专题19 三角形内切圆、正多边形与圆问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题19 三角形内切圆、正多边形与圆问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型三、正多边形与圆的中心角问题 题型四、正多边形与圆的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及内切圆半径、正多边形边长/边心距/半径计算，以及阴影面积。 - 解题方法：内切圆半径用面积法 r = ；正多边形化归为直角三角形，用边心距、半径、半边长关系及三角函数求解。 - 易错提醒：混淆内切圆与外接圆半径公式；正多边形中心角计算为 ；边心距与半径关系记反。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 典例1 如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 题型模版 1.特征：直角三角形内切圆半径 r= （a、b直角边，c斜边），或面积 S=rs 。 2.方法：用等面积法：三角形面积=内切圆半径×半周长，列方程求半径，或直接套用公式。 变式1-1如图，在中，，则的内切圆半径 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理等知识点，掌握三角形的内切圆的圆心到三角形的三边距离相等是解题的关键． 由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴，即，解得：．    故答案为：1． 变式1-2如图，在中，是的内切圆，切点分别为、、，若，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则四边形是矩形，故，由即可求解，继而求解． 【详解】解：连接， ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 变式1-3如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 典例2 如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 题型模版 1.特征：任意三角形面积等于内切圆半径乘半周长，即 S=rs，其中s为半周长。 2.方法：用等面积法，将三角形分为三个小三角形，面积和等于底乘高，得 S= r(a+b+c)=rs ，列方程求半径。 变式2-1如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 变式2-2如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 变式2-3如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    题型三、正多边形与圆的中心角问题 典例3 （25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 题型模版 1.特征：正n边形内接于圆，中心角 ，边心距与半径构成直角三角形。 2.方法：用中心角公式求角度，在由半径、边心距、半边长构成的直角三角形中，用三角函数或勾股定理求解。 变式3-1（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 变式3-2（2026·河北沧州·二模）如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时，与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，，其中，那么图中阴影面积（即）为________． 【答案】 【分析】设正六边形边长为，由动点同速得，借助正六边形特征算出四边形与面积相等；通过面积等量代换推出，结合，算出． 【详解】解：如图， 连接、、，作，垂足为， 正六边形各边长相等，设边长为，点从运动到，总路程为； ∵同速同时运动， ∴运动的路程， ∵ ∴都是等边三角形， 同理，正六边形的中心与相邻顶点构成的、都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴四边形的面积等于个等边三角形的面积： ∴ ∴， 设与交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， 故． 变式3-3（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 题型四、正多边形与圆的综合问题 典例4 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形和正方形内接于，，分别与相交于点G，H．若的半径为R，求的长． 【答案】的长为 【分析】连接交于点，连接，，证明直线是线段的垂直平分线，求得，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵正方形和等边三角形都内接于， ∴是的直径，，，， ∴，， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 题型模版 1.特征：正多边形内接或外切于圆，涉及边长、边心距、半径、面积及中心角关系。 2.方法：连半径和边心距构造直角三角形，用中心角求半中心角，结合三角函数或勾股定理列方程求解。 变式4-1（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）略 变式4-2（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 变式4-3（2026·山西晋中·二模）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①；②，；③，， (2)如图所示，边即为所求． 【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式，进而得出正八边形的内角度数． ②根据题意得出，，，，作出辅助线得出，，从而得出． ③利用②的结论得出，，进而得出，再得出，进而得出，进而得出，，再利用勾股定理得出． （）利用（）得出的画图． 【详解】（1）①∵正边形单个内角度数公式为：（其中）， ∴代入可得，正八边形每个内角为． ②∵正方形和正八边形的中心重合为点， ∴，， ，． 如图，过点作于 ∴， ， ∴． ③由②知，，，． ∴，， ∴， ∴， ∵八边形是正八边形，内角为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的边长为， ∵（勾股定理）， ∴， ∴， ∴． 综上，正方形的边长为，． （2）利用（）得出的画图． 如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 4．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，设扇形半径与、分别交于点、，过点作于点，根据正六边形性质得出和为等边三角形，证明，得出重叠部分面积等于四边形的面积，最后用扇形面积减去重叠部分面积即可． 【详解】解：如图，连接、、，设扇形半径与、分别交于点、，过点作于点 六边形为正六边形， ，，，， 和为等边三角形，， ∴，， ∴，， 扇形圆心角为， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【答案】/123度 【分析】根据三角形的内心的性质求出，，再由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的内切圆， ∴点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点， ∴， ， ∴． 7．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 9．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，正六边形的边长为2，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，则长________，当最大时，线段的长为________． 【答案】 【分析】连接、交于点，由题意可得点为正六边形的对称中心，且中心角为，，从而得出和均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，进而求得的长，由题意可得，由对称性可得，直线必过对称中心，证明点在以为直径的上，结合是定线段，得出当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 故当最大时，线段的长为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解：是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 13．