第29章 圆 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

数学（人教版）九年级上 (25)2,解得r=2(负值舍去)，∴.⊙0的半径为2. ⑥110°在优弧AB上取一点P,作圆周角∠APB. .CD⊥OA,CE⊥OB,.∠ODC=∠OEC=90° ∴.∠DOE=360°-∠ODC-∠OEC-∠DCE=140°. ·∠APB=号∠DOE=70.:四边形ACBD是O0的 内接四边形，∴.∠ACB+∠APB=180°.∴.∠ACB= 180°-∠APB=110°. ⑦8元如图，由题意可知，圆心从点O到点O,的运动轨 迹是线段00，其长为圆的周长，从点0，到点0，的运 动轨迹是0,0，其长为圆的周长，…·圆心0运动路径 的长为子×2xX8+子×2xX8=8元 02 (第7题) ⑧2元一3连接OD,在CD上取点D',使DD'=OD,连 接OD'.在菱形ABCD中，：O是对角线AC的中点， ∠B=120°，.AD=CD=AB=4,∠ADC=∠B=120°， OD LAC..·∠MD0=∠C0=3∠ADC=60 .△DOD'是等边三角形.∴.∠DD'O=∠DOD'=60, OD=OD'..∠NOD'+∠DON=60°，∠DD'O ∠MDO=60°.：'∠EOF=60°，∴.∠MOD+∠DON= 60°=∠NOD'+∠DON.∴.∠MOD=∠NOD'. .△MDO≌△ND'O.∴.SAMo=SANDO.∴.S△Mo+ S△NO=S△Nm0+S△NpO,即Sm边MmNO=S△Op. ∠CD0=60°，OD⊥AC,.∠DCO=30.∴.OD= 2CD=2.DD'=CD'=2,A0=0C=Ve-2=23. Sw=Sam=×700.0C=.dS,8= Snr-Sanw=Sn高g5-Saw=60mX25》 360 √3=2r-5. [综合素养提升] ①C连接MO,DO,过点O作OH⊥AD于点H,交BC 于点N,作OK⊥MF于点K,交DE于点G.由题意，得 AB-CD-6.(GLDE DG-7DE-(CD+CE)- &:OHLAD,DH=号AD=4.易得OG=DH 4.在Rt△ODG中，OD=√DG+OG=√⑧2+4F= 60 4W5.∴.OM=4W5.CG=DG-CD=8-6=2,∴.易得 MK=CG=2.∴.OK=√OM-MK=2√19.∴.KG= OK-OG=2√19-4.∴.易得EF=KG=2√19-4. ②D过点D作DH⊥AE于点H.:∠AOB=90°， OA=4,OB=2,∴.AB=√OA+OB=2√5.由旋转的性 质，得△EOF≌△BOA,ED=EF,∠DEF=90°， ∴.∠EOF=∠BOA=90°，OF=OA=4,OE=OB=2. ∴.AE=OA+OE=4+2=6.DH⊥AE,∴.∠EHD 90=∠FOE..∠HED+∠EDH=90°.又∠HED+ ∠FEO=∠DEF=90°，.∠EDH=∠FEO. ∴.△DHE≌△EOF..DH=EO=2.∴.S色=S△Ds十 Sm十Sam-Saam=方×6×2+2×2X4十 90m×4足_90xX(25Y=10-元 360 360 ③B如图，连接CE,OC,OD,OE,过点C作CH⊥DE, 交ED的延长线于点H,设半圆O的半径为r.:AC= CD=1,DE=EB=√2，∴.∠AOC=∠COD,∠DOE= ∠OE.·∠00D+∠0E=号∠A0B=90,即 ∠COE=90°.，OC=OE,∴.△OCE为等腰直角三角形 “易得CE=E0C=E.“∠1=∠0B,∠2= 2∠00.：41+2=日∠0E+日∠000= 号∠0=45.∠3=∠1+∠2=45：CH1DE, △DiH为凝直角三角花易得C1=0H-号cD 号.BH=DE+DH-2在△CHE中.CF+ E-cE,即号)+2）°=，解得r-四 2 (负值舍去)，.AB=2r=√/I0 H D 0 B (第3题) ④3+2W2如图，过点P作PHLAB于点H,PD⊥OC 于点D,连接PA,PB,PC.A(-5,0),B(1,0) .OA=5,OB=1,AB=6.PH⊥AB,∴.AH=BH= OH=BH-0B=2.:∠APB=2Z 2X60°=120°，∴.易得∠APH=60°.∴.∠PAH=30. ∴.PA=2PH.由勾股定理，得PH+AH=PA2, ∴.PH+32=(2PH),解得PH=(负值舍去). ∴.PA=23.∠PHO=∠PDO=∠HOD=90°，∴.四 边形PHOD为矩形.∴.OD=PH=3,PD=OH=2.在 Rt△PCD中，PC=PA=23,PD=2,.CD= √PC-PD=√(23)2-22=2W2.∴.OC=OD+ CD=√3+2√2.∴.点C的纵坐标为3+22. y H0B (第4题) ⑤105如图，连接OP,OB,OA,延长AO交BC于点 D.:AB=AC,∴.AB=AC..AD⊥BC.∴.BD=CD= BC=24.AB=40.AD=BD=32. OA=OB=r,OD =32-r.OB2=OD2+BD2, .r2=(32-r)2+242,解得r=25.P是AB的中点， 六0P1AB,AE=-BE=3AB=20,÷OE= √OA-AE=15.OP=r=25,∴.PE=OP-OE= 10..PA=√AE+PE=105. (第5题) 62W5-2≤CM≤25+2当点P在⊙0上移动时，M 为AP的中点，连接OM,根据垂径定理得出∠OMA=90° 90的圆周角所对的弦是直径，∴.AP的中点M的运动 轨迹是以OA为直径的⊙O.