第5章 二次函数 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

数学（北师版）九年级上 由图象，得a<0,∴.易得y1>y2.故③正确.，关于x 的一元二次方程ax2+bx十c一3=0没有实数根，∴.抛物 线y=ax2+bx十c与直线y=3没有交点.∴.m<3.故④ 正确.综上所述，正确的个数是3 ③(1)令y=0,则x2+(2m-2)x-4m=0.:△=(2m 2)2-4×1×(-4m)=4m2+8m+4=4(m+1)2,且(m+ 1)≥0，∴.△≥0.∴.方程x2+(2n一2)x-4m=0有实数 根∴.该函数的图象与x轴总有公共点.(2)一1. ·函数图象的顶点纵坐标为4X1X(一4m)-(2m-2)2 4×1 一(m+1)2,∴.当m=一1时，该函数图象的顶点纵坐标的 值最大 ④(1)由题意，得水柱上边缘所在抛物线的顶点A的坐标 为(2,1.8).设水柱上边缘所在抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-2)2+1.8(a≠0).该抛物线经过点H(0, 1.6),.∴.1.6=a×(0一2)2十1.8，解得a=-0.05.∴.水柱 上边缘所在抛物线对应的函数表达式为y=一0.05(x 2)2+1.8.当y=0时，0=-0.05(x-2)2+1.8,解得x1= 8,x2=一4（不合题意，舍去）.∴点C的坐标为(8,0). ∴.O℃=8米.∴.沿水柱上边缘喷出水的最大射程OC为 8米.(2)OD=4米，DE=3米，.OE=7米.在 y=-0.05(x-2)2+1.8中，当x=7时，y=-0.05× (7一2)2+1.8=0.55..·0.550.6，.沿水柱上边缘喷出 的水不能浇灌到绿化带最上方. ⑤(1)y=-x2+3x十4.：抛物线y=-x2+ba十c与 x轴交于点A(一1,0)，B(4,0),∴.将点A,B的坐标分别 一1一b十c=0, b=3, 代人，得{ 解得 .y=-x2+3x十 -16+4b+c=0, c=4. 4.(2)一(t一2)2+4；4.设直线BC对应的函数表达式 为y=kx十4，将点B的坐标代入得0=4k十4，解得b= 1,.直线BC对应的函数表达式为y=一x十4.设点P(t, -t+4),则点Q(t,-t2+3t+4),.PQ=(-t+3t+ 4)-(-t+4)=-(t-2)2+4.-1<0,∴.PQ有最大 值，当t=2时，PQ的最大值为4.(3)存在这样的点M, N,使得四边形PBMN是菱形.当t=2时，点P(2,2),设 点M(受，m.:点B(4,O,四边形PBMN是菱形， BP=M(4-22+2=(4-多)'十m2,解得m= 士受综上所述，存在这样的点M.N,使得四边形PBMN 是菱形，点M的坐标为（含，号）或（号，-号） [综合素养提升] ①B由条件可知点A,B关于二次函数图象的对称轴对 54 称，：二次函数y=x2十ba图象的对称轴为直线x= -合且AB中点的横坐标为+3》+《-》-1. “一名=1，解得6=一2：二次函数表达式为y=2 2x=(x一1)2一1，其对称轴为直线x=1,图象开口向上， 顶点为(1，一1.点A始终在点B右侧，∴.t一1< -t2+3,即-2t2>-4,t2<2.t2≥0，.0≤t2<2.对于 点A的横坐标xA=一t2+3,当0≤t<2时，1<xA≤3，对 于点B的横坐标xB=t2-1,当0≤t2<2时，一1≤xB<1. 当一1≤x<1时，y随x的增大而减小，取x=一1，则y= (-1)2-2×(-1)=3,取x=1,则y=12-2×1=-1, ∴.一1<y≤3.当1<x≤3时，y随x的增大而增大，取 x=3,则y=32-2×3=3,取x=1,则y=12-2×1=-1, ∴.一1<y≤3.综上，n的取值范围为一1<n≤3. ②B由题意，易得抛物线的对称轴为直线x=1,a<0, c>0-名=12a十6=0,6>0故①正确易知 abc<0.故②错误.根据抛物线的对称性，得抛物线与x轴 的另一个交点是（一2,0）.故④错误：抛物线的顶点坐标 为A(1,3),∴.抛物线与直线y=3只有一个交点.∴.方程 a.x2十bx十c=3有两个相等的实数根.故③正确.由题图， 得当1<x<4时，y2<y1.故⑤正确.∴.正确的个数是3. 自1长a<号：二次函数的阻象经过第-、二四象限， -242a>0,且a-120w>0,4=2a-3y-4aa 1D>0.1a<8实数a的取值范围是1<号 0名<a≤专：点E的坐标为（←-是，-10），BM 4 21 gm,EN2?m,点M,N的坐标分别为(9，-10， 12,-10.“A(1,）…可设运动员在空中运动时对 应抛物线对应的函数表达式为y=m(红-1)P+号.