专题18 直线与圆位置关系问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题18 直线与圆位置关系问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系 题型二、切线的性质定理 题型三、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 题型四、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 题型五、切线的性质和判定的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：判断相离、相切、相交，求切线长或证明切线，常与勾股定理、相似三角形结合。 - 解题方法：比较圆心到直线距离d与半径r；证切线用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”；切线长定理导线段相等；常构造直角三角形求解。 - 易错提醒：忽略“切线垂直于过切点的半径”这一前提；证切线时未分清已知切点与未知切点；动点问题未考虑位置变化的多种情形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系 典例1 （25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 题型模版 1.特征：直线与圆有相交、相切、相离三种位置，由圆心到直线距离d与半径r的大小决定。 2.方法：求圆心到直线距离d，比较d与r：d<r相交，d=r相切，d>r相离；相切时切线垂直于过切点的半径。 变式1-1（25-26九年级上·新疆·期中）的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是_______；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是_______ 【答案】 圆外 相离 【分析】此题考查的是点、直线与圆的位置关系，根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置关系．若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与半径的大小；根据直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小． 【详解】对于点P：∵点P到圆心O的距离为，的半径为，且， ∴点P在外． 对于直线l：∵圆心O到直线l的距离为，的半径为，且， ∴直线l与相离． 故答案为：圆外；相离． 变式1-2（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 变式1-3（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 题型二、切线的性质定理 典例2 （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：圆的切线垂直于过切点的半径，常用于证明垂直或构造直角三角形。 2.方法：连接圆心与切点得半径，利用切线垂直于该半径得90°角，再结合勾股定理或相似三角形求解。 变式2-1（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）一个边长为的等边三角形与等高，如图所示，与相切于点C，与相交于点E，则的长为________． 【答案】3 【分析】过点A作，垂足为F，连接，过点O作，垂足为D，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为F，连接，过点O作，垂足为D， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵等边三角形与等高， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2-2（2026·江苏南京·二模）如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】如图：连接交于点M，根据切线的性质和全等三角形的判定与性质可得．在中利用勾股定理求出，利用三角函数求出，进而得到，根据直径所对圆周角是直角可得，在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图：连接交于点M，则， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，是的直径， ∴ ∴． 变式2-3（2026·四川泸州·二模）定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 【答案】/ 【分析】分别过点作，连接，易证，即三点共线，勾股定理求出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，由切线长定理求出，得到，再根据是的切线，得到，解直角三角形求出，再求出，再根据，求出，即可求解． 【详解】解：分别过点作，连接， ∵、、分别与切于、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形是矩形， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 题型三、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 典例3 （2026·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 题型模版 1.特征：已知直线过圆上一点（切点），需证明该直线是圆的切线，常用“连半径证垂直”。 2.方法：连接圆心与切点得半径，证明该半径与直线垂直（如用全等、勾股逆定理或角度关系），即可判定切线。 变式3-1（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 变式3-2（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是 的切线； 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）略 变式3-3（2026·广东东莞·三模）如图，在中， ，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接 ，则 ， ， ， ， ， ． 是 的半径， 是 的切线； (2)1 【分析】（）连接 ，可得，得到 ，即得，即可求证； （2）连接，设 的半径为，则，在 中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后由等边三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接， 设 的半径为，则， ∵， ∴， 在 中，， ， 解得， ， ， 由（1）知，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 题型四、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 典例4 （2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 题型模版 1.特征：未给出直线与圆的公共点，需证明直线是切线，常用“作垂线证半径”。 2.方法：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径，即可判定该直线为圆的切线。 变式4-1（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 变式4-2（2026·江西九江·一模）如图，在中，，点在边上，点是边上一点，连接，且． (1)求证：以为直径的与直线相切； (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，作，垂足为点． ， ， ． ∴平分， 又， ， 以为直径的与直线相切； (2)1 【分析】（1）作，由、得，结合知平分；由、得，进而即可证明； （2）设⊙半径为，则，；在中，，得；在中，由勾股定理，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知． 设的半径为，则， 在中，， ． 在中，， 解得，（舍去）， 的半径为1． 变式4-3（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 题型五、切线的性质和判定的综合应用 典例5 （2026·湖南长沙·二模）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积减去两个直角三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； （3）解：∵， ∴在中，， 结合（1）可得：， ∴． 题型模版 1.特征：综合运用切线性质（垂直过切点半径）与判定（连半径证垂直或作垂线证半径）解题。 2.方法：有切点连半径得垂直，无切点作垂线证等于半径；结合勾股定理、全等或相似列方程求解。 变式5-1（25-26九年级上·河北沧州·期末）为的一条弦，将弦绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若与相切，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以为边作等边三角形，点落在上，连接，． ①求证：； ②若，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)解：相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． (2)① 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴． ②4； 【分析】（1）连接，根据切线的性质和判定证明即可； （2）①先证明，然后证明即可； ②根据两点间线段最短，弧长公式计算即可． 本题考查了等边三角形的性质，切线的性质和判定，圆的性质，弧长公式，熟练掌握判定和性质，公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②解：∵ ∴， 连接， 当、、三点共线时，的值最大 此时， ∴， ． 