（2025九年级·全国·专题练习）已知图①、图②、图③、……图中的正多边形分别是的内接正多边形，点分别从点开始以相同的速度在上逆时针运动，连接，与相交于点P． (1)分别求出图①、图②、图③中的度数． (2)的度数与正多边形的边数之间的关系是_______________． 【答案】(1)图①中；图②中；图③中 (2) 【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角定理解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：在图①中，点分别从点开始以相同的速度在上逆时针运动， ， ． 同理可得，在图②中，； 在图③中，． （2）解：由（1）可知：所在正多边形的一个内角度数， 所以． 故答案为：． 14．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 15．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）任务1：由题可知两圆的直径为，则圆的最大半径为； （2）任务2：连接，，利用勾股定理求出，利用三角形内切圆的性质证明四边形为正方形，即可解答； （3）任务3：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，利用勾股定理求得半径的值，根据题意求出符合的半径即可． 【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列， 两圆的直径为， 圆的最大半径为； （2）解：如图，连接，， 设的半径为， 在中，， 是的内切圆， ，，，，， 又， 四边形为正方形， ． （3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距， 如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点， 则，， 在中，， 整理得， 解得， 当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题19三角形内切圆、正多边形与圆问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型三、正多边形与圆的中心角问题 题型四、正多边形与圆的综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及内切圆半径、正多边形边长边心距/半径计算，以及阴影面积。 2s -解题方法：内切圆半径用面积法r= a+b十c：正多边形化归为直角三角形，用边心距、半径、半边 长关系及三角函数求解。 360 -易错提醒：混淆内切圆与外接圆半径公式：正多边形中心角计算为 :边心距与半径关系记反。 刁题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 典例1如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,⊙0是它的内切圆，用剪刀沿⊙0切线DE剪一 个△ADE,则△ADE的周长为 1/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 题型模版 1,特征：直角三角形内切圆半径1FQ+b+C (a、b直角边，c斜边)，或面积Ss。 2方法：用等面积法：三角形面积=内切圆半径×半周长，列方程求半径，或直接套用公式。 变式1-1如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,则△ABC的内切圆半径r=」 B 变式1-2如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,若 AC=3,AD=2,则⊙0的半径为— D B 变式1-3如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,⊙0是它的内切圆. B E 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)内切圆的半径为， (2)小明用剪刀沿着OO的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 典例2如图，⊙O是△ABC的内切圆. (1)若∠A=80°，则∠BOC的度数为 SAAc=14,AB=5,BC=7⊙0 (2) ,则 的半径为 题型模版 1.特征：任意三角形面积等于内切圆半径乘半周长，即Ss,其中s为半周长。 1 2方法：用等面积法，将三角形分为三个小三角形，面积和等于底乘高，得S=之rab+cTs,列方程 求半径。 变式2-1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm, CA=6cm E D 如图，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, (I)求AF的长， ②尼知5s=66cm,求0D的长. 变式2-2如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙0是它的内切圆，与AB,BC,CA分别切于点D,E,F. 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E (①)若∠D0E=130°，则∠ACB= (2)若AB=3,AC=4,求⊙0的半径. 变式23如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H,点D,E分别为BC,AC上的点，且DE为 ⊙0的切线。 G D (1)若∠C=40°，求∠AOB的度数； (②)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长. 题型三、正多边形与圆的中心角问题 典例3(25-26七年级下·江苏苏州：期末)拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名， 天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点 O按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为 G F B 题型模版 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：正n边形内接于圆，中心角 360 ,边心距与半径构成直角三角形。 2方法：用中心角公式求角度，在由半径、边心距、半边长构成的直角三角形中，用三角函数或勾股定理 求解。 变式3-1(2026浙江绍兴二模)如图，在⊙0中，弦AB,，AC分别是⊙0的内接正三角形和内接正方形的 一条边，连接BC,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是 变式3-2(2026河北沧州二模)如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点P,Q同时、同速从点A出 发，点P沿FA的延长线向右运动，点Q沿AB→BC方向运动，当点Q运动到点C时，P,Q两点都停止运 动，此时0P,00与多边形和M的延长线所围成图形的面积记为，9，其中S ,S2=6 ,那么图中阴影面 1+S 积（即 )为 D C(O S B 变式3-3(2026山西长治三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP的 顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O, 正八边形的另外四个顶点H,I,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QW于点 AB E,F,则EF的值为一 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型四、正多边形与圆的综合问题 典例4(26-27九年级上全国课后作业)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O,DE,FE 分别与BC相交于点G,H.若OO的半径为R,求GH的长. A 题型模版 1.特征：正多边形内接或外切于圆，涉及边长、边心距、半径、面积及中心角关系。 2.方法：连半径和边心距构造直角三角形，用中心角求半中心角，结合三角函数或勾股定理列方程求解。 变式41(25-26九年级上河南安阳·阶段检测)如图，六边形ABCDEF是⊙0的内接正六边形，四边形 EFGH是正方形，连接OE,OF,OG, (1)求∠OGF的度数： 6/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD (②取劣弧CD的中点K,莲连接FK,在图中找出和F队等长的线段，并说明理由。 变式42(25-26九年级上浙江嘉兴期末)如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙0，连接OA,OC, AD (I)求∠ADC的度数： (2)若⊙0的半径为1，求扇形A0C(阴影部分)的面积. 变式43(2026山西晋中·二模)下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务. 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案.如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一 个正八边形.我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点， 己知：如图2，正方形ABCD 求作：正八边形EFGHKLMN,使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点. 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为_°： ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点O.连接OA,OF,OG, OB,可得∠FOG= ,∠A0F= 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接AC,BD相交于点O: ②作∠AOB的角平分线交AB于点P: 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐.继续深入分析图3，设正八边形的边 长为a,则正方形的边长为 A0= AG= ,于是得到了新的作图方案。 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B B H 图1 图2 图3 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 ②∠FOG=·,∠AOF= ③设正八边形的边长为a,则正方形的边长为 AO= AG=: (用含a的 代数式表示) (2)在图2正方形的AB边上作出正八边形的边FG. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) ◆◆ 同压轴挑战一文克离难压轴，突政思维上保 一、单选题 1,(2026湖南长沙二模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为8，面积为4，则⊙0的半径 是() A.1 B.√2 C.1.5 D.2 ABCDE 内接于0，点P在 _⊙0 CPE 2.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，正五边形 上，则 的度数为() 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.50 B.60 C.64 D.72° 3.(25-26九年级上安徽六安期末)如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙0为△ABC的内切圆，且半径 为6 若4ABC 的面积为 18√6 V6,则BC的长为《) 0 A.10 B.&V2 C.9V② D.13 4.(2026云南昭通模拟预测)在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美 好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，若正六边形ABCDEF的周长为l8cm,则⊙O的半径为 () 0 D A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 5.(2026宁夏银川二模)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O,以点O为圆心，以AB长 为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为() 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1209 0 D A-45 6m-45 B. m-83 c.3 16m-85 D. 二、填空题 6.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，⊙0为△ABC的内切圆，若∠ABC=50,∠ACB=64°，则 ∠BOC的度数为， B 7.(26-27九年级上山东德州开学考试)如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DF∥OE,EF∥OD, 连接OF,则∠OFD的度数为° B 8.(2026四川宜宾中考真题)如图，己知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动， 连接AP.当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP=1,则AP= (用含t的代数式表示)· 9.(25-26九年级下·河北衡水阶段检测)新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧.如图，已知⊙0的半径 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为2，正五边形ABCDE和正方形EFGH内接于⊙O,在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为 E 4 H G 10.(2026河北邯郸模拟预测)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时 出发，以相同的速度沿AF,DC向终点F,C运动，过点F作FH⊥MN,垂足为H点，连接CH、CE, 则CE长 当∠HCE最大时，线段CH的长为一 B E W D 三、解答题 11. (26-27九年级上全国课后作业)如图，⊙0是△ABC的内切圆，切点为D,E,F.若AE=1,CD=2, BF=3,求△ABC的面积. D ABCDEF ⊙O,P,DE 12.(25-26九年级上河南安阳·期末)如图，正六边形 内接于 为 上一点，连接 AP,FP A 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求∠APF的度数： ②当点P为D正的中点时，PE是O0 O0的内接正”边形的一边，求”的值. 13.(2025九年级全国·专题练习)已知图①、图②、图③、…图@中的正多边形分别是⊙0的内接正 多边形，点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，连接BN,AM,BN与AM相交 于点P. 图① 图② 图③ 图@ (1)分别求出图①、图②、图③中∠APN的度数， (2)∠APN的度数与正多边形的边数n之间的关系是 14.(26-27九年级上北京课堂例题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC=a,AC=b,AB=c,⊙0 为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,⊙O的半径为T,试用含a、b、c的代数式表示r. 小亮的思路：连接OD、OE.因为⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,所以 BD=BF,AF=AE,且OD⊥BC,OE⊥AC,易证四边形ODCE为正方形，所以DC=CE=r.因为 DC+CE=(BC-BD)+(AC-AE)=BC+AC-(BD+AE)=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB ,所以 r=BC+AC-AB 2 即r=a+b-c 2 小丽的思路是分别连接AO、BO和CO,把△ABC分割成3个小三角形：△AOB、△BOC和△COA,利用 这3个小三角形的面积之和等于△ABC的面积求出r, (1)尝试按照小丽的思路求出T; 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于 ⊙0的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释 15.(2025·福建泉州模拟预测)情境：某工厂需从一块长80cm、宽60cm的矩形铁片上剪出两个半径相 同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘， 图1 图2 (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径： (②)任务2：如图2,1 是矩形AB D的对角线，园9和四0分划是MC和AMCD的内切质，同与 AB、BC、A 分别切于RFG=点，因O与CD、A 分别切于4N 两点，求圆的半径： (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务 2的圆可能不是最大.在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果 可以请求出最大半径，如果不能请说明理由 13/13