又 5 5 :此时抛物线过点(0,0)，m十=0.m=一 ∴，运动员在空中运动时对应抛物线对应的函数表达式为 y=-年x-10+.令y=-10-10=-号 1)+号=4或-2（舍去）.B(4,-10.:该运动 员入水后运动路线（抛物线）对应的函数表达式为y= a(x一h)2十k,.当抛物线过点M(9,一10)时，顶点为 (6.5,-15).∴.此时y=a(x-6.5)2-15.把M(9,-10) 代入，得a=5.同理，当抛物线过点N(12,一10)时，a= 6,由点D在MN之间（包括M,N两点），得a的取值范 玉是品<号 4 ⑤①②④①(x-2)2≥0，.-(x-2)2≤0. .y2=-(x-2)2-1≤-1<0.∴.无论x取何值，y2总 是负数.故①正确：②抛物线G:y1=a(x十1)2+2与抛 物线H:y2=一(x-2)2-1交于点B(1,一2)，∴.当x=1 时，y=-2,即-2=a(1+1)2+2,解得a=-1.∴.y1 一(x十1)2+2.∴.抛物线H可由抛物线G向右平移3个 单位长度，再向下平移3个单位长度得到.故②正确； ③：y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1] 一6x十6，∴.随着x的增大，y1一y2的值减小.故③错误： ④设AC与DE交于点F,:当y,=-2时，一(x+1)2+ 2=一2，解得x=一3或x=1,.点A(-3,-2).当 y2=-2时，一(x一2)2-1=-2，解得x=3或x=1, .点C(3,-2).∴.AF=CF=3,AC=6.当x=0时，y1= 1,y2=一5，∴.DE=6,DF=EF=3.∴.四边形AECD为 平行四边形.又，AC=DE,.四边形AECD为矩形.又 ,AC⊥DE,∴.四边形AECD为正方形.故④正确 6(1)由题可设图象L,所在抛物线对应的函数表达式为 y=a(-号)+h.将B(3,0),A(0,1)分别代人，得 a(0-子)）+h=1 a=-1, a(8-号）+h=0 解得6-25.故y=-（-)'+ h=9 -x2+8x+1.(2)①：ED=1m,0D=5m, 9 ∴.点E的坐标为(5,1).当图象L2所在抛物线经过点E 时，设其对应的函数表达式为y=一x2+bx十c.将B(3, 17 9+3b十c=0, b-2 0),E(5,1)分别代入，得 解得 -25+5b+c=1, C=- 33 2” 故图象L2所在抛物线对应的函数表达式为y=一x2+ 1733 、17 14 ≤m<3 3 2 ⑦（①）”抛物线的对称轴是直线x=3…一a-3,解得 a=- 、1 小抛物线对应的函数表达式为y=一 x2+ 1 附：答案与解析 2x+4令y=0,则x=-2或8，A(-2,0),B(8,0). 3 ∴.AB=8-(一2)=10.(2)①由(1)知抛物线对应的函 数表达式为y=子女+号十4当=0时y=4,即 C(0,4),由点B,C的坐标得，直线BC对应的函数表达式 为y=一之x十4，由题意知点M的坐标为(m,-m十 1 多m+4)小点N的坐标为(m,m+),:MN 3 m+号m+4-（-m+4)=-子m2+2m 1 (m一4)2+4，∴.当m=4时，线段MN的长有最大 值，此时m+号m+=-子×+受×1什4=6 ∴.点M的坐标为(4,6).②存在.当点M在对称轴右侧 时，如图①，，MD⊥MN,交抛物线于点D,MN∥y轴，抛 物线的对称轴是直线x=3,点M的横坐标为m,∴.DM= 2(m-3),∠DMN=90°..当DM=MN时，△DMN为 等腰直角三角形.：MN的长为一m+2m,2(m 3)=-1 m2+2,解得m-26或-26（舍去）.当点M 在对称轴左侧时，如图②，：MD⊥MN,交抛物线于点D, MNy轴，抛物线的对称轴是直线x=3,点M的横坐标 为m,.DM=2(3-m),∠DMN=90°.∴.当DM=MN 时，△DMN为等腰直角三角形.：MN的长为-子m+ 2m,.∴.2(3-m)= m2+2m,解得8-2√0或8+ 1 2√10（舍去）.∴.m的值为2√6或8-2√10， y D ② (第7题) 第六章 概率的进一步认识 [高频考点突破] 0)子. (2)根据题意，画树状图如图所示.由图，可 知共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应 的运算后结果是无理数的有10种.∴.抽到的2个实数进 55数学（北师版）九年级上 对应练习 M,N,使得四边形PBMN是菱形？若 5.[2025醴陵期末]如图，抛物线y=-x2十 存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 b.x十c与x轴交于点A(一1,0)，B(4,0), 说明理由」 与y轴交于点C,连接BC,P为线段CB 上一个动点（不与点C,B重合），过点P 作PQ∥y轴交抛物线于点Q, (1)抛物线对应的函数表达式为 (2)设点P的横坐标为t,则线段PQ的 备用图 长为 ,线段PQ长度的最大值为 (第5题) .(用含t的式子表示) (3)已知M是抛物线对称轴上的一个 点，N是平面直角坐标系内一点，当线段 PQ取得最大值时，是否存在这样的点 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2025南通通州期末]已知点A(-t2+3,n),B(t-1,n)都在关于x的函数y=x2+bx 的图象上.若点A始终在点B右侧，则n的取值范围是 () A.-1<n<3 B.-1<n≤3 C.-1≤n<3 D.-1n3 2.如图所示为抛物线y1=ax2十bx十c的一部分，抛物线的顶点坐标为A(1,3),与x轴的 一个交点为B(4,0),直线y2=x十n(m≠0)与抛物线交于A,B两点.有下列结论： ①2a十b=0;②abc>0;③方程a.x2十bx十c=3有两个相等的实数根；④抛物线与 x轴的另一个交点是（一1,0）；⑤当1<x<4时，y2<y1.其中，正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 ↑0 10m E B4DN水面 B 01 (第2题) (第4题) 3.[2024泸州中考]已知二次函数y=ax2十(2a一3)x十a一1(x是自变量)的图象经过第 一、二、四象限，则实数a的取值范围是 4.如图，某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(- -10以运动 员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线的一部分.运动员在空 中最高处点A的坐标为1，)·运动员入水后，运动路线为另一条抛物线的一部分，在该 38 第五章二次函数 运动员人水点的正前方有M,N两点，且BM-号m,EN- 21 2m,该运动员入水后运动 路线（抛物线）对应的函数表达式为y=a(x一h)2十k,且顶点C距水面5m,若该运动员 出水点D在MN之间（包括M,N两点），则a的取值范围是 5.如图，抛物线G:y1=a(x十1)2十2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于 点B(1,一2)，且分别与y轴交于点D,E.过点B作x轴的平行线，分别 交抛物线G,H于点A,C.有以下结论：①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位 长度得到；③当一3<x<1时，随着x的增大，y1一y2的值先增大后减 (第5题) 小；④四边形AECD为正方形.其中，正确的是 .(填序号) 6.[2025邯郸临漳期未]小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究.如 图，抛球点A距地面1m(AO=1m),跳跳球落在距离原点3m远的地面上（点B处），运 动轨迹为抛物线的一部分，记为图象L,其最高点与抛球点的水平距高为m,以0为 坐标原点建立平面直角坐标系， (1)求图象L1所在抛物线对应的函数表达式. (2)跳跳球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象L2(图象L1,L2所在抛物线的形 状相同，且图象L2的最高点低于图象L1的最高点)，跳跳球恰好落到距离原点5远的 一个矩形石凳上(OD=5m),石凳高度ED为1m,宽度EF为2m. ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象L2所在抛物线对应的函数表达式 ②如果图象L2所在抛物线的对称轴为直线x=,请直接写出m的取值范围， Y/m (第6题) 39 数学（北师版）九年级上 72025蓬义余庆期未]如图，抛物线y=0m2+号十4的对称销是直线=3，与？输相交 于A,B两，点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C (1)求线段AB的长， (2)若M是直线BC上方抛物线上的一个动点（不与点B,C重合），设点M的横坐标为 m,过点M作MN∥y轴，交直线BC于点N, ①当线段MN的长取得最大值时，求，点M的坐标， ②过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角 形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 703 B (第7题) 40