专题20 圆与几何图形、函数问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题20圆与几何图形、函数问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆与三角形的综合问题 题型二、圆与四边形的综合问题 题型三、圆与函数的综合问题 题型四、圆中的新定义型综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：圆与三角形、四边形或函数图象结合，涉及切线、弦长、面积或动点存在性，常需建立函数 关系。 -解题方法：利用圆的性质（垂径、圆周角、切线）导边角关系；设动点坐标，用勾股或相似表示线段长， 建立函数模型求最值：联立方程求交点。 -易错提醒：忽略圆中多解（弦两侧、优劣弧）；函数自变量取值范围受圆约束，切线判定中“连半径证 垂直”与“作垂直证半径”混用。 习题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆与三角形的综合问题 典例1(2026：湖北中考真题)如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的O0交AB于点D,弦 DF⊥BC,垂足为E. 1/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 (I)求证：AD=BD; (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 题型模版 1特征：圆与三角形结合，涉及外接圆、内切圆、切线或弦，求角度、线段或面积。 2方法：利用圆周角定理、切线性质或垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理或相似三角形列方程求 解。 变式1-1(2026湖北武汉模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0平分∠BAC交BC于点O, 以点O为圆心，OC为半径的圆交BC于点D. (1)求证：AB为圆O的切线： (2)若AC=6,BC=8,求圆O的半径R. 变式1-2(2026黑龙江哈尔滨一模)已知△ABC内接于⊙0，圆心O在△ABC的内部，AD1BC于点D, 连接OC 4 E D B DG DG 图1 图2 图3 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，求证：∠BAD=∠AC0: (②)如图2，点G为BC的中点，连接OG,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证：AE=20G: (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交⊙0于点H,连接CH,若CO平分∠ACF，AC=5, 0G= V10 2， 求△CEH的面积. 变式13如图，△MBC内接于O0,MB为O0的直径，⑦=C.连接MD、BD,CE1D1,交DA延长 线于点E. C D D 备用图 (1)证明：AC平分∠EAB: (2)若CD平分∠ACB, ①当AB=4时，求AE的长： ②设AC=x,BC=y,直接写出y与x的函数关系式. 题型二、圆与四边形的综合问题 典例2(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，已知AB、CD为⊙0内位于圆心两侧的两条弦， AD=BC ,过点A作CD的垂线交O0于点E B 0 0 D 备用图 3/15 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AB∥CD: (②)若AB=6,CD=8,AB与CD间的距离为7，求⊙0的半径长： 因若在4C上取一点R,佳符示=正，连接DF,求证： 经过圆心O 题型模版 1特征：圆与四边形结合，涉及内接四边形、切线或对角线，求角度、线段或面积。 2方法：利用圆内接四边形对角互补、切线性质或垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理或相似列方 程求解。 变式2-1如图，菱形ABCD中，AB=4,以AB为直径作O0,交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F. D B (1)求证：EF是OO的切线： (2)连接OF,若∠BAD=60°，求OF的长. (3)在(2)的条件下，若点G是⊙0上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 变式2-2(2026浙江金华·三模)已知在平行四边形ABCD中，AD=6,AB=4,过A、B、D三点的圆 与CD边相切于点D,圆心为O D D B B 图1 图2 (I)如图1，连接DO并延长交AB于点E,连接AC,交⊙O于点P,连接BP, ①求证：DE⊥AB: 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求线段BP的长. (2)如图2，M、N分别是AB、AD上的动点，且AM=DN,求DM+BN的最小值. 变式2-3(2026广东江门·一模)如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上， ABCD EA=EP 且位于正方形 的内部， ，连接 AE EP D D 9 子 图1 图2 备用图 (I)求证：△PAE是等腰直角三角形： (2)如图2，连接DE,过点E作EF⊥BC于点F,请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由： (3)当点P是BC的中点时，DE=4.若点O是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连接 AQ.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的AQ的长. 题型三、圆与函数的综合问题 典例3如图，在平面直角坐标系xC少中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、 D两点，且C为弧4E的中点，AE交》轴于G点，点A的坐标为 -1,0)AE=4 G M D (1)求点C的坐标. (2)过点C作⊙M的切线交x轴于F点，求直线CF的解析式. 题型模版 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：圆与一次、二次或反比例函数图象结合，求交点、切线或参数范围。 2方法：联立圆与函数方程，消元转化为一元二次方程，用判别式或根与系数关系求解；切线则用圆心距 等于半径。 变式3-1抛物线 =r-2+1(a>)与轴交于B两点(A在B的左侧)，与'轴交于点C,顶点为D, D 图1 图2 (1)若a=2,求AB,C三点的坐标： (2)如图1，若∠ACB=45°，求a的值： (3)如图2，过点C作CE∥AB交抛物线于另一点E,以CE为直径作OP,求证：直线AD与⊙P相切. 变式3-2如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点，且点A在x轴上，点B的横坐 标为2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)连接BM.判断点A是否在以BM为直径的圆上，并说明理由： (3)以点M为圆心，MA为半径画⊙M,BC与⊙M相切于点C.求直线BC的函数表达式. 变式3-3在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与O0,给出如下定义：若△ABC的一个顶点在O0上，除 这个顶点外△ABC与⊙O存在且仅存在一个公共点，则称△ABC为OO的“相关三角形”. 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3 2 3x-32 2 3 -3-2-1 0 23x 2 -3 图1 图2 备用图 0a图1o0的径为L点c20,40c为00的相关三充g”在点R0小.公-号】 B,这三个点中，点A可以与点 重合： (②如图2，O0的半径为1，已知点 (@，2），点B是轴上的一个动点，且点8的横华标*的取值范国是 ，点在第一象限，若△1BC -1<xB<1 MBC为直角三角形，且△1BC为O0 的“相关三角形”，求点的横坐 标的取值范围； gO0的半径为，直线=-x千5与O0在第一象限的交点为4，点C2,0), 若平面直角坐标系0 中存在点B(点B在x轴下方)，使得△ABC为等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”，直接 写出r的取值范围. 题型四、圆中的新定义型综合问题 典例4(25-26九年级上湖南长沙期中)定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对 称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”· 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D b F 图1 图2 图3 (I)如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，过点O做OE⊥BC交BC于点D,交O0于点E,判断△ABC (填“是”或“不是”)⊙0的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知△ABC是⊙O的“梦之三角形”，其内心I关于BC的对称点F在O0上，若BC=6,求 ⊙0的半径： ⊙0 (3)如图3，已知 的半径为75 ,弦BC=24,点A在O0上，若△MBC为O0 的“梦之三角形”，求 AC的长度， 题型模版 1特征：给出与圆相关的新定义（如“关联点”），按规则求值或判断，重理解与迁移。 2方法：将新定义转化为几何条件（距离、角度、切线），结合圆的性质列方程或不等式求解并验证。 变式41(25-26九年级上江苏扬州期末)定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形 一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”· ③ (1)如图O,在△ABC中，∠C=90,AB=5,AC=3,则BC边上的伴随圆的半径为 (2)如图②，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,直接写出它的所有伴随圆的半径： (3)如图③，△ABC中∠ACB=90°，点E在边AB上，AE=2BE,D为AC的中点，且∠CED=90°.求证： △CED的外接圆是△ABC的AC边上的伴随圆. 变式4-2如图①，线段AB,CD交于点O,连接AC和BD,若∠A与∠B,∠C与∠D中有一组内错角成 两倍关系，则称△AOC与△BOD为青蓝三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为青蓝角： 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ② D D ③ ④ (L)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,己知AB⊥BD,△COD为等边三角形.求证： △AOB和△COD为青蓝三角形. (2)如图③，己知边长为2的正方形ABCD,点P为边CD上一动点（不与点C,D重合），连接AP和BP, 对角线AC和BP交于点O,当△AOP和△BOC为青蓝三角形时，求∠DAP的正切值， (3)如图④，四边形ABCD内接于⊙O,△BCP和△ADP是青蓝三角形，且ADP为青蓝角，延长AD,BC 交于点E. ①若AB=8,CD=5,求⊙O的半径： ②记△BCD的面积为S,△ABE的面积为S,S,cOsE=x,当BE=3BC时，求y关于x的函数表达 式. 43定义：四边形4BCD中，B=4C,ZBDC=∠BAC,则称四边形4BCD为半角四边形 BC称为半对边. B C ① ② ③ (I)如图①，若四边形ABCD为半角四边形，且BC为半对边，设∠DBC=a,用含有a的代数式表示 9/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD: (2)如图②，等腰△ABC，AB=AC,点D为其内部一点，∠ABD=∠ACD,连接AD,作△ACD的外接圆 ⊙OBD ⊙0 EA,EC ABCE 的延长线交于点E,连接 ,求证：四边形 为半角四边形： (3)如图③，在(2)的条件下，延长BA交⊙O于点F,连接EF,EFI‖BC, ①求证：BC=CE: AD=3,BC=6V2 ②若 求四边形ADEF 的面积 ◆◆ 同压轴挑战一攻克离障压轴，突度思维上保 一、单选题 1.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是 AC、BC的中点，以DE为直径的⊙O交AB于点F、G,则FG的长度为() G 7 A.10 B.1 D.5 2.(25-26九年级下·湖北孝感阶段检测)如图，在正方形ABCD中，AB=2,以边CD为直径作半圆 0,E是半圆0上的动点，EF1DA于点卫，PLMB于点卫，设F=无BP=y,则+少 的最小值是 () 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B D A.3-1 B.4-25 c.5-1 D.6-25 3.(206北家海淀一模)如图，在平有直角坐标系0中，2叫是猫物线式上一点。以点 C(0,) 为圆心，C4长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B,抛物线和OC在点么B之间的部分分别 GG,M,N分别是， 记 是，G上的两个动点(MN均不与B重 ”重合)·给出下面四个结论： 4 G2 B G -2-10 12 -1 ①当MN1 轴时，M 长的最大值为V5+1, ②若点卫在x轴上，则在第一象限内存在点M,使四边形ABMO的面积等于△ABO的面积： ③△AMN可能是等边三角形： 为中点的线段MN恰有两条。 上述结论中，所有正确结论的序号是()· A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 二、填空题 4.