数是函数，且过点，求该函数关系式． (3)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于两点，函数图象的顶点为，当时，求、的值． 【答案】(1)④ (2) (3) 【分析】（1）由题中“函数”的定义逐个验证即可； （2）由“函数”的定义确定二次函数对称轴为得到，再将点代入函数关系式得到，联立方程组求解即可； （3）由“函数”的定义确定二次函数对称轴为；设点，则点，结合题意，由等腰直角三角形的判定与性质得到，列方程组求解即可得到的值． 【详解】（1）解：①及②的图象是不平行于轴的直线，不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，即图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数①②不是“函数”； ③的图象是双曲线，关于直线和对称，但不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，所以图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数③不是“函数”； ④的图象是抛物线，关于轴对称，满足题目定义，函数④是“函数”； （2）解：为函数，即其图象的对称轴为， ，即； 又函数图象过点， ， 联立，解得， 该函数关系式为； （3）解：为“函数”， 其图象的对称轴为； 即， 又函数图象与直线相交于两点， 设点，其中，则点， ， ，函数图象的顶点，如图所示： ， 由抛物线对称性可得，， 是等腰直角三角形，即， ， 联立， 由①得，则，解得或（舍去）， ； 综上所述，． 6．（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“轴顶函数”. (1)判断二次函数和是否为“轴顶函数”，并说明理由； (2)若二次函数是“轴顶函数”. ①求二次函数的解析式； ②与轴平行的直线交“轴顶函数”于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围. 【答案】(1)解：和都是“轴顶函数”； 理由：∵的顶点坐标为在轴上； 的顶点坐标为在轴上， ∴它们都是“轴顶函数”； (2)①；② 【分析】（1）根据“轴顶函数”的定义判断即可； （2）①根据题意可知，再解方程即可； ②设与轴平行的直线，则，则，结合进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）①∵， ∴其对称轴为直线， 当时，， ∴的顶点坐标为． ∵是“轴顶函数”， ∴或， ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线，设与轴平行的直线， 则点，的横坐标满足，解得，， 则， ∵，即，解得， 当时，， 当时，（此时、两点重合，不满足题意）， 综上，点横坐标的取值范围． 7．（2026·江西吉安·一模）我们定义：如图，抛物线（）的顶点为，与轴交于点，（点在点的左侧），当为等边三角形时，我们把抛物线称为“等边抛物线”，等边为它的内接正三角形． 【探究发现】 (1)若抛物线是“等边抛物线”，则______；若抛物线是“等边抛物线”，则_______． (2)若抛物线是“等边抛物线”，请直接写出，的数量关系． (3)若抛物线是“等边抛物线”，则（2）中，的数量关系仍成立吗？请说明理由． (4)【拓展应用】 已知“等边抛物线”与的内接正三角形的面积之比为，试求的值． 【答案】(1)，1 (2) (3)仍成立，见解析 (4)3 【分析】（1）根据抛物线是“等边抛物线”，得出顶点为，为等边三角形，则，，得出点，将其代入抛物线即可求得．对于抛物线，同理得点，代入求解即可． （2）同（1）得点，代入，得，化简得． （3）过点作于点，则，，求出点的坐标为，将点坐标代入即可求得． （4）由（3）可知，两“等边抛物线”的内接正三角形的边长分别为，得出“等边抛物线”和的内接正三角形的面积分别为，．则，得出，结合（3）可知，，即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线是“等边抛物线”， ∴顶点为，为等边三角形， ∵，， ∴， 将点 代入抛物线得：， 解得：． 对于抛物线， 同理得点，代入得：， 解得：（舍去）． （2）解：∵抛物线是“等边抛物线”， ∴顶点为，为等边三角形， 同理得点，代入，得， 化简得． （3）解：（2）中，的数量关系仍成立． 理由：过点作于点， 则，， ∵点为抛物线（）的顶点， ，， ， ， ∴点的坐标为， 将点坐标代入中，得 ， 化简，得． （4）解：由（3）可知，两“等边抛物线”的内接正三角形的边长分别为， ∴“等边抛物线”的内接正三角形的面积为：， 同理，“等边抛物线”的内接正三角形的面积为． ， 即． 由（3）可知，， ． 8．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 9．（2026·江西上饶·二模）综合与探究 定义：抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线也与x轴交于A，B两点，且开口方向与抛物线相反，我们称抛物线与为“牵手抛物线”，若抛物线的顶点到x轴的距离是抛物线的顶点到x轴的距离的n倍，则抛物线为的“n阶牵手抛物线”． 探究1 (1)下列抛物线是的“牵手抛物线”的是______．（填序号） ①；②；③． 探究2 (2)如图1，抛物线与x轴分别交于A，B两点，且抛物线为的“2阶牵手抛物线”． ①求抛物线的解析式； ②直线与抛物线交于点C，D，与抛物线交于点E，F，且，求t的值． 