如图①，当点M在线段CO 上时，CM的长最小.由题意，得OA=OC=4,OO' 20A=2-0'M,在R△0'0C中，0C=√+2- 25.∴.CM=OC-O'M=25-2.如图②，当点M在 CO的延长线上时，CM的长最大.同理，可得CM=OC+ OM=2√5+2.∴CM的长的取值范围是25-2≤CM≤ 25+2. 0 ② (第6题) 附：答案与解析 ⑦(1)连接OD交BC于点M,记CE与AD交于点H. CD=BD,.OD⊥BC..∠DMG=90°.BE= BD,∴.∠BCE=∠BAD.OA=OD,∴.∠BAD= ∠ADO..∠ADO=∠BCE.∠DGM=∠CGH, ∴.180°-∠CGH-∠BCE=180°-∠DGM-∠ADO,即 ∠CHG=∠DMG=90°.∴.AD⊥CE.(2)连接AC.由 (1),知AD⊥CE,.∠AHC=∠AHF=90°.CD= BD,.∠CAH=∠FAH.又：AH=AH,∴.△CAH≌ △FAH.∴.AC=AF=2.CD=BD,∴.OD⊥BC. ∴.CM=BM,∠DMG=90°.又OA=OB,∴.OM= AC=1:AB是o0的直径，1∠ACG=90= ∠DMG.G是AD的中点，∴.AG=DG.在△ACG和 1∠ACG=∠DMG, △DMG中，∠AGC=∠DGM,∴.△ACG≌△DMG. AG=DG, ∴.CG=MG,AC=DM=2.∴.OD=OM+DM=3. ∴.AB=2OD=6.∴.在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC= 4E.CM=Bc=2厄.cG=号CM=E.在 Rt△ACG中，AG=√AC+CG=√6..AD=2AG= 26. ⑧解法一（截长法）：如图①，在CB上取一点C',使得 BC'=AC,过点D作DH⊥BC于点H,连接DA,DB, DC.CD平分∠BCE,.∠DCE=∠DCB.四边形 ABDC是⊙O的内接四边形，∴.∠DCA+∠DBA=180°， 又∠DCA+∠DCE=180°，.∠DCE=∠DBA. :∠DCB=∠DAB,.∠DAB=∠DBA..DA=DB. DA=DB, 在△DCA和△DC'B中，{∠DAC=∠DBC',∴.△DCA≌ AC=BC, △DCB.∴DC=DC',∠CDA=∠C'DB.∴.∠CDA+ ∠ADC'=∠C'DB+∠ADC',即∠CDC'=∠ADB. ∠ADB=∠ACB=120°，∴.∠CDC'=120° ·∠DCH=∠Dc'H=2(180-∠CDC)=30 DH⊥BC,∴.DC=2DH,CH=3DH.∴.易得CC'= cH-2sDH8C-2-原d DC KX-C=瓜、解法二（补短法，如图②，在 DC CE上取一点C',使得AC'=BC,连接DA,DB,DC'.由解 法一，得DA=DB,∠ADB=120°.在△ADC'和△BDC DA=DB, 中，{∠DAC'=∠DBC,∴.△ADC'≌△BDC.∴.DC'= AC=BC, 61 数学（人教版）九年级上 DC,∠ADC'=∠BDC.∴.∠ADC'-∠ADC=∠BDC ∠ADC,即∠CC=∠ADB=120同解法-，有 IBC ACIIACACICC3. DC DC DC 0· 0. ① ② (第8题) 第三十章 直线与圆的位置关系 高频考点突破] ①如图，过点A作AB⊥MN,垂足为B,以点A为圆心， 200m为半径画圆，交MN于点E,F,连接AE,AF,则 AE=AF=200m.在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AO= 240m,AB=号A0=120m120<200.居民楼会 受到噪声的影响.在Rt△ABE中，BE=√AE一AB= 160 m.'AE=AF,AB L MIN,.'EF=2BE =320 m. ~72kmh=20m/s:0三16(S.居民楼受噪声影 响的时间为16s. P= M (第1题) ②(1)连接BD.:'四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC= 124°，∴.∠ABC=180°-∠ADC=56°.AB为⊙0的直 径，∴.∠ACB=90°.∴.∠CAB=90°-∠ABC=90°- 56=34.:D为AC的中点，∴.AD=CD.∠ABD= ∠CBD=3∠ABC-号X56-28÷∠CAD ∠CBD=28°.(2)连接BD,OC,BD与OC相交于点F. CE与⊙O相切于点C,∴.OC⊥CE,即∠CCE=90°. AB为⊙O的直径，.∠ADB=∠EDB=90°.：C为 BD的中点，OC为⊙O的半径，∴.OC⊥BD,DF=BF= 号BD.∠CFD=∠0E=∠EDB=90.四边形 CEDF为矩形..CE=DF.在Rt△ABD中，AB=10, AD=4,∴.由勾股定理，得BD=√AB-AD=2√2I. ∴CE=DF=2BD=VA. 62 ③(1)连接OC.:AB与⊙O相切于点C,∴.AB⊥OC :DF⊥AB,.DF∥OC..∠DEO=∠COE. :∠COE=2∠D=74°，.∠DE0=74°.(2)连接OC, CE,则OC=OE,∠COE=2∠CGE.∠DOE 2∠CGE,∴.∠COE=∠DOE.由(1)，得DF∥OC, ∴.∠COE=∠OED.∴.∠DOE=∠OED.∴.DE=OD= OE.∴.△DOE是等边三角形.∴.∠DEO=∠COE=60°. ∴.△COE是等边三角形.⊙0的半径为5，EG是⊙0 的直径，∴.CE=OE=5,EG=2OE=10,∠ECG=90°. ∴.CG=√EG-CE=√102-5=55. ④(1)连接OD.:AB=AC,OB=OD,∴.∠C= ∠ABC,∠OBD=∠ODB.∠ABC=∠OBD,∴.∠C= ∠ODB.DE⊥AC,.∠E=90°.∴.∠C+∠EDC= 90°.∴.∠ODB+∠EDC=90°，即∠ODE=90°.∴.OD⊥ DE.:OD是⊙O的半径，.DE是⊙O的切线.(2)连 接OT.⊙O与直线AC相切于点T,∴.OT⊥AE .∠ODE=∠E=90°，.四边形ODET是矩形.OD= OT,.四边形ODET是正方形.∴.DE=ET=OD= OT=3.设AB=AC=x,则AT=EC-ET-AC=9-3- x=6-x,OA=OB+AB=3+x.在Rt△OAT中，OA2= OT+TA,即(3+x)2=3+(6-x)2,解得x=2, ∴.AB=2. ⑤(1)如图，连接BE,BD.AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°..∠BED=90°.四边形ABCD为菱 形，∴BD平分∠ADC.∴.∠ADB=∠CDB.在△BDE和 DE=DF, △BDF中，∠EDB=∠FDB,∴.△BDE≌△BDF. DB=DB. ∴.∠BED=∠BFD=90°.∴.DF⊥BF.四边形ABCD 为菱形，∴.CD∥AB.∴.OB⊥BF.:OB为⊙O的半径， .BF是⊙O的切线.(2)由(1)，知△BDE≌△BDF, ∴.BE=BF=3.:AB是⊙O的直径，∴.∠AEB=90° ∴.AE+BE=AB.:四边形ABCD为菱形，.AB AD=BC.设AB=AD=BC=x,则AE=x-1,.(x 1)2十32=x2.x=5..BC=5.四边形ABCD为菱 形，.AD∥CB.∴.∠EBC=∠AEB=90°.∴.CE= √BC2+BE=√52+3=√/34. (第5题)第二十九章圆 对应练习 部分的面积为 8.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B= E 120°，O是对角线AC的中点，以点O为 0 圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇 形OEF,点D在扇形OEF内，OE,OF (第8题) 分别交CD,AD于点N,M,则图中涂色 食】综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在⊙O中，作矩形ABCD和矩形CEFM,其中，点A,D在⊙O上，直线DC,BC交 ⊙O于E,M两点.若AB=6,BC=8,CE=10,则EF的长为 () A.2W5 B.2√/13 C.2√19-4 D.4 M 0 0 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4,OB=2.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向 旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E按逆时针方向旋转90°后得线段ED.分别以 点O,E为圆心，以OA,ED为半径画AF和DF,连接AD,则图中涂色部分的面积是 () A.2π B.π+5 C.10+4π D.10-π 3.如图，AB是半圆O的直径，点C,D,E在半圆O上，且AC=CD=1,DE=BE=√2，则 直径AB的长是 A.22 B.10 C.3√2 D.2√5 4.如图，⊙P与x轴交于点A(一5,0)，B(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°， 则点C的纵坐标为 M (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC,P是AB的中点，连接PA,PC.若BC= 48,AB=40,则AP的长为 6.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC,P为圆上一动点，M为AP的中点， 连接CM.若⊙O的半径为4，则CM长的取值范围是 39 数学（人教版）九年级上 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，CD=DB=BE,CE交AB于点F,BC交 AD于点G (1)求证：AD⊥CE. (2)若G为AD的中点，AF=2,求AD的长. D G 0 (第7题) 8.一题多解如图，A,B,C,D四点都在⊙O上，CD平分△ABC的外角∠BCE.若 ∠ACB=12r,求A的值 E 0 (第8题) 40