(2026重庆二模)如图，线段AB为OO的直径，CD⊥AB于点F,点C,D均在⊙0上，以CD为边 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作平行四边形ACDE,∠CDE=120°，连接OE交⊙O于点G,连接FG.若AB=8,则FG= G B 5.(2425九年级上山东烟台期末)如图，正方形ABCD内接于OO,线段MN在对角线BD上运动，若 ⊙O的面积为6m,MN=1,则△AMN的周长的最小值是 D N M B 6.(2026重庆模拟预测)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是△ABC的高，延长AD交O0于点E, 过点E的切线交0C的延长线于点F,连接4.若BC=6,4D=25,∠4CB=60,则OC的长度为 OC 一，AF的长度为一. C E 三、解答题 7.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，圆内接四边形ABCD满足DB=DC,连结AC、BD,E 是BA延长线上的一点，过点D作DF⊥BE于点F. 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F D A (I)求证：AD平分∠EAC (2)若AB=6,AF=1,求AC的长， 8.(25-26九年级下·安徽宿州阶段检测)新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦. B E D D 图(1) 图(2) (I)如图1，AB,AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE是 方形： (2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交⊙0于D,C两点，连接CD.求证：AB, CD是⊙O的等垂弦. ,.(2526九年级上福建福州阶段检测)如图1,4C为o0的直径，MB=BC=4.点D是C上一动 点（不与A、C重合），连接BD,DC,AD 图1 图2 (I)求∠BDC的度数； (2)探究线段AD、CD、BD之间的数量关系，并证明. (3)如图2，若BD与AC相交于点E,过点E分别作EF⊥AD于点F,EG⊥CD于点G,求△AEF与 13/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ECG面积之和的最大值， 10.(25-26九年级下·浙江宁波开学考试)定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个 四边形为圆美四边形 图1 图2 (I)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称一： (2)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=9O°，经过点A、B的圆交AC边于点D,交BC边于点E,连结DE」 AB 若四边形ABED为圆美四边形，求DE的值； (3)如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D,交BC于点E,连结AE,BD交于点F.若在四 边形ABED的内部存在一点P,使得∠PBC=∠ADP,连结PE交BD于点G,连结PA,若PA⊥PD, PB⊥PE.求证：四边形ABED为圆美四边形. 11.(2026湖南长沙二模)在等边△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E,垂 足为D,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接EF,经过点D、E、F的OO与边BC另一个公共点为G, 连接GF,GE,己知AB=6. 9 B G D (I)在点D的运动过程中，∠EDF的角度是否是定值，若是，求出角的度数，若不是，请说明理由： (2)求线段FG的最小值： (3)设CD=x,△AEF的面积为y,试求出y与x的函数关系式. 12.(25-26九年级上·北京石景山期末)在平面直角坐标系0少中，⊙0的半径为1.对于⊙0的弦AB和 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C 是弦AB的“关联点” 13 1 5 (1)如图， 点 “2’2, B 2’2 在点C(0,0),C(1,0),C(1,),C,(2,0)中，弦AB的“关联 点”是 y不 B C (2)若点 是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长： 2W15 ,0 (3)已知点M(0,2), 对于线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联 点”，记PQ的长为t,当点S在线段MW上运动时，直接写出t的取值范围. 15/15函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题20圆与几何图形、函数问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆与三角形的综合问题 题型二、圆与四边形的综合问题 题型三、圆与函数的综合问题 题型四、圆中的新定义型综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：圆与三角形、四边形或函数图象结合，涉及切线、弦长、面积或动点存在性，常需建立函数 关系。 -解题方法：利用圆的性质（垂径、圆周角、切线）导边角关系；设动点坐标，用勾股或相似表示线段长， 建立函数模型求最值：联立方程求交点。 -易错提醒：忽略圆中多解（弦两侧、优劣弧）；函数自变量取值范围受圆约束，切线判定中“连半径证 垂直”与“作垂直证半径”混用。 习题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆与三角形的综合问题 典例1(2026：湖北中考真题)如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的O0交AB于点D,弦 DF⊥BC,垂足为E. 1/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AD=BD; (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 【答案】()证明：如图，连接CD, 为 的直径， B :BC⊙O .∠CDB=90°， 又AC=BC, :AD=BD: 25 (26 【分析】(1)利用等腰三角形三线合一证明即可； (2)由(I)得出BD的长，利用垂径定理求出DE的长，在Rt△DEB中利用勾股定理求出BE的长，设 ⊙O的半径为r,则OD=r,OE=r-3,在Rt△DOE中利用勾股定理即可求出r. 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接OD, 2/94 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 弦 为直径， F DF⊥BCBC DF=8 G.DE=DF=4 AD=BD.AB=10. D=方4B=5, 在R△DEB中，BE=VBD2-DE2=S-4=3 设⊙0的半径为r,则OD=P,OE=r-3, 在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2, 产=4+(-3引.化简得6r=25,解得r=石 6 25 .⊙0的半径为6， 题型模版 1.特征：圆与三角形结合，涉及外接圆、内切圆、切线或弦，求角度、线段或面积。 2方法：利用圆周角定理、切线性质或垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理或相似三角形列方程求 解。 变式1-1(2026湖北武汉模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0平分∠BAC交BC于点O, 以点O为圆心，OC为半径的圆交BC于点D. B 3/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AB为圆O的切线： (2)若AC=6,BC=8,，求圆O的半径R. 【答案】(I)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E, .·∠ACB=90° .OC⊥AC :AO平分∠BAC交BC于点O,OE⊥AB, :.OE=OC, ∴点E在⊙0上， 又OE⊥AB, .AB与⊙O相切： (2R=3 【分析】(1)过点O作OE⊥AB于点E,首先根据角平分线的性质证明OE=OC,继而根据切线的判定 定理证明AB与OO相切. (2)通过证明Rt△AEO≌Rt△AC0,得到AE=AC=6,根据勾股定理得到AB=10,继而得到BE=4, 在Rt△BOE中根据勾股定理解得R=3. 【详解】(1)略： (2)解：OC⊥AC,OE⊥AB. .在Rt△AEO和RIAACO中， EO=CO A0=A0 :Rt△AEO≌Rt△ACO(HL) .AE=AC=6. 在Rt△MBC中，AB=VAC2+BC=10 4/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=AB-AE=10-6=4, 圆O的半径为R, ∴.BO=BC-OC=8-R OE⊥AB. .∠BE0=90°， “在R△BOE中，BE2+0B2=B0,即+R=8-R.解得：R=3, ∴.圆O的半径R=3 变式1-2(2026黑龙江哈尔滨一模)已知△ABC内接于⊙0，圆心O在△ABC的内部，AD⊥BC于点D, 连接OC. A A 0 D B DG DG H 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BAD=∠ACO: (②)如图2，点G为BC的中点，连接OG,过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,求证：AE=2OG: (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG并延长交O0于点H,连接CH,若C0平分∠ACF,AC=5, 0G= 2， 求△CEH的面积. 【答案】(I) 证明：方法一：连接AO,过点O作OL⊥AC于点L, A D :.∠COL+∠AC0=90° 5/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=OC,OL⊥AC, .∠AOL=∠COL. &∠c0L=号∠40c 2 4C-AC :B40c. ∴.∠B=∠COL :AD⊥BC, .∠B+∠BAD=90° 又：∠COL+∠AC0=90°， ∴.∠BAD=∠ACO 方法二：连接OA, B D ..OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, 设∠0AC=a,则∠0=180°-2a. .4C-Ac ∴.L0=2LB, ∠B=90°-a」 :AD⊥BC, .∠ADB=90° 又：∠B=90°-a, .'ZBAD=a, .∠BAD=∠OCA 6/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：方法一：延长CO交圆O于点O,延长CF交圆O于点R,连接AO、OR、OB、BO、AR, E B 设∠BAD=a,∠OCF=B, ,AD⊥BC,CF⊥AB, ∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠BCF=90°. .∠BAD=∠BCF=a=∠RAF, ,CQ是⊙0的直径， ∠QBC=90° .∠BQC+∠BCQ=∠BAC+∠BCQ=90° ∴.∠BAD+∠CAD+∠ACD-∠ACO=90°， ,∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠BAD-∠ACO=0. .∠BAD=∠BCF=∠ACO=∠RAF=a, 、∠A00=∠B0R=2a, .∠R00=2B .∠AOR=∠B00=2a+2B. ..AR=BO :∠BAD=∠RAF=a,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, △ARF≌△AEF(ASA) .'AE=AR. 又，AR=BQ, 7/94 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BO=AE .OC=00,GB=GC, oc如 又，BO=AE, 0G= ∴20G=AE 方法三：过点O作OS⊥AR于点S,连接OA、OR. A E DG OS⊥AR,OA=OR, ∠A0s=)∠AOR,4S=;4R 2 ..AR=AR, :.∠ACR=5AOR 2 ∴.∠AOS=∠ACR ,∠ACO=∠BCR, ∴.∠ACR=∠OCG, ·∠AOS=∠OCG ,GC=GB,OG在半径上， OG⊥BC 又：OA=OC,∠AOS=∠OCG,∠AS0=∠OGC=90°， △ASO≌aOGC(AAS) .AS=OG 8/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AS=号AR OG=号AR 1 21 :∠BAD=∠RAF,∠AFR=∠AFE=90°，AF=AF, △ARF≌△AEF(ASA) ∴.AE=AR 又：0G=)4R 2 :0G=)4E 2 .'.20G=AE 方法三：过点O作ON⊥AD于点N,延长AD交圆O于点M连接OM. D:G. G :ON⊥AD, .AN =MN 设LBAD=a,则∠FCB=a,∠MCB=a, ∴.∠B=∠M=∠CEM=90°-a, ∴.CE=CM 又：∠FCB=∠MCB=a, .'DE =DM. ,GC=GB,OG在半径上， .OG⊥BC. 又：ON⊥AD,AD⊥BC, .四边形ONDG为矩形， 9/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OG=DN :0Gs1 )50=2 【分析】(1)方法一：连接A0,过点O作OL1AC于点L,由题意易得∠COL+∠AC0=90°， ∠B-40C,则有∠B=∠COL:然后问题可求证：方法=：连接04：由题意易得∠04C=∠0C1:设 ∠0AC=a,则∠0=180°-2a.则有∠B=90°-a,然后可得∠BAD=a,进而问题可求证： (2)方法一：延长CO交圆O于点Q,延长CF交圆O于点R,连接A0、OR、OB、B2、AR,设 ∠BAD=&,∠OCF=B,由题意易得∠BAD=∠BCF=∠AC0=∠RMF=“,然后可得 ARF≌△AEF(ASA) 进而问题可求证：方法二：过点O作OS上4R于点S,连接OA、OR.