探究3 (3)如图2，抛物线与x轴交于A，B两点，且抛物线为的“n阶牵手抛物线”，M，N分别是抛物线，的顶点，作交抛物线于点P，连接，若，请直接写出n的值． 【答案】(1)② (2)①；② (3) 【分析】（1）分别求每个抛物线与x轴交点的坐标，根据定义判断即可； （2）①先求抛物线与x轴交点的坐标和顶点坐标，根据定义求抛物线的顶点坐标，再用待定系数法求解即可； ②分别求出点的横坐标，再利用建立关于的方程，求解即可； （3）用含的式子表示抛物线的解析式和顶点坐标，作辅助线构造相似三角形，利用对应边成比例，含的式子表示点的坐标，代入解析式，组成方程求解即可． 【详解】（1）解：令，有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标是和， ①令，有，即，此方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ②令，有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标是和， ③令，有，即，此方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， 因此，抛物线的“牵手抛物线”是②； （2）解：①令，有，解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴顶点到x轴的距离是， ∵抛物线为的“2阶牵手抛物线”， ∴抛物线的开口向下，顶点到x轴的距离是，与x轴交于点和点， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得，解得：， ∴抛物线的解析式为 ②当时，有，解得：， ∴， 当时，有，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意； （3）解：抛物线的开口向上，顶点坐标为，顶点到x轴的距离是，与x轴交于点和点， ∵抛物线为的“n阶牵手抛物线”， ∴抛物线的开口向下，顶点到x轴的距离是，与x轴交于点和点， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 作，，垂足分别为，与轴交于点，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴ ∴，即， ∴， 设点的坐标为， 则有， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 把点的坐标代入， 得， 解得：，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，，，点和点重合，不符合题意，舍去， ∴． 【点睛】本题是二次函数新定义问题，根据定义确定解析式中各项系数的关系，或抛物线与坐标轴交点的关系、顶点坐标之间的关系，利用已知抛物线的解析式，求出未知抛物线的解析式，这是解这类试题的关键． 10．（2026·湖北孝感·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（在的右侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)如图2，定义：记二次函数和的图象分别为抛物线和．若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．伴随抛物线的性质有：（Ⅰ）一条抛物线有无数条伴随抛物线；（Ⅱ）若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 记二次函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且是的伴随抛物线，求的值； ②在①的条件下，若点为抛物线上第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，以、为邻边作矩形，记矩形的周长为，设点的横坐标为，求关于的函数解析式； ③在②的条件下，若满足，则的取值范围为____________． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，顶点D的坐标为 (2)①；②；③的取值范围为或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再代入计算即可； （2）①根据题意，将顶点D的坐标代入，计算即可，②分2种情况讨论，当点P在抛物线对称轴左侧（包括顶点）和当点P在抛物线对称轴右侧，求出 的长，计算即可，③计算和，由，得到的取值范围，再计算和，由，得到的取值范围，最后确定答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 点B在x轴正半轴，点A在x轴负半轴 , 将A，B坐标代入得， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 顶点D的坐标为； （2）①：由（1）知，，抛物线T：， 抛物线：是T的伴随抛物线， 抛物线T：是抛物线：的伴随抛物线， 顶点在抛物线：上， 代入得：，解得：； ②：由①知，抛物线：， 抛物线的对称轴是直线， 横坐标为m的点P是抛物线第一象限内的点， ，解得： ，， 轴交抛物线于点M， 轴交抛物线于点N， ， 如下图3，当点P在抛物线对称轴左侧（包括顶点）时，， ， ， 四边形是矩形， ， 如下图4，当点P在抛物线对称轴右侧时，， ， ， 四边形是矩形， ， 综上所述，f关于m 的函数解析式为： ； ③：若f满足， 若，解得：， 若，解得：， ， ； 若，解得：， 若，解得：， ， ；     的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $