24.2.2 直线和圆的位置关系 第三课时 切线长定理和三角形内切圆-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选 ·同步精练 24.2.2直线和圆的位置关系 第三课时切线长定理和三角形内切圆 知识点1 切线长及切线长定理 1．（湖南省湘西市2020年中考数学试题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 2．（湖南省益阳市2019年中考数学试题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 3．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 5．（2024年广东省汕头市潮南区陈店实验学校中考三模数学试题）【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． (1)请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)请你结合作图，说明、是的切线的理由； (3)连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 6．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 7．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 知识点2 三角形的内切圆和内心 8．（吉林省长春市朝阳区吉林大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（[中学联盟]江苏省海安县大公镇初级中学2017届九年级下学期第一次阶段性检测数学试题）如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上．已知∠B=50°，∠C=60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于 ． 10．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 11．（23-24九年级上·天津河西·期末）若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 12．（2024·河南·模拟预测）如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 15．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 16．（山东省日照市莒县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 17．（2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 18．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于D，E两点，连接的延长线交于点F，若，则的大小是 ． 20．如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 21．（江苏省盐城市盐都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 22．（2019年山东省菏泽市中考数学试题）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是 ． 23．（2022年浙江省宁波市中考数学真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选 ·同步精练 24.2.2直线和圆的位置关系 第三课时切线长定理和三角形内切圆 知识点1 切线长及切线长定理 1．（湖南省湘西市2020年中考数学试题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 【答案】B 【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 2．（湖南省益阳市2019年中考数学试题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答案】D 【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立． 【详解】∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立， 故选D． 【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵切于点A、B，直线切⊙O于点E， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 5．（2024年广东省汕头市潮南区陈店实验学校中考三模数学试题）【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． (1)请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)请你结合作图，说明、是的切线的理由； (3)连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆的切线、直径所对的圆周角为直角和四边的内角和， （1）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心为半径作圆，交于点A和B，连接和即可； （2）由作图可知，以为直径的圆，则，结合为的半径，即可判定直线、是的切线； （3）由，求得，可得，利用四边形内角和即可得到． 【详解】（1）解：如图， （2）解：由作图可知，以为直径的圆， 则， ∴， ∵为的半径， ∴直线、是的切线； （3）解：∵，， ∴， ∴， 则． 6．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【详解】（1）如图，连结，    ∵半圆O与相切于点D， ∴．                     ∵， ∴. ∵，， ∴．                 ∴． （2）如图，∵，， ∴. ∵， ∴.    ∵， 在中，， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键． 7．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线交于点． (1)求证：是中点； (2)若，，连接，，交点为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1.8 【分析】（1）连接，根据切线的性质，就可以证出，从而证明； （2）求出，根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ，为直径， 为切线， 切于点， ， ； ， ， ， ， 即为的中点； （2）解：连接， ， 为的切线， 是的切线， 平分， ，为的中点， 点、分别为、的中点， ， 在中，，，，由勾股定理得：， 在中，为的中点， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 知识点2 三角形的内切圆和内心 8．（吉林省长春市朝阳区吉林大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，再确定哪个作图是作的三角形的两个内角的平分线，从而可得答案． 【详解】解：∵三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点， 观察各选项可得： 选项A中的作图是作的是三角形两边的垂直平分线，故不符合题意； 选项B中的作图是作的是三角形两边上高，故不符合题意； 选项C中的作图是作的是三角形两个内角的平分线，故符合题意； 选项D中的作图是作的是三角形两边上的中线，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，确定三角形的内切圆的圆心位置，利用三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键． 9．（[中学联盟]江苏省海安县大公镇初级中学2017届九年级下学期第一次阶段性检测数学试题）如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上．已知∠B=50°，∠C=60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于 ． 【答案】55°/55度 【详解】解：∵∠B=50°，∠C=60° ∴∠A=70° ∵AB、AC分别切⊙O于点E、F． ∴ OE⊥AB，OF⊥AC ∴∠AEO=∠AFO=90° ∴∠EOF=110° 又∵∠EDF= ∠EOF ∴∠EDF=55°； 故答案为：55°． 10．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 11．（23-24九年级上·天津河西·期末）若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和内接圆，掌握等边三角形的性质、三角形外接圆和内接圆的概念、根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设等边三角形的中心为O， ， 连接，延长交于点E，则， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为外接圆的半径，为内切圆的半径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴内切圆与外接圆的半径分别为1和2， 故选：D． 12．（2024·河南·模拟预测）如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的内切圆的定义与性质．由点是的内心，得，，则，而，据此求解即可得到问题的答案． 【详解】解：点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 13．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 15．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 16．（山东省日照市莒县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心的定义可得平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据圆周角定理得出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．（2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 18．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于D，E两点，连接的延长线交于点F，若，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点D，E， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 20．如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【答案】(1)5 (2)115 【分析】本题考查了圆的切线长定理，切线的性质定理，圆内接四边形的性质，四边形的内角和定理 （1）根据切线长定理，得，结合的周长为10，得到，计算即可． （2）连接，在上取一点F，连接，利用圆周角定理，圆内解四边形的性质，切线的性质计算即可． 【详解】（1）根据切线长定理，得， ∵的周长为10， ∴，解得， 故答案为：5． （2）连接，在上取一点F，连接， ∵，分别和切于A，B两点； ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 故答案是：115． 21．（江苏省盐城市盐都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    22．（2019年山东省菏泽市中考数学试题）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是 ． 【答案】（﹣，0）或P（﹣，0） 【分析】根据函数解析式求得，，得到，，根据勾股定理得到，设与直线相切于，连接，则，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0．﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝5， 设⊙P与直线AB相切于D， 如图所示：连接PD， 则PD⊥AB，PD＝1， ∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴＝， ∴＝， ∴AP＝， ∴OP＝或OP＝， ∴P（﹣，0）或P（﹣，0）. 故答案是：（﹣，0）或P（﹣，0）． 【点睛】考查了切线的判定和性质、一次函数图形上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质，解题的关键正确的理解题意，分两种情况解析． 23．（2022年浙江省宁波市中考数学真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ． 【答案】或 【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA， ①当D点与O点重合时，∠CAD为90°， 设圆的半径=r， ∴OA=r，OC=4-r， ∵AC=2， 在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2， 解得：r=， 即AD=AO=； ②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AO•AC=OC•AD， ∴AD=， ∵AO=，AC=2，OC=4-r=， ∴AD=， 综上所述，AD的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$