然后通过证明 ASO≌AOGC(AAS) a1RF2MBF(ASA）,进而根据全等三角形的性质可进行求证；方法三：过点O作ON1D于点X,延 长AD交圆O于点M连接OM.设∠BAD=a,则∠FCB=a,∠MCB=a,然后可得 ∠B=∠M=∠CEM=90°-a,进而可得四边形ONDG为矩形，则问题可求证： (3)延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR.设∠BAD=a,则∠RAB=a, ∠RCB=&∠RCO=a,∠ACO=a,然后可得 △ACO≌△RCO(AAS) 则有5=R=而 △OGM≌aOGH,进而问题可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长CE交圆O于点R,连接AR、OM、OH、BE、OA、OR」 10/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D M H 设LBAD=a,则∠RAB=a,∠RCB=a,∠RCO=a,∠ACO=a, ∴.∠ACR=∠ABR=∠ABE=2a :OA=OR,∠ACO=∠OCR=∠CAO=∠CRO=a, △ACO≌△RCO(AAS) .AC=CR=5 “AB=20G 0G-10 2, AE=AR=10 设RF=m,则EF=m, 在RtAARF和Rt△ACF中，AR2-RF2=AC2-CF2, :(io-m2=5-(5-m,解得：m=1, .'.RF=FE=1,CF=4,CE=3,AF=3, 3 .tan∠ACF= 4 ÷tam∠ABE=3 · 又：EF=1, 0 ,∠EDC=∠MDC=90°，CD=CD,∠ECB=∠MCD △ECD≌AMCD(ASA) .ED=MD 11/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AD⊥BC, ..GE=GM ∴.∠EGD=∠MGD LEGD=ZCGH, ∴.∠CGH=∠MGD, .∠0GB=∠0GC=90°， ∴.∠OGM=∠OGH. 过点O作OP⊥HE交HE的延长线于点P,OT⊥MG交MG的延长线于点T, .∠P=∠T=90° .:∠OGM=∠OGH, ∴.∠OGP=∠OGT 又：OG=0G,∠P=∠T, AOGP≌AOGT(AAS) ..OP=OT 又，OM=OH,∠P=LT, RtAOPHS≌Rt△OTM(HL) ∴.GM=GH 又：OM=0H,0G=OG. △OGM≌aOGH(SSS) 又：GM=GE, ..GE=GH 又.GB=GC,∠CGH=∠BGE, △BEG≌ACHG(SAS) .BE=CH,∠BEG=∠EHC, .BE∥CH. ∴四边形BECH为平行四边形， 12/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ..SACEH =SACER Sacm=2CE×BF 4 CE=3, BF= 3 SACEH=2 变式1-3如图， AB 的直径， 内接于o0,4B为o0。 CD=BC 连接MD、BD,CELDA,交DM延长 线于点E. 0 B D D 备用图 (I)证明：AC平分∠EAB； (2)若CD平分∠ACB, ①当AB=4时，求AE的长； ②设AC=x,BC=y,直接写出y与x的函数关系式. 【答案】() 证明：由圆内接四边形的性质可知∠CAD+∠CBD=180°， 又：∠CAD+∠CAE=180°. ∴.∠CAE=∠CBD, .CD-BC .∠CDB=∠CBD, .BC=BC .∠CDB=∠CAB, ·.∠CAB=∠CBD, .∠CAB=∠CAE 13/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC平分∠EAB; ②02-2：@y=(2+1x 【分析】(1)由圆内接四边形的性质可知∠CAE=∠CBD,根据等弧或同弧所对圆周角相等得到 ∠CDB=∠CBD,∠CDB=∠CAB,则有∠CAB=∠CAE,由此即可求解： (2)①如图，作CF14B,垂足为F,可证 RtACEAS≌RtACFA(HL) 得到AF=AE,再证 CEDCFB(AS),得到BF=DE,则AB=BF+AF=DE+AB=D+ME+AE,根据4B为OO的直 径， D平分ACB,得到1D=BD,在Ra1DB CD AD=22 ，由勾股定理得到 ,代入计算即可求解： ②根据AB为⊙0的直径，CD平分LACB,得到∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD,CD=CB=y,如图所 示，过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BW⊥CD于点N,则△4CM,△BCN都是等腰直角三角形，根 c- 据锐角三角函数的i计算得到CM=2AC xw-oc =之y,再i证明Rta4DMS≌RtDBN(AAS), 得到AM=DN' CM-DN=2 2x,电cD=CN+DN=CN+CM'得到42 2 x=y即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：①如图，作CF⊥AB,垂足为F, C D ,CE⊥DA,AC平分∠EAB(已证)， .CE=CF,∠CED=∠CFB=90° 在RtACEA与Rt△CFA中，AC=AC,CE=CF 14/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtACEAS≌RtACFA(HL) .AF=AE, 在△CED与△CFB中，CE=CF,∠CED=∠CFB=90°，LCDE=∠CBF, △CED≌ACFB(AAS) ∴BF=DE, ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， ,CD平分∠ACB :∠ACD=∠BCD=45° .∠BAD=∠ABD=45°， .'AD=BD. 在R△MDB中，AD2+BD2=AB,AB=4 中， :4D=2V2 :4B-BF+AF-DE+AE-AD+AE+AE2+24E-4 :B=2-v2 ②，AB为O0的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90° ,CD平分∠ACB, .∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD, :D=C6 ..CD=CB=y, 如图所示，过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BN⊥CD于点N, 15/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM 0 D ∴.∠CAM=90°-∠ACM=45°，∠CBN=90°-∠BCN=45°， :.△ACM,△BCN都是等腰直角三角形， s4CM=as45-0-9,oms∠BCw-ms45n-Cw.互 BC 2 AC=x,BC=y' .CM-ACCN 2 2xCw=2c- 2 2y, :∠AMD=∠ADB=∠BND=90°， ∴.∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠BDN, .∠DAM=∠BDN, 在Rt△ADM和Rt△DBN中， ∠DAM=∠BDN ∠AMD=∠DNB=90° AD=DB Rt△ADM≌RtADBN(AAS) ∴.AM=DN, CM-DN-2 t, eCD=CN+DN=CN+CM'即3 y+ 2 -x=y, 2 解得，y=(2+小 16/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、圆与四边形的综合问题 典例2(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，已知AB、CD为⊙0内位于圆心两侧的两条弦， AD=BC CD ⊙0 ，过点A作CD的垂线交©0于点E. B 0 0 E 备用图 (I)求证：AB∥CD: (2)若AB=6,CD=8,AB与CD间的距离为7，求⊙0的半径长： E在4C上取点R使得示=正，连接DF,求证：D 经过圆心O. 【答案】(I) 证明：连接AC、BD, ·AD=BC .∠ACD=∠BDC. ∠ACD+∠ABD=180° ∴.∠BDC+∠ABD=180°， ∴.AB∥CD: A B (2)5 17/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) 证明：连接CF、AF、CE, A B E AF=CE .AC=EF .∠EAF=∠AEC, :∠AEC+∠AFC=180°， .∠EAF+∠AFC=180° ∴.AE∥CF, .AE⊥CD ∴.FC⊥CD. .∠FCD=90°， ∴.DF经过圆心O. 【分析】(d)连接4CBD,由MD=BC相∠ACD=∠BDC ,由 可得 根据圆内接四边形的性质得 ∠ACD+∠ABD=180°，可得∠BDC+∠ABD=180°，即可得AB∥CD: (2)过点O作OH⊥AB于H,延长HO交CD于G,连接OB、OD,根据垂径定理得 BH=4B=3DG=CD=4,设OH=x·由AB与CD间的距离为7得0G=7-x:利用勾股定理可得关 于x的方程，解方程求出x,即可得⊙0的半径长： (③连鞋0爪、瓜、(3，由示=可得衣-配，为∠B1F=∠4C,根接圆内接门边形的性城得 ∠AEC+∠AFC=180°，可得∠EAF+∠AFC=180°，可得AE∥CF,则FC⊥CD,∠FCD=90°，即可得 DF经过圆心O 【详解】(1)略： (2)解：过点O作OH⊥AB于H,延长HO交CD于G,连接OB、OD, 18/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB∥CD ∴.OH⊥CD BH-1AB-3.DG-1CD-4, 2 2 设OH=x, :AB与CD间的距离为7 ∴.0G=7-x, ·OH⊥AB,OH⊥CD .0B2=BH+0H2=32+x2,0D2=DG2+0G2=42+(7-x2 .OB=OD 32+x2=42+(7-x)2 解得x=4, .0B=0D=V32+42=5 .⊙0的半径长为5： A B (3)略. 题型模版 1特征：圆与四边形结合，涉及内接四边形、切线或对角线，求角度、线段或面积。 2方法：利用圆内接四边形对角互补、切线性质或垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理或相似列方 程求解。 变式2-1如图，菱形ABCD中，AB=4,以AB为直径作OO,交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F. 19/94 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B (I)求证：EF是⊙O的切线： (2)连接OF,若∠BAD=60°，求OF的长. (3)在(2)的条件下，若点G是⊙0上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 【答案】(1) 证明：如图，连接OE D E B ,四边形ABCD是菱形 .∠CAD=∠CAB ·OA=OE .∠CAB=∠OEA .∠CAD=∠OEA .OE∥AD :EF⊥AD ∴.OE⊥EF 又OE是⊙0的半径 ∴.EF是⊙O的切线。 g吟 2W7-2sCG≤2V7+2 20/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)连接OE,通过菱形的性质和圆的性质证明OE∥AD,又由EF⊥AD,证得，OE⊥EF,即 可得证； (2)连接BE 根据菱形和圆的有关性质，求得 E=25.F=5,在R△OE ,由勾股定理解答即 可 (3)如图，连接C0,交⊙0于两点，利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BE. D ,AB是⊙0的直径 ∴.∠AEB=90° .·∠BAD=60° ∴.∠CAD=∠CAB=30° 在RIAABE 中 AE=AB-cos3.0°=2V3 在RtsAE 中， EF=AE-sin30°=V3 在RIAOEF中，0E=34B=2, :OF=VOE2+EF=V4+3=V万 (3)解：如图，过点C作CM垂直AB,交AB延长线于点M, 由(2)知，∠BAD=60° ∴.∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60° .AB=BC=4,BM=2,CM=23 21/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AM=6,OM=6-2=4. .OC=VOM+CM=+2)2 CG近=2√7-2CE远=2√7+2 CG 2W7-2≤CG≤2W7+2 线段 的取值范围是： D C F B M 变式2-2(2026浙江金华·三模)已知在平行四边形ABCD中，AD=6,AB=4,过A、B、D三点的圆 与CD边相切于点D,圆心为O, D O B B 图1 图2 ()如图l,连接DO并延长交AB于点E,连接AC,交OO于点P,连接BP. ①求证：DE⊥AB: ②求线段BP的长. (2)如图2，M、N分别是AB、AD上的动点，且AM=DN,求DM+BN的最小值. 【答案】() ①证明：·⊙O与CD边相切于点D, .∠EDC=90°， 在ABCD中，ABIICD 22/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DEA=∠EDC=90°， 即DE⊥AB: ②BP=1&v7 17: ②v6 【分析】(1)①由圆的切线的性质可得∠EDC=90°，再结合平行线的性质证明即可： ②连楼O4:过点B作BH14C于点1：白垂径定里可得4B=号4B=2,设A0=D0=x利用勾限定理 列方程，求出04=5,0B=子5 4 利用角的正切值，得到sinLAPB=--sinLAOE=gV2,证明DECN ir=4 得出 AR=27 3， 3,再利用锐角三角函数求解即可： (2)延长CD到点F,使得DF=DA,连接FN、BF,连接DO并延长交AB于点E,作BH⊥DC于点 H,证明 FDNvDA1M(SMS),得到N=DM,则DM+BN=N+BN≥BF,即当F、V、B三点共线时， FN+BN 最小等于BF,由O可知， DE上AB,从而求出 FH=8 BH=4V2 ,即可得解. 【详解】(1)①证明：略 ②解：如图，连接OA,过点B作BH L AC于点H, h 由垂径定理可得15=24B=2, :.DE=VAD2-AE2=V62-22=4W2∠APB=2∠ADE 23/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AO=D0=x,则OE=4V2-x, 在Rt△OAE中，OA=AE2+OE2, =2+(42-x, 解得巨 04-5,06-子5 4 :∠AOE=2∠ADE, .∠APB=∠AOE. ∴.sin/APB=sin∠AOE= 4 平行四边形ABCD .AB∥CD .ADFC∽△EFA, DF CD EF AE =2 ∴DF=2EF, DE 3， AF=VAE2+EF2-2回 3 4√2 ÷sin∠FAB=EF=BH- BH AF AB 217 4, 3 号西 .BP= % 1817 n乙Hp842I7: 9 (2)解：如图，延长CD到点F,使得DF=DA,连接FN、BF,连接DO并延长交AB于点E,作 24/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BH⊥DC于点H, F=--- 平行四边形 ABCD ∴.AB∥CD,AD=BC=6,AB=CD=4 .∠FDN=∠DAM、 又DF=AD,DN=AM, ∴.AFDN≌aDAM(SAS) ∴.FN=DM, .DM+BWN=FN+BN≥BF, ∴当F、N、B三点共线时，FN+BN最小等于BF, 由①可知，DE⊥AB, 四边形DEBH是矩形，4B=BE=4B=2, ∴.DH=BE=2=CH, .FH=DF+DH=AD+DH=8 BH=BC2-CH2=42 .BF=√FH2+BH2=V82+(42)2=46 ∴.DM+BN 的最小值为 v6 变式2-3(2026广东江门一模)如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上， ABCD, AE EP 且位于正方形 CD的内部，厨=D,连接4 25/94 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 备用图 (I)求证：△PAE是等腰直角三角形： (2)如图2，连接DE,过点E作EF⊥BC于点F,请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由： (3)当点P是BC的中点时，DE=4.若点O是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连接 A犯.当∠P4犯与△ADE的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的A0的长. 【答案】(1) 证明：如图1， ~点E在△ABP的外接圆上， ∴.∠AEP+∠B=180°， 在正方形ABCD中，∠B=90°， ·.∠AEP=90° ∴.∠EAP+∠EPA=90° EA=EP ∴.∠EAP=∠EPA=45°， ∴.AE=PE, ∴△PAE是等腰直角三角形： (2) DE=2PF 结论： 理由：如图2，延长FE交AD于点H, 26/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D 6 P F C 图2 EF⊥BCBC∥AD ∴.EH⊥AD,即∠AHE=∠EFP=90°， ∴.∠EAH+∠AEH=90°， :∠AEP=90° .∠PEF+∠AEH=90° .∠EAH=∠PEF, 又EA=EP, :.△EAH≌△PEF(AAS) ∴.AH=EF,EH=PF, ,四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， 又∠DHE=90°， ·四边形DHFC是矩形， ∴.AD=DC=HF,DH=CF. ∴.AH+HD=EF+HE, :HD=HE=PF, ∴.△DHE是等腰直角三角形， .DE=VDH2+HE2=√2HE=√2PF 。 ©45 或12 【分析】(1)如图1，在正方形ABCD中，∠B=90°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEP+∠B=180°， 求得∠EAP+∠EPA=90°，得到∠EAP=∠EPA=45°，于是得到结论； (2)如图2，延长FE交AD于点H.根据平行线的性质得到EH⊥AD,根据垂直的定义得到 ∠AHE=∠EFP=9O°，根据全等三角形的判定和性质定理得到AH=EF,EH=PF,于是得到结论； 27/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C=2PC=8V2 (3)由(2)知 E=V2PF 求得 PF =2V2 根据P是BC的中点，于是得到 ,推出不 存在∠PA0=∠AED,当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PA0=45°=∠PAE,根据圆周角定理得到AP是圆 的直径，根据勾股定理得到10=4E=4W5 当∠P40=∠BD时，如图4，.连接P.由第一种情视可知 AP是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论， 【详解】(1)略 (2)略 DE=2PF (3)解：由(2)知 DE=4, .PF-DE-2 2 PC=PF+FC=2PF=42 :P是BC的中点， ∴.BC=2PC=8V2 DH FC=HE=22 由①可知， AH=AD-DH=BC-CF=6V2 ∠B=90°， .AP是圆的直径， “当点Q在MD上方的弧上时， AD ∠PAQ<90°<∠AED90° AB (时相切，不存在)；当点Q在左侧的弧上时， ∠PAQ<90°<∠AED90° BP ∠PAQ<90°<∠AED (时相切，不存在)，当点Q在下方的弧上时， ∴不存在∠PAQ=∠AED, 当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45°=∠PAE 28/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D B C 图3 .PE=PO 连接PO,则∠AOP=90°， 、△AP吧是等腰直角三角形， .A0=PO. ..AO=PO=PE PE=AE=AH2+HE2=45 :40=PE=4V5 当∠PA0=∠EAD时，如图4，连接P吧： H D 是圆的直径， B 图4 .AP ∴.∠AQP=90°=∠AHE ,∴△APQ∽△AEH, :4g、4p AH AE :△PAE是等腰直角三角形， AP =V2 AE .40=2AH=12 29/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述。 AQ 的长是45 或12. 题型三、圆与函数的综合问题 典例3如图，在平面直角坐标系xO少中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、 D两点，且C为弧E的中点，E交'轴于G点，点A的坐标为-1,0)，AB=4, G M D (1)求点C的坐标 (2)过点C作OM的切线交x轴于F点，求直线CF的解析式. 【答案】(I (0,2) 3 2②y=4+2 【分折1（少由4B⊥D,且B为直径，得到D=C,0C=0D,求得D-征，即可得到 CD=AE=4,即可求得点C的坐标 2)连接CM,则CM1CF,用勾股定理分别求程CF, c有4段2里R对星 即可求得直线CF的解析式 【详解】(I),AB⊥CD,且AB为直径， AD-AC OC=OD C为弧AE的中点， 30/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AC=CE CD=AE ∴.CD=AE=4, .0C=0D=2. 0,2) 点C的坐标为 (2)由(1)知点C的坐标为 0, 2),则0C=2, ·设直线CF的解析式为：y=c+2,则点F的坐标为： 在R△COF中，CF=OF2+0C2= 2+4 设⊙M的半径为T,连接CM,则CM⊥CF, c M B 点A的坐标为 H.0).则0A=l, 在Rt△C0M中，CM2=0M2+0C2,即广=(-+2 5 解得：r= 2 0M=AM-0A=r-1=3 2 在Rt△CMF中， Mr=(ow+or-侵 31/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3,22 （2+4+25 4 由MF2=CF2+CM2得： , 解得： 、3 3 ∴直线CF的解析式为：y= t+2 题型模版 1特征：圆与一次、二次或反比例函数图象结合，求交点、切线或参数范围。 2方法：联立圆与函数方程，消元转化为一元二次方程，用判别式或根与系数关系求解；切线则用圆心距 等于半径。 变式31抛物线”=-2+1a>川与轴交于4B两店(4在8的东侧，与轴交于点C,顶点为D B B D 图1 图2 (1)若a=2,，求AB,C三点的坐标： (2②)如图1，若∠ACB=45°，求a的值： (3)如图2，过点C作CE∥AB交抛物线于另一点E,以CE为直径作⊙P,求证：直线AD与OP相切： 【答案1④42-5,0.82+5.0.c0,） (②a-V2 (3)见解析 【分析】(1)将a=2,代入解析式，分别令x,y=0,解方程即可求解： 2)设（气，0），8(，0，则是方程”-2ar+1=0的两根，根据一元三次方程根与系数的关系得出 32/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+x2=2a,xx2=1 ∠ACB=45 进而根据 °，过点1作1F1CB,分别求得 AC,BC 的长，根据 S底-号Bx0C-BCxF花方程解方程刷时求解 (3)连接AP,PD,根据二次函数的性质，得出点P的坐标，进而求得点A的坐标以及顶点D的坐标， 勾股定理以及勾股定理的逆定理证明△APD是直角三角形，且∠PAD=9O°，即可得证. 【详解】4)解：当0=2，抛物线解析式为 =x2-4x+1 令x=0,解得y=1, :c0,) 令y=0,则x2-4x+1=0, 解得： x=2-V3,x2=2+3 ,A在B的左侧， 42-5,0.B2+5,0） (2)解：.y=r-2ar+1(a>) 令x=0,解得y=1, :c0) 设1,0).B5,0) ,5是方程-2mr+1=0的 的两根， x+x2=2a,xx2=1△=b2-4ac=4a2-4>0a2>1 a>0, ..a>1, 33/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=6-x=(G+xP-4x5=4d2-4 4(,0).B(s,0)C(0,1) AC2=x2+1BC2=x22+1 过点A作AF⊥CB Bi D 图1 ,∠ACB=45°， :△ACF是等腰直角三角形， :AF=24C. 2 oc-ce9cj。 (4a2-4x1=2+100x2+10, 8a2-8=(x32)2+(x2+x22)+1 片80-8=1+(G+3P-2x5+1 即8a2-8=1+4a2-2+1, a2-2=0, 34/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=tv2 解得： .a>0, :a-2 (3)如图，连接AP,PD, 图2 y=r-2a+1=(x-a}-ad+1 ∴.对称轴为直线x=a, 令y=0,则x2-2ax+1=0, 解得：=a+-1,=a-V- :4a-a-1,0 :CE∥AB,CE是⊙P的直径， P(a,1) .⊙P的半径为a, Ap=a-a+a-a+1=匠=a, AP是OP的半径， y=x2-2am+1=(x-a}2-d2+1 D(a.1-) 35/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PD-1-(1-@)-d 4D2=(a-a+a-可+-a2}=d2-1+1-2a2+a=a-d2, PA2+AD2=a+a-a2=a',PD2=a', .PA2+AD2=PD2, .△APD是直角三角形，且∠PAD=90°， ∴，AD⊥PD, ∴AD是⊙P的切线。 变式3-2如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点，且点A在x轴上，点B的横坐 标为2。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接BM.判断点A是否在以BM为直径的圆上，并说明理由： (3)以点M为圆心，MA为半径画⊙M,BC与⊙M相切于点C.求直线BC的函数表达式. 【答案】（①少x-1 (2)在圆上，理由： 连接AM, 36/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 根据 A(-1,0)B(2,3)M(0,-1) MA2=12+12=2 MB2=22+(1+3=20 AB2=(1+2)2+32=18 .MA2+AB2 =MB2 ∴.△MAB是直角三角形，且∠MAB=90° ∴，点A在以MB为直径的圆上： (3) (3)y=7x-11 A(-1,0)B(2,3) 【分析】(1)根据题意以及一次函数的性质得出 设抛物线的表达式为y=ar+C 待定系数法求解析式即可求解： (2)根据1-1,0).B2,3)M(0,-) 勾股定理求得 A',AB2,MB2 根据勾股定理的逆定理得出 △MAB是直角三角形，且∠MAB=9O°，根据直角所对的弦是直径，即可求解： ()设e=c-1,将县23》代入得3=2张-1，则m=2x-1 1,证明△MAB≌aMCB,得出 11 11 ∠ABM=∠CBM,AC1MB,进而求得c=-2x-2设C(m,2m-2),根据BC=BM=3构造方程， 7 6 解方程得出C 进而待定系数法求解析式即可求解. 【详解】(1)解：，抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2. 37/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令y=0,解得：x=-1 A(-1,0) 点B的横坐标为2. 令x=2,解得：y=2+1=3 823) 设抛物线的表达式为)=+©将4(-，0)，B(2,3),代入得 a+c=0 4a+c=9 a=1 .c=-1 y=x2-1 抛物线的表达式为： (2)略 (3)设m=-1 将B(2,3 代入得3=2k-1 k=2, m=2x-1 连接AC,MA,MC AB=BC MA=MC MB=MB 38/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴AMAB≌aMCB, ∴.∠ABM=∠CBM. .AC⊥MB 设y4c= 2x+6, 将A-1,0)代入得0=2×+6， 1 b=- 29 11 yAC=- 22 11 设C0m,2m-2), BC=BA=32 由 )2 .7 解得m=5,m2=-1(舍去)， 7 m 5 11716 2m- 22525 BC Ync =kx+b 设直线的表达式为： 76 将B2,3)C55代入得， 3=2k+b 39/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=7 解得b=-11, .设直线BC的表达式为y=7x-11 变式3-3在平面直角坐标系xO少中，对于△ABC与⊙0，给出如下定义：若△ABC的一个顶点在⊙O上，除 这个顶点外△ABC与⊙O存在且仅存在一个公共点，则称△ABC为⊙O的“相关三角形”· 人y 不y 3 -3-2 O 2 3 -3-21 23 3 3 -3 图1 图2 备用图 国100的半整为1.点c0.40c为00白美角形”在有0.月)】 BL少这三个点中，点4可以与点 重合： ②如图2，O0的半径为1，已知点1Q,2刃，点8是'轴上的一个动点，且点8的候坐标的取值范周是 1,点C在第一象限，若△1BC为直角三角形，且△M8C为O0的“相关三角形”，求点C的横华 -1<xg<1 标的取值范围； ()O0的半径为，直线'=3x+5与O0在第一象限的交点为A,点C2,0), 若平面直角坐标系0 中存在点B(点B在x轴下方)，使得△ABC为等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”，直接 写出r的取值范围. 40/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1V3 【答案10A22), 5s 3 2； 5 ≤r≤1 3)2 【分析】(1)利用相关三角形的定义逐个进行判断即可： (2)由相关三角形有一个顶点在圆上，得到点C在第一象限的圆上，再通过点B位置和点A位置，明确 直角只有 AC L BC,先确定点C,作4CLBC, ,然后由小极大，找到点B符合条件的位置，得到对应 点C符合条件的位置，分别计算，得到范围： (3)通过点A的位置及交点个数，明确AC与⊙0只能有一个交点，得到半径最大值，再由⊙0与直线 y=-/3x+3 交点在第一象限，得到半径最小值，画图确定无论点B在圆内、圆上、圆外均存在满足条件 的等腰直角三角形ABC,得到半径的范围。 【详解】(1)如图各点在图中位置，由于边OC已与圆有1个交点山，0)，且点O、C均不在圆上，故只有 A在圆上，且△A0C与⊙0与除点A外只有L,0)一个交点， 41/94 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 P3 -3 3 图1 由0B=1.0r2+Bc=0 P 可知，点2在圆上，且 BC与o0 相切，可知 0BC与圆只有P段，0 两个 P 交点，满足“相关三角形”条件，故点A可与重合： RC与0有额外交点，不在0 上，均不满足条件： (2):△ABC为⊙0的“相关三角形”，又点B在圆内，点A在圆外，AB与⊙0有1个交点，故点C只 能在圆上，且CA除点C外不再与⊙O有交点， :△ABC为直角三角形，且点C在第一象限， 当∠CAB=90°时，点C不在圆上，当∠ABC=90°时，点C不在第一象限， 故只有4CB=90.又 -1<xg<1 当点B在(1,0)处，AC1BC时，x,最小，但此时不可取，AB中点K(2)到点C的距离为AB的一半， 得到KC2-号4B- 4 化+分+0-系C在图上：得到天2+=1：解得气-》 3 42/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 -3-2 2 31 -3 当1C与O0相切时，最大，因为维续增大，则4C与O0会有2个交点，此时点B与原点0重合， xc CD OC 1 可取，作CD⊥x于点D,则A4 OCABDC,BC=AO2, 角0 OD=Joc-CD 2, y 3 A -3-2 23x 3 综上所述5 s (3)顶点4为O0与直线"=-3x+5在第一象限的交点，)=5x+5与轴交点为Q),散'最大 时，0)在o0上，最大为，5：最小时，直线，=-5x+5与00相切，数小为r=00= 2 43/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,3】 顶点A在⊙0上，当AC与⊙0有两个交点时.若点B在圆上，△ABC与有3个交点，不满足“相关三角 形”条件：若点B在圆内，则AB与⊙O无交点，BC与⊙0有一个交点，不满足“相关三角形”条件：若 点B在圆外，则AB与⊙0有一个交点无交点，BC与⊙0无交点，也不满足“相关三角形”条件；故AC 与⊙0仅能有1个交点. 0,V3 当4C与o0相切时.011C,y=-5x+5与产轴交于右B0,0.am∠0E1=5.∠0E4=60°，拾 有OE=EC=EA,r=1=OE, 5 当2 ≤r≤1 时，AC与⊙0只有1个交点，当点B在圆内、圆上、圆外时，△ABC与⊙O均只有2个交点， 44/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ≤r≤1 满足“相关三角形”条件，故2 (0,V3 题型四、圆中的新定义型综合问题 典例4(25-26九年级上湖南长沙期中)定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对 称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”. 0 D B E 图1 图2 图3 (I)如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，过点O做OE⊥BC交BC于点D,交⊙0于点E,判断△ABC (填“是”或“不是”)⊙0的“梦之三角形”，请说明理由： (2)如图2，已知△ABC是O0的“梦之三角形”，其内心I关于BC的对称点F在⊙0上，若BC=6,求 ⊙0的半径： ③如图3，已知00的半径为75，弦C=24,点A在00上，若△1BC为O0的“梦之三角形”，求 AC的长度. 45/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】() 解：是. 理由：如图，连接OB,OC, A 为 的内接等边三角形， D :△ABC ⊙0 ∴.∠BAC=60°，点O为△ABC的内心即外心， .∠B0C=2∠BAC=120°， OE⊥BC,且OB=OC, ∴.∠BOD=60° ∴.∠OBD=90°-∠BOD=30°， :.OD=1OB 2 .:OB=OE, :.OD=DE=LOE 2 ∴等边△ABC的内心O关于BC的对称点E在⊙O上， △ABC是⊙O的“梦之三角形”· ②23 (3)9或15或21 【分析】(1)连接0B,OC,根据等边三角形的性质和圆周角定理求出∠B0C=120°，根据含30°角的直 角三角形的性质得出OD=2OB,结合OB=OB得出OD=DE=2OE,然后根据“梦之三角形”的定义即 可得证： (2)解：如图，连接B,IC,FB,FC,根据内心的性质得出∠ABI=∠CBI=a,∠ACI=∠BCI=P,根据 46/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴对称得出∠FBC=∠CBI=a,∠FCB=∠BCI=P,则∠ABF=3a,∠ACF=3P,根据圆内接四边形的 性质得出3a+3B=180°，则可求出 a+B=60°，则∠BA4C=60°，连接OB,OC,过点0作OGIRC于点G,由垂径定理得出BG=CG=)BC 根据合30角的直角三角形的性质得出0G=号0，根据勾股定理求出BG= 2 B0,然后结合已知求解即可： (3)先判断∠BAC≠60°，然后分∠ACB=60°和∠ABC=60°两种情况讨论，根据圆周角定理，含30°角的 BC=3BO 直角三角形的性质，勾股定理等，并结合(2)中 求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接B,IC,FB,FC, D B F 设∠ABI=a,∠ACI=B, :I是△ABC的内心， .IB平分∠ABC,IC平分∠ACB, .∠ABI=∠CBI=a,∠ACI=∠BCI=B, ~点I和点F关于BC对称， ∴.∠FBC=∠CBI=a,∠FCB=∠BCI=B, ∴.∠ABF=3a,∠ACF=3B. :∠ABF+∠ACF=180°， 即3a+3B=180° ∴.a+B=60° .∠ABC+∠ACB=2C+2B=120° .∠BAC=60°； 47/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接OB,OC,过点O作OG⊥BC于点G, B 则BG=CG= c :∠B0C=2LBAC=120°， .∠0BG=∠0CG=30°， :0G-80 BG=BOP-0G3 B0, .BC=3BO BC=6, ∴.6=V3B0 解得BO-2V5, ⊙0 23 即的半径为 (3)解：由(2)知若△ABC为⊙0的“梦之三角形”，则△ABC必有一个角为60°， 若∠BAC=60°，如图，连接OB,OC, 可知∠B0C=120°， ∴.BC=V3OB=21≠24 因此，∠BAC≠60° 48/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 分两种情况进行讨论： ①当∠4CB=60时，当在优C上时，如图，连接OB,O4 A N ∴.∠BOA=120° .AB=V30B=21 过B作BM⊥AC于点M, :∠BCA=60° .CMc-1 BM=VBC2-CM2=12√5 在Ra4BM中，AM=AB2-BM=V2P-(125=3, ∴.AC=AM+CM=15 当在劣 上时：过8作N14C BC 。，此时 CN=124N=3 ..AC=CN-AN=9 ②当∠ABC=60°时， 49/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC 此时为60° 边， 0A,0C 如图，当在优弧BC上时，连接O A ∠A,0C=120° 可知 43 .A,C=V30C=21 ∴A,C=21 当4在劣孤BC上时，同理可求” ,C=21 综上，AC可能的值为9或15或21. 题型模版 1.特征：给出与圆相关的新定义（如“关联点”），按规则求值或判断，重理解与迁移。 2方法：将新定义转化为几何条件（距离、角度、切线），结合圆的性质列方程或不等式求解并验证。 变式41(25-26九年级上江苏扬州期末)定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形 一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”. ② ③ (1)如图O,在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,则BC边上的伴随圆的半径为 (2)如图②，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,直接写出它的所有伴随圆的半径： (3)如图③，△ABC中∠ACB=90°，点E在边AB上，AE=2BE,D为AC的中点，且∠CED=90°.求证： △CED的外接圆是△ABC的AC边上的伴随圆. 50/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)2 820120 (②)3或9或49 (3) 证明：如图(4)连接OE、OB, E A-: 为直角三角形， 图(4) △CED ∴.△CED的外接圆圆心O在CD中点上， 设⊙0的半径为7，则DC=2r,0A=3r, AD 2 A03’ .EA=2BE. EA 2 ·AB3 AD EA ·A0AB .'DE llOB. ∴.1=∠2，∠3=∠4， ..OE =OD .∠3=∠2， .∠1=∠4， OC=OE ∠1=∠4 在 和 中 BCO'△BEO OB=OB' △BCO≌△BEO(SAS) .∠BEO=∠BC0=90° 51/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB是⊙O的切线， ∴.△CED的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆， 【分析】(1)先依据勾股定理求得BC的长，然后依据切线的性质可知BC为圆的直径，故此可求得 △BAC的伴随圆的半径等于BC的一半； (2)当O在BC上时，连接OD,过点A作AE⊥BC.由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE=4,依 据切线的性质可证明OD⊥AB,接下来证明△ODB∽aAEB,由相似三角形的性质可求得OO的半径；当O 在AB上且⊙O与BC相切时，连接OD、过点A作AE⊥BC,垂足为E.先证明△BOD∽aBAE,由相似 三角形的性质可求得⊙O的半径，当O在AB上且⊙O与AC相切时，连接OD、过点B作BF⊥AC,过点 A作AE⊥BC,垂足为B.先依据面积法求得BF的长，然后再证明△AOD∽aABF,由相似三角形的性质 可求得⊙O的半径： AD EA (3)连接OB、OE,先证明AOAB,从而得到ED∥OB,于是可得到∠I=∠4，接下来证明 △BC0≌aBE0,从而可证明∠BE0=90° 【详解】(1)解：：∠C=90°，AB=5,AC=3, :BC=AB2-AC2=4 ,AC是圆的切线，∠BCA=90°， .BC为圆的直径. ∴BC边上的伴随圆的半径为2. 故答案为：2. (2)解：当O在BC上时，如图(1)所示：连接OD,过点A作AE⊥BC, EO C· 图(1) AB=AC=5BC=6AE⊥BC .BE=EC=3. 在△MBB中，由勾股定理可知1E=VAB-BE=4 52/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB与⊙0相切， .OD⊥AB .∠BDO=∠BEA=90°. 又，∠OBD=∠EBA, ∴.△ODB∽AAEB. OD OB ·AEAB· 设⊙0的半径为r,则OB=6-r, r 6-r .45 8 .r= 3· 8 ·AABC的BC边上的件随圆的半径为3： 当O在AB上时，如图(2)，连接OD、过点A作AE⊥BC,垂足为E, 与 相切， B D E 图(2) BC⊙O .OD⊥BC, 叉又，AE⊥BC, .ODI‖AE, .△BOD△BAE, OB OD .ABAE· 设⊙0的半径为r,则OB=5-r, ,5-= .5 4 20 9 53/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图(3)所示：连接OD、过点B作BF⊥AC,过点A作AE⊥BC,垂足为E, D E 图(3) S.ABC= 1BC:AE=5AC·BR ×6×4= .21 ×5×BF 2 ∴BF=4.8, :AC与⊙0相切， .D0⊥AC, ∴.DO∥BF, .△AODAABF, A0 OD ·ABBF, 5-r r 即54.8 120 .r=. 49 820120 综上所述，AABC的件随圆的半径为3或9或49： (3)略 变式42如图①，线段AB,CD交于点O,连接AC和BD,若∠A与∠B,∠C与∠D中有一组内错角成 两倍关系，则称△AOC与△BOD为青蓝三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为青蓝角. 54/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② D D ③ ④ (L)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,己知AB⊥BD,△COD为等边三角形.求证： △AOB和△COD为青蓝三角形， (2)如图③，己知边长为2的正方形ABCD,点P为边CD上一动点（不与点C,D重合），连接AP和BP, 对角线AC和BP交于点O,当△AOP和△BOC为青蓝三角形时，求∠DAP的正切值， (3)如图④，四边形ABCD内接于⊙O,△BCP和△ADP是青蓝三角形，且ADP为青蓝角，延长AD,BC 交于点E. ①若AB=8,CD=5,求⊙O的半径： ②记△BCD的面积为S,△ABE的面积为S,S,,cosE=x,当BE=3BC时，求y关于x的函数表达 式 【答案】()见解析 (2)v2-1或2 25 1 (306:y=8x2 【分析】(1)根据等边三角形的性质可得∠COD=∠OCD=60°，结合AB⊥BD可得∠OCD=2∠BAO, 即可证明△AOB和△COD为青蓝三角形： (2)分∠BCO=2∠PAO和∠APO=2∠CBO两种情况，当∠BCO=2∠PAO时，AP平分∠DAC,过点P作 PH⊥AC,则PD=PH,结合△PHC是等腰直角三角形求出DP:当∠APO=2∠CBO时，可证 55/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DAP≌ACBP, DP=CP=,CD=1,再利用正切的定义即可求解： (3)①过点O作OM⊥AB于点N,交O0于点M,先由∠ADP=2∠CBP得出AB=2CD,AM=CD 求出AM=CD=5,设OO的半径为，解RtAANO即可求出I;②先证cos∠BAM=Cos∠E=x,推出 A S.CDE= AM=x,再证ACDEABE,根据相似三角形的性质可得S S.CDE=2S.CDB 即可求解. 【详解】(1)证明：△COD为等边三角形， ∴.∠COD=∠OCD=60°， .∠AOB=∠COD=60°， 又AB⊥BD, .∠BA0=90°-∠AOB=30°， ∴.∠OCD=2∠BAO ∴.△AOB和△COD为青蓝三角形： (2)解：四边形ABCD是正方形， .∠BC0=∠DAO=∠DCA=45°， ∴.∠BCO>∠PAO,∠APO>∠CBO. ①若∠BCO=2∠PAO, 则∠DA0=2∠PAO, ∴AP平分∠DAC, 如图，过点P作PH⊥AC于点H, 则PD=PH, 56/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设PD=PH=m,则PC=2-m, ∠DCA=45°，PH⊥AC, ∴.△PHC是等腰直角三角形， .PC=2PH .2-m=V2m 解得m=2(2-。 m40M=-25-5-1, AD 2 ②∠APO=2∠CBO PIll BC、AB 若 过点P作 交于点1， 则∠BPI=∠CBO, .∠APO=2∠BPI, 则∠API=∠APO-∠BPI=∠BPI, ∠DAP=∠API,∠CBP=∠BPI, ∴.∠DAP=∠CBP 又∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC, ·.△DAP≌aCBP(AAS) DP=CP=ICD=1 2 :tan∠DAP=DP_I AD 2: 57/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 综上，∠DAP的正切值为V2-1或2： (3)解：①如图，过点O作OM⊥AB于点N,交⊙0于点M,连接AM,AO, D 和 都是所对的圆周角， B :∠ADP∠BCP AB .∠ADP=∠BCP, 又：∠ADP为青蓝角， ∴.∠ADP=2∠CBP. ∴.AB=2CD, ·OM⊥AB .AB=2AM :AM=CD .AM=CD=5 OM⊥AB,AB=8, ∴.AN=BN=4, .MN=√AM2-AW2=3 设⊙0的半径为r, 在RtAANO中，OA=AN2+ON2, 2=42+(-3 25 解得r= 6 25 :⊙0的半径为6： 58/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②：∠ADP=2∠CBP,∠ADP=∠CBP+∠E, ∴.∠CBD=∠E BM=AM=CD ∴.∠BAM=∠CBD, ∴.∠BAM=∠E, ∴cos∠BAM=coS∠E=x, AN .AM =, .BE=3BC, :.CE=2BC, S.CDE=28.com ~四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠DCE=∠BAE. 又∠E=∠E, ∴.△CDE∽△ABE AM S.ABE AB 、2AN 2SABCD= 1 4x2, =1 1 8x,即y=8r 变过43定义：四边形ACD中，AB=AC,∠B0C-B4C,则称四边形ABCD为半角网边形，边 BC称为半对边. 59/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ② (I)如图①，若四边形ABCD为半角四边形，且BC为半对边，设∠DBC=a,用含有a的代数式表示 ∠ACD. (2)如图②，等腰△ABC,AB=AC,点D为其内部一点，∠ABD=∠ACD,连接AD,作△ACD的外接圆 OO BD ⊙0 EA.EC ABCE 的延长线交于点卫，连接 ，求证：四边形为半角四边形： (3)如图③，在(2)的条件下，延长BA交⊙0于点F,连接EF,EFI‖BC. ①求证：BC=CE: AD=3,BC=6√2 ②若 求四边形ADEF 的面积. 【答案】(1)90°-a (2)证明：，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB :∠ABD=∠ACD, ∠DBC=∠DCB, .BD=CD」 ·AB=AC,AD=AD △ADB≌△ADC(SSS) .∠BAD=∠CAD, CD-CD ∴.∠CED=∠CAD :.∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠CAD=2∠CED 60/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEC= -∠BAC ∴，四边形ABCE为半角四边形： (3)①证明：如下图，连接CF, E ③ :EF∥BC, .∠FEB=∠EBC,∠FCB=∠EFC, :历=历 .∠FED=∠FCD, :∠DCB=∠DBC, ∴∠DCB=∠FCD, .∠FCB=2∠DCB ..EC=EC,EF-ER .∠EFC=∠EAC,∠FCE=FAE, 又：∠EFC+∠FCE+∠FEC=I8O° .∠EFC+∠FCE+∠FED+∠BEC=180°， :∠BAC+∠EAC+∠FAE=180,∠FCE=∠FAE, ∴.∠FED+∠BEC=∠BAC, ,∠BAC=2∠BEC .∠FED+∠BEC=2∠BEC, ∴∠FED=∠BEC, ,∠FED=∠EBC ∴.∠EBC=∠BEC, 61/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=CE: ②23v2 2 【分折】(d首先根据“半角四边形”的定义可知AB=AC,∠BDC=∠B4C,进而可得 ∠ACB=90°-∠BDC,易知∠ACB+∠BDC=90°，结合∠BCD=∠ACB+∠ACD,即可获得答案； (2)证明△ADB≌△ADC,由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD,再证明∠CED=∠CAD, ∠BM4C-2∠CD-2∠CD:易得∠B5C=<B4C,即可证明结论： (3)①连接CF,首先证明∠FEB=∠EBC,∠FCB=∠EFC,进而证明∠FCB=2∠DCB,再证明 ∠EFC=∠EAC,∠FCE=FAE,进而证明LFED+∠BEC=LBAC,结合∠BAC=2∠BEC,可得 ∠FED+∠BEC=2∠BEC,进一步证明∠EBC=∠BEC,即可证明结论： ②延长EF交DA的延长线于点G,延长AD交BC于点H,过点C作CI⊥EF于点I,由(2)可知， AH⊥BC,BH=CH,∠AHC=∠AHB=9O°，可证明四边形CIGH为矩形，易得GH=IC:证明 DH BH △ABH∽ABDH,结合相似三角形的性质可得BHAH,结合题意解得DH=3,结合三角函数可得 IC=6N2xSin2∠BAH:在AH取一点D,使得BD,=AD,进一步解得AH=6,BD=2,可得 sin2∠BAH=sin∠BD,H=2y2 ,即可求得IC'GH'AG的值，证明BAHAFAG'ABDHEDG:结 合相似三角形的性质解得FG,EG 的值，然后 Ser=S.一S40求解即可 【详解】(1)解：，四边形ABCD为半角四边形，且BC为半对边， AB=AC, ∠BDC= ∠BAC, 2 ∠ABC=∠ACB=80-∠BAC)=90°-)∠BAC=90°-∠BDC. 2 :.∠ACB+∠BDC=90°， ,∠BCD=∠ACB+∠ACD. ∴.∠ACD=∠BCD-∠ACB 62/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(18O°-∠DBC-∠BDC)-∠ACB =180°-a-(∠BDC+∠ACB) =180°-a-90° =90°-a: (2)略 (3)①略： ②延长EF交DA的延长线于点G,延长AD交BC于点H,过点C作CI⊥EF于点I,如下图， G E A O+ D B H ③-1 由(2)可知，AH⊥BC,BH=CH,∠AHC=∠AHB=90° .EF II CB AG⊥EF,C⊥CB “.四边形CGH为矩形， ∴.GH=IC, ,∠DBC=∠DCB=∠FED=∠BEC,∠BEC=∠BAD=∠CAD ∴.∠DBH=∠BAH, .∠BHD=∠AHB=90°， ∴.△ABH∽aBDH, DH BH DH BH ·BH=AH,即BHAD+DH: ∴.DH.AD+DH2=BH, AD=3.BC=6 BC-BH+HC.BH-HIC 63/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &朗=号8c=35,C=BC-6N5 :3DH+DH2=(32=I8,解得DH=3c负值舍去)， IC=CE×sin∠IEC=6√2xsin∠IEC IC=6√2×sin2∠BAH D BD=AD 在4H取一点D,使得6 BD ，连接， ∠DBA=∠DAB ∠BDH=∠DBA+∠DAB=2∠BAD AH AD+DH,AD=DH=3. .AH=6, ÷BD2=BH+D,H,即BD2=(3N2+(6-BD,. 部物即=， sn2∠BMH=sin∠BDH=B明-3E_22 BD 9 3, 2 :1C=65x22-8, 3 ..GH=IC=8, ∴.AG=GH-AH=8-6=2, :EF∥BC,即GFI‖BH, .△BAHr△FAG. .FG AG FG 2 ·BHAH,即3W26,解得FG=N2 ∠BDH=∠EDG,∠BHD=LG=90°， ∴.△BDHAEDG, 64/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG EG DG EG ∴DH=BH,即DH=BH,解得EG=52, S四边形ADEF=S.DGE-S。AGF -DGxEG-1AGxFG 1 2 (4D+4GxG 2AGxFG =0+2x55-x2x5 23√2 2 ◆◆ 同压轴挑战一克满障压轴，突破思集上保 一、单选题 1.(25-26九年级上·江苏泰州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是 AC、BC的中点，以DE为直径的OO交AB于点F、G,则FG的长度为() G 7 A.10 B.1 c.5 D.5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边 AB和中位线DE的长度，再求点O到AB的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求FG;考查的知识点有 勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法， 技巧是利用垂径定理将FG的长度转化为2HG,解题关键是求出点O到AB的距离，易错点是忽略垂径定 理的应用导致无法将FG与HG建立联系. 65/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, AB=√AC2+BC2=62+82=V36+64=√100=10 ,点D、E分别是AC、BC的中点， ,DE是△ABC的中位线， ÷0e1B,E=号8=专x10=5, 2 5 …⊙0的直径为5，半径”= 2 过点O作OH1AB于H,连接OG, F D 0 E B 1 S.wc= ACx BC= 1 h-ACxBC 6x8 24 AB 105, ,DE是△ABC的中位线， 0w0*24是 255, 在△OGH中，0G=r=),OH=12 2 5· .HG=0G2-0 25144 625-576 497 V10010, ·FG=2×HG=2 77 105, 故选D 2.(25-26九年级下·湖北孝感阶段检测)如图，在正方形ABCD中，AB=2,以边CD为直径作半圆 O,B是半圆O上的动点，F1DA于点R,PLAB于点P,设F=无BP=y,则+ 的最小值是 66/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 E P D A A.3-1 B.4-25 c.5-1 D.6-25 【答案】D 【分析】由题意，四边形4FEP为矩形， x2+y2=AE2 所以当1E最小时，即0，B,A “三点共线时， x2+y2 最小，利用勾股定理进行计算，即可得解. 【详解】解：连接OE,AEAO C 2 E 0 ,四边形ABCD为正方形，AB=2,CD为圆O直径， .∠BAD=∠CDA=90°，CD=AB=AD=2,OD=1, EF⊥DA,EP⊥AB, ∴.四边形AFEP为矩形， x2+y2=AE2 OE+AE≥AO 67/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O,E,A 当 三点共线时， +y最小 则： O4=VOD+4D+22=5 AE=AO-OE=5-1 :+y=AE2=(N5-=6-25 故选D 3. (2026北京海淀一模)如图，在平面直角坐标系x0中，42，是抛物线=2上一点。以点 c(0,为圆心 CM长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B,抛物线和OC在点4B之间的部分分别 .MN分别是G,G上的两个动点(M 记为， 均不与水B ”重合)，给出下面四个结论： 4H 3 G2 .c G -2-10 12衣 -1 O当MW1x轴时，M 长的最大值为V5+1, ②若点O在x轴上，则在第一象限内存在点M,使四边形ABMO的面积等于△AB吧的面积； ③△AMN可能是等边三角形； 3 ④以0,2为中点的线段MN恰有两条. 上述结论中，所有正确结论的序号是（)· A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当MN与y轴重合 68/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时， MN的长取最大值，计算此时的 N 的长即可判断①： S边形0>Sa0=SA,即可判断②：以A 为圆心，以AN为半径画圆与抛物线有交点，改变N点位置使得∠NAM=6O°，即可使得△AMN是等边三 1 1 M a,a -a,3- 角形，即可判断③：设 表示出 J在G,上，利用NC=V5建立方程，求出 a2=22+2,最后根据a的取值范围，即可判断④ 【详解】解：①当MN与y轴重合时，MN的长取最大值， 将2列代入y.得n-2,解得：n=2 1 4-22) CA=22+=5 当MN与'轴重合时，CN=CA=5,CM=C0=1, 当 MN=CN+CM=√5+1 与轴重合时， 即为最大值， ∴①正确： ②如图1所示，对于x轴上的任意一点， AB‖x轴， SAAB2=S△ABo ,四边形的名称为ABMO, ∴.点M在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点M,都可以画出△OBM, 显然 I边形HMO>S△MBo=SAAB即 ∴.②错误： ③如图2所示，以A为圆心，以AN为半径画圆与抛物线有交点，改变N点位置使得∠NAM=60°，即可 使得△AMN是等边三角形， 69/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .③正确： 4 3 G2 3 G G 2 2-10M12x -1 -1 图1 图2 D临以.水分别生6，GE的点，安o 4(-2,2).B2,2）,G.G在点4、点8之间，M,N均不与么B重合， .-2<a<2, :引为w中点 c=+-5.甲-d-40 a2=2-2W2 (负值舍去)或“=22+2 -2<a<2, a2<4, .22+2>4,这与 -2<a<2 是矛盾的， 3 不存在以 0,2】 为中点的线段MN' ∴④错误 综上：①③正确，选A 70/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4.(2026重庆二模)如图，线段AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点F,点C,D均在⊙0上，以CD为边 作平行四边形ACDE,∠CDE=120°，连接OE交O0于点G,连接FG.若AB=8,则FG=一 A E B 【答案】 2v万 【分析】首先根据平行四边形的性质和已知角度求出∠ACD,进而在Rt△ACF中，求出∠CAF;利用圆 周角定理或三角函数求出OF的长，然后根据平行四边形的性质求出AE的长，在Rt△OAE中，求出 ∠AOB,最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出FG的长， 【详解】解：：四边形ACDE为平行四边形， AC∥DE, ∴.∠ACD+∠CDE=180° .∠CDE=120°， .∠ACD=60°， CD⊥AB. ∴.∠AFC=90°， 在Rt△ACF中，∠CAF=90°-∠ACD=30° 如图，连接OC, B AB为直径，AB=8, .0A=0C=4. 71/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠COB=2LCAB=2×30°=60°， 在Rt△OCF中，OF=OC.cos∠COB=4×cos60°=2， CF=OC·sin∠C0B=4xsin60°=2√3 CD⊥AB, CD=2CF=43 :四边形ACDE为平行四边形， AE∥CD,AE=CD=4V3 .CD L AB, ∴AE⊥AB,即∠OAE=90°， 在Rt△OAE中，an∠AOE= E=3 OA .∠A0E=60°， ,点G在⊙0上， .0G=4, 过点G作GH⊥AB于点H, 在RtAOGH中，∠GOH=∠AOE=60° 0H=0G-cos60°=4×，2，GH=0G.sim60°=4x5=25, .HF=H0+OF=2+2=4. 在RtFHG中，FG=VF2+GH=42+25'=2万 5.(24-25九年级上山东烟台期末)如图，正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动，若 ⊙O的面积为m,MN=l,则△AMN的周长的最小值是 D 0 M B 72/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关 键. 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA∥BD,且使CA'=I,连接AA交BD于 点N,取M=l,连接AM、CM,则点MN为所求点，进而求解. 【详解】解：连接AC, ⊙ 的面积为“，则圆的半径为N6,则D=26=4C ,则 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC, 过点C作CA'∥BD,且使CA'=l, .CA⊥AC, 连接AA'交BD于点N,取NM=l,连接AM、CM,则点MN为所求点， N ,CA'∥BD,且A'C=MN,则四边形MCA'N为平行四边形， 则A'N=CM=AM, 故△AMN的周长=AM+AN+MN=AA+1为最小， 则4A=V2v6>+1P=5 则△AMN的周长的最小值为5+1=6， 故答案为：6， 6.(2026重庆模拟预测)如图，△ABC是O0的内接三角形，AD是△ABC的高，延长AD交O0于点E, 过点E的切线交0C的延长线于点P,连接4F.若BC=6,D=25,∠1CB=60”,则0C的长度为 73/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF的长度为 D E 2√21 2V93 【答案】 3 3 【分析】①连接OB,OA,过点O作OG⊥AB,由AD是△ABC的高得出AD⊥BC,得到∠ADC和 ∠ADB为直角，在RIAADC中利用∠ACB=6O°和AD的长度求出DC,进而求出BD,在RIAABD中由勾 股定理求出AB,接着由垂径定理得出BG,根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，结合OA=OB求 出∠OBA=30°，最后在RtAOBG中利用余弦函数求出OB,即可得OC的长度： ②连接OE,EC,延长BC,过点A作AI BC,过O作OM⊥BC于M,过F作FKIAD,交BC的延长 线于K,交AI于P,由∠ADC和∠ACB的度数求出∠DAC,再根据圆周角定理得到 ∠EOC=2∠DAC=60°，结合OC=OE证明△OEC是等边三角形，得出OC=CE及相关角的度数，由EF 是⊙O的切线得出OE⊥EF,进而求得∠CEF=∠CFE=30°，得到CE=CF,可得OC=CF,接着由垂径 定理得出MC的长度，在Rt△OCM中由勾股定理求出OM,再根据平行关系得出对应角相等，结合 OC=CF证明△OCM≌aFCK,得到CM=CK和OM=FK,然后由两组对边分别平行且有一个角为直角 证明四边形ADKP为矩形，得出PK和AP的长度，进而求出PF的长度，最后在RtAAPF中由勾股定理即 可求出AF的长度， 【详解】解：①如图，连接OB,OA,过点O作OG⊥AB,垂足为G, G E :AD是△ABC的高， AD⊥BC, .∠ADC=∠ADB=90°. 74/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△ADC 在 中， ∠ADC=90°∠ACB=60°AD=2N3 DC=、AD =2 tan60° ∴.BD=BC-DC=6-2=4, 在R1△ABD中，由勾股定理得： AB=AD2+BD2=27 :OG⊥AB :.BG-14B-7 21 ∠AOB=2∠ACB=120°， .OA=OB. :∠OBA 180°-∠A0B=30° 2 在RtAOBG中， BG 万_22i OB= cos∠0BAV33, 2 0C=0B=22 3 ②连接OE,EC,延长BC,过点A作AI BC,过O作OM⊥BC于M,过F作FKIAD,交BC的延长 线于K,交AI于P, G B ,∠ADC=90°，∠ACB=60°， ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠ACB=30°， .∠EOC=2∠DAC=60°， 75/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：0C=OE, .△OEC是等边三角形， ∴.OC=CE,∠OEC=∠OCE=60°. ,EF是⊙O的切线， .OE⊥EF, .∠OEF=90°， 、.∠CEF-LOEF-LOEC=30°， 又：∠ECF=180°-∠0CE=120° :.∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=30°， .∠CEF=∠CFE, ..OC=CF :OM⊥BC, ..OM=OC2-MC2 2--5 3 3 ,FKAD,AD⊥BC, FK⊥BC, 又：OM⊥BC, ..FKIIOM, ·∠OMC=∠FKC,∠COM=∠CFK, 又，OC=CF △OCM≌△FCK(AAS) ∴.CM=CK=3 OM-FK=3 3， :AD∥PK,AP∥DK,∠ADC=90°， ∴四边形ADKP为矩形， 76/94 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PK=AD=23 AP=DK=DC+CK=5 PF-PK+KF-234 33, AF=AP2+PR2=2193 3 三、解答题 7.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，圆内接四边形ABCD满足DB=DC,连结AC、BD,E 是BA延长线上的一点，过点D作DF⊥BE于点F. E B (I)求证：AD平分∠EAC； (2)若AB=6,AF=1,求AC的长. 【答案】()证明：~四边形ABCD是圆内接四边形， ∠BCD+∠DAB=180°， :∠EAD+∠DAB=180°， ∠EAD=∠BCD, ..DB=DC, ·.∠DBC=∠BCD ∴.∠DBC=∠EAD, ∠DAC=∠DBC, ∴.∠EAD=∠DAC, ∴AD平分∠EAC: (2)8 【分析】(1)根据圆的内接四边形，得到∠BCD+∠DAB=180°，可推导出∠EAD=∠BCD,继而推导出 77/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DBC=∠BCD=∠EAD=∠DAC,即可解答； (2)过D作DG1AC于G,推导出DF=DG,可证明 tADFAS≌RtADGA(HL ,得到4G=F=1,继 t△DFB≌RtADGC(HL 而推导出 ,可求出BF=CG=7,进而求出AC的长即可。 【详解】(1)略 (2)解：过D作DG⊥AC于G, E D AP 平分 AD ∠EAC DF⊥BEDG⊥AC ..DF=DG 在RtADFA和Rt△DGA中 AD=AD DF=DG .RtADFAS≌RtADGA(HL) ∴.AG=AF=1, 在Rt△DFB和RtADGC中 DB=DC DF=DG ∴.RtADFBS≌RtADGC(HL) ..BF=CG :BF=AB+AF=6+1=7, .CG=7, ∴.AC=AG+CG=1+7=8. 答：AC的长为8 8.(25-26九年级下·安徽宿州阶段检测)新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦. 78/94 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D B D 图(1) 图(2) (I)如图1，AB,AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE是 方形： (2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交⊙O于D,C两点，连接CD.求证：AB, CD是⊙O的等垂弦. 【答案】() 证明：，AB,AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB,OE⊥AC, ∴.∠A=∠AD0=∠AE0=90°， ∴四边形ADOE是矩形， :AB,AC是⊙O的等垂弦， .'AB=AC, OD⊥AB,OE⊥AC, ..OD=OF, ∴矩形ADOE是正方形： (2) 证明：设AB交CD于点E,连接AC, D :OD⊥OA,OC⊥OB .∠AOD=∠BOC=90°， 79/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOB=∠COD, .AB=CD. :∠BAC=)∠B0C=45°，∠ACD=)∠A0D=45° 21 2 .∠BEC=∠ACB+∠BAC=90°， .AB⊥CD AB=CD,AB⊥CD, ∴AB、CD是⊙O的等垂弦 【分析】(1)根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD=OE,即 可判定矩形ADOE是正方形： (2连接AC,由圆心角、弦的关系可得AB=CD·由圆周角定理可得∠BMC-)B0C, 1 ∠ACD= ∠AOD ,可得结论 【详解】(1)略 (2)略 9.(25-26九年级上福建福州阶段检测)如图1,4C为O0的直径，B=BC=4.点D是C上一动 点（不与A、C重合），连接BD,DC,AD 图1 图2 (1)求∠BDC的度数： (2)探究线段AD、CD、BD之间的数量关系，并证明. (3)如图2，若BD与AC相交于点E,过点E分别作EF⊥AD于点F,EG⊥CD于点G,求△AEF与 △ECG面积之和的最大值. 【答案】(1)45° AD+CD=√2BD (2)解： ,证明如下： 80/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长DA至点M,使得AM=DC,连接BM, :∠MAB+∠BAD=180°∠DCB+∠BAD=180° ∴.∠MAB=∠DCB AB=BC ∠BAM=∠BCD 和 中 △ABM'△CBD AM=CD △ABM≌ACBD(SAS) ∴.BM=DB,∠MBA=∠CBD. ∴.∠MBD=∠ABD+∠MBA=∠CBD+∠ABD=9O° 在Rt△MBD中，MD=VBM+BD=V2BD】 .AD+CD=AD+AM=MD=2BD ∴.AD+CD=√2BD (3)4 【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角得出∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质求出 ∠ACB=∠BAC=45°，最后根据圆周角定理得出答案即可； (2)延长DA至点M,使得MM=DC,连接BM,证明 △ABM≌ACBD(SAS) 得出 BW=Da∠M4=∠C0,根搭约R定程出D-aP+D-5 ,即可得出答案： (3)过点E作EN⊥EC交AD点N,证明四边形EFDG为正方形.得出∠FEG=90°，证明 △EFN≌AEGC(ASA) ,得出 N=BCS.m=Sc,设EBC=x,则4E=4W2-元BN=BC=x,求出 81/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S+Sa=Sa-4EBN-45-小r=-2+4,根搭二次函数性质得出答案即可。 【详解】(1)解：“AC为直径， .∠ABC=90°， AB=BC. ∴.∠ACB=∠BAC=45°， .BC-BC .∠BDC=∠BAC=45°： (2)略 (3)解：过点E作EN⊥EC交AD点N,如图所示： 为直径， .AC .∴.∠ABC=∠ADC=90° AB=BC=4, .∠ACB=∠BAC=45,AC=4V2 ∴.∠ADB=∠BDC=45°， ∴.BD平分∠ADC 又EG⊥CD,EF⊥AD ∴.EF=EG,∠EFD=∠EGD=∠ADC=90°， ∴.四边形EFDG为正方形. .∠FEG=90°， NE⊥EC, .∠NEC=90°， ∴.∠FEN=90°-∠NEG,∠CEG=90°-∠NEG. ∴.∠FEN=∠CEG 82/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T∠FEN=∠GEC EF=EG 在 和 中 AEFN AEGC ∠EFN=∠EGC' AEFN≌AEGC(ASA) :.EN=EC,S.EFN=S.RGC 设BC=x,则ME=4W5-6EN=BC=x Ss+8m=8m4E-BN=45-=-2可+4， ·当x=2W2S “取得最大值，最大值为4， S.AEF+S.GEC 最大值为4. 10.(25-26九年级下浙江宁波开学考试)定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个 四边形为圆美四边形 图1 图2 (1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称一： (②)如图l,在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，经过点A、B的圆交AC边于点D,交BC边于点E,连结DE. AB 若四边形ABED为圆美四边形，求DE的值： 3)如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D,交BC于点E,连结AE,BD交于点F.若在四 边形ABED的内部存在一点P,使得∠PBC=∠ADP,连结PE交BD于点G,连结PA,若PA⊥PD, PB⊥PE.求证：四边形ABED为圆美四边形. 【答案】(1)正方形 83/94 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②2*1 (3)证明：PA⊥PD,PB⊥PE, ∴.∠APD=∠BPE=90°， ·∠PBC=∠ADP, .△APD∽△EPB. AP PD EP PB AP EP PDPB' 又'∠APD+∠DPE=∠BPE+∠DPE. 即∠APE=∠DPB, ∴.△APE∽△DPB .∠AEP=∠DBP 又：∠DBP+∠PGB=90°，∠PGB=∠EGF, ∴.∠AEP+∠EGF=90°， 即∠BFE=90°， BD⊥AE, 又A,B,E,D在同一个圆上， ∴.四边形ABED为圆美四边形. 【分析】(1)根据圆美四边形的定义直接得出结论： (2)先判断出∠BED=∠CED=90°，得出∠ABD=∠CAB,AC=(N2+AD. AP EP (3)先判断出△APD∽△EPB,得出PDPB,进而判断出△APE△DPB?得出∠AEP=∠DBP,即 可得出结论 【详解】(1)解：根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形 (2)解：如图，连接BD,AE, 84/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=90° .BD为⊙O的直径， ∴.∠BED=∠CED=90° ~四边形ABED为圆美四边形， ∴BD⊥AE, .∠ABD+∠BAE=90°， :∠CAE+∠BAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE」 :.AD=DE, :AD=DE, △CDE CD=V2DE 在等腰直角 中， :.CD=2AD 4C=(+1)4D AB=AC.AD=DE, AB=2+1. DE (3)略 1L.(2026湖南长沙二模)在等边△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E,垂 足为D,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接EF,经过点D、E、F的⊙O与边BC另一个公共点为G, 连接GF,GE,己知AB=6. 85/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)在点D的运动过程中，∠EDF的角度是否是定值，若是，求出角的度数，若不是，请说明理由： (2)求线段FG的最小值； (3)设CD=x,△AEF的面积为y,试求出y与x的函数关系式. 【答案】(I)∠EDF=60° 3V21 (2)7 (3) 【分析】(1)根据等边三角形的性质可知∠A=∠B=∠C=60°，根据直角三角形的两个锐角互余可得 ∠BDF=30°，即可求出∠EDF=60°： (2)根据∠GDE=90°，可知GE是⊙0的直径，根据圆周角定理可得∠EGF=∠EDF=60°，根据直角三 角形的丙个发角直余可知G长新正切的定义可如G-停印，前以当的雀时G的 值最小，以点B为原点建立平面直角坐标系，过点F作FM⊥x轴于点M,设CD=x,把点E、F的坐标 用含x的代数式表示出来，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得： 7,根 据二次函数的性质可知当x= 时，EF有最小值，最小值为EF=9y5 12 一，根据FG=Y3EF可求G的最 小值： (3当CD=x时，可得4F=+6),过点6作BN⊥B:可得BV=5B-,根据三角形的面积公 式即可得到y与x的函数关系式. 【详解】(I)解：△ABC是等边三角形， 86/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6, DE⊥BC, ∴.∠BDE=90° DF⊥AB, ∴.∠BFD=90°. ∴.∠BDF=90°-60°=30° ∠EDF=∠BDE-∠BDF=90°-30°=60°： (2)解：如下图所示，以点B为原点建立平面直角坐标系，过点F作FM⊥x轴于点M, ∠EDG=90° ∴.EG是⊙O的直径， .∠GFE=90°， EF =EF .∠EGF=∠EDF=6O°， ∴.∠FEG=30°， 在RtAEFG中， an∠FEG=FG EF, .tan30°= FG EF 3 FGEF 3 设DC=x,则BD=BC-CD=6-x, ∠EDC=90°，∠ACB=60°， .∠DEC=30°， ∴.CE=2CD=2x, ∴DE=VCE2-CD2=V（2x)2-x2=V3x 点E的坐标为(6-xV3x) ∠BFD=90°，∠BDF=30° 87/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BF=BD-6-刘. ,FM⊥x轴，∠ABC=60°， .∠BFM=30°， BM=F=6-. w--aw-2(-浮- 点4456-小浮6 m6-6-可6-可 整理.m-头-18+27=-号到， 81_9V万 当号时，球有最小值，晟水值为矿7是 :FG的最小值为FG=5F=5x973N 3 377； E 0 B MG D (3)解：设CD=x,则BD=BC-CD=6-x, :∠EDC=90°，∠ACB=60°， ∴.∠DEC=30°， ∴.CE=2CD=2x 88/94 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AE=AC-CE=6-2x, ∠BFD=90°，∠BDF=30°， BF-号BD-6-刘. 2 AF=AB-BF=66-刘=x+6, 如下图所示，过点E作EN⊥AB, :∠A=60°， .∠AEN=30°， aN=4B=6-2)=3-x, EN=VAE2-AW2=V6-2x}-(3-x}=5(3-x). y=8m号4-av-+65B-。 整理得：y=-533x+95 4 4t+ 2 B G 12.(25-26九年级上·北京石景山期末)在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为1.对于⊙0的弦AB和 点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C 是弦AB的“关联点”. 在点C(0,0),C,(1,0),C(1,),C,(2,0)中，弦B的“关联 点”是 89/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C主 (2)若点 是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长； 215 0 (3)已知点M(0,2), 15 对于线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联 点”.记P的长为1，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围. 【答案】aG(0,0).C(2,) √万5 (2)2或2 60<1s 2或V3≤1≤2 【分析】(1)由点坐标可知弦AB的垂直平分线为x轴，根据新定义求出各点关于弦AB对称的点坐标， 然后根据是否在⊙O上，进行判断作答即可： 6,0 (2)由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆心O,则OC为弦AB的垂直平分线，点 )关于直线 AB的对称点为 -10)或0） 然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可： 2W15 N ,0 (3)根据点M(0,2), 15 结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得PO的极值即可得出t 的取值范围 90/94 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1V5 【详解】(1)解： 2’2 .弦AB的垂直平分线为x轴， C(0,0) 关于直线AB对称的点坐标为 0),在o0上.m9 C(0,0) 是“关联点”： C2(1,0) 关于直线AB对称的点坐标为 0,0 ,不在0上，即GL0 不是“关联点”： C(1,1) 不在弦4B的垂直平分线上，即G(L 不是“关联点”； C4(2,0) 关于直线AB对称的点坐标为 0),在00上，即C(20)是“关联点： G(0,0)C(2,0) 故答案为： (2)解：由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆心0， :点©20)是弦4n的关联点” ∴.OC为弦AB的垂直平分线， 点9 关于直线4B的对称点为(-1,0)或(1,0) 当对称点为(-0)时，直线AB为x=一4，如图1，线段4B, M B B 图1 则OM=I 4·AB=2AM, 由勾股定理得， AM-JO-OM15 , 91/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4g 2； 3 当对称点为(1,0)时，直线AB为x=4,如图1，线段A,B, 则0w3 4,AB2=2AN, 由勾股定理得， 4N=VO4,2-0w= 4, .5B2=2, 万5 综上所述，AB的长为2或2： (3)如图，设MN交⊙0于K,当OS⊥MW于S时，设OS交⊙0于S”,作线段SS的垂直平分线交⊙0 于P,O,OS'交PQ于E,连接OP, KP 0 在Rt△MNO中， w=vow+0m-2+2-8yi 15 15, .∠OSW=∠MON=90°， ∴OS.MN=OM.ON, :85 15 0S=2x215 15 92/94 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是SS'的中点， gw- :0E=0S+SE=2+44 1,13 4 半径OS⊥P9 =0=2PE=5 2· NM ⊙0 PO 当点S沿线段 运动到接近上时， 逐渐减小， 0<1s⑦ 2 当点S与M重合时，则S(0,-,P№与SS互相垂直平分，如图，连接OP, M(S) S-2-(3-.0P-1 0E=S0-SE=2-3-1 22 在RIAOPE中，PE=vOP-0E-VP-令= 2 .PO=2PE=3 当点S运动到点K时，如图，SS经过点O,P9与SS互相垂直平分， 93/94 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 1K) R S ∴t=PQ=2 V3≤t≤2 综上所述，t的取值范围 0<1s 2或V5≤1≤2： 94/94