变式5-2（25-26九年级上·山东·阶段检测）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； (2) 证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； (3) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 变式5-3（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线． (2)2，阴影部分的面积为； (3) 解：他说得正确，理由如下： 如图，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． (4)与之间满足的函数关系为． 【分析】（1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证得结论； （2）证明，得到，即可得的半径，再根据阴影部分的面积，列式计算即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即可判断他说得是否正确； （4）由等腰直角三角形的性质可得，，，则，根据勾股定理，即可得y与x之间满足的函数关系． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； ∴阴影部分的面积为． ∴阴影部分的面积为． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵与相切，切点为D， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， 设（），， 由（3）知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴与之间满足的函数关系为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，是的切线，为切点，连接，．若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质得到，解直角三角形求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴. 3．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长． 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 5．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而根据可判断③结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，①结论正确； ∴， 如图，过点作交于点， 平分，， ， 是的半径， 与直线相切，②结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论正确， 即正确的结论有①②③． 二、填空题 6．（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用，可证明是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， 为等边三角形， ， 与相切于点B， ， 根据旋转可知：， ，， ， ， ． 9．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆的半径是6，，则阴影部分的面积是___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】证明，求出，分别计算四边形和扇形的面积，最后用四边形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ，分别与相切于点，， ，，即， ∴， ∵ ∴， ， 该圆的半径， ， ， ， ， ． 10．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形的面积公式．根据已知点，得到的长，由勾股定理得，当最小时，最小，根据垂线段最短可得，当时，最小，利用三角形等面积法求出的长，最后利用勾股定理求出的长度即可解答． 【详解】解：连接，， ，， ，， ， 切圆于， ， ， 的半径为， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 切线长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2026·广西南宁·三模）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． （2）先根据勾股定理求出，设的半径为，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵， ∴， 设的半径为，则，． 在中， ， ， 解得， ∴的半径长为． 12．（2025·西藏林芝·中考真题）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 13．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 14．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，求得． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵是的直径，，的半径为5， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 15．（2026·吉林长春·二模）【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 【答案】(1) 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． 所以，， 点在的平分线上； (2) (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据圆的半径相等可得，结合角平分线的判定定理，即可得证； （2）根据题意求得，再根据圆的周长公式，即可求解； （3）根据（1）可得点在的平分线上，则时，最小，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相切于点， 由（1）可得平分 ∴ ∴ ∴的周长为； （3）解：如图，连接 由（1）可得平分 ∴ ∵时，最小， ∴当时， ∴面积的最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题18直线与圆位置关系问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系 题型二、切线的性质定理 题型三、切线的证明： 有切点，连半径， 证垂直 题型四、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 题型五、切线的性质和判定的综合应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：判断相离、相切、相交，求切线长或证明切线，常与勾股定理、相似三角形结合。 解题方法：比较圆心到直线距离与半径：证切线用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”；切线 长定理导线段相等；常构造直角三角形求解。 -易错提醒：忽略“切线垂直于过切点的半径”这一前提，证切线时未分清已知切点与未知切点；动点问 题未考虑位置变化的多种情形。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系 典例1 (25-26九年级上：广东广州期末)若⊙0的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线AB与 ⊙0的位置关系是 (填“相交”、“相切”或“相离”) 题型模版 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：直线与圆有相交、相切、相离三种位置，由圆心到直线距离d与半径r的大小决定。 2方法：求圆心到直线距离d,比较d与r:d<r相交，d分相切，d>r相离；相切时切线垂直于过切点的半 径。 变式1-1(25-26九年级上新疆期中)⊙0的半径为4cm,点P到圆心0的距离为5cm,点P与⊙0的位 置关系是一：若圆心O到直线1的距离是6cm,则直线1与⊙0的位置关系是 变式1-2(2026贵州遵义·模拟预测)如图，Rt△ABC中，以点A为圆心作⊙A,与BC,AC有交点（不 经过点B,C两点)，∠B=90°，∠C=30°.若AB=3,则⊙A的半径r的取值范围是 变式1-3(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,0是 △ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是一· B 题型二、切线的性质定理 典例2(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是 ⊙0的直径，若∠0AB=21°，则∠P= A 题型模版 1特征：圆的切线垂直于过切点的半径，常用于证明垂直或构造直角三角形。 2.方法：连接圆心与切点得半径，利用切线垂直于该半径得90°角，再结合勾股定理或相似三角形求解。 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1(25-26九年级上山东烟台~阶段检测)一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙0等高，如图所示， ⊙0与BC相切于点C,⊙0与AC相交于点E,则CE的长为. cm 变式2-2(2026江苏南京·二模)如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,BC是⊙0的直径 若PA=BC=2,则AC的长为 B 变式2-3(2026四川泸州二模)定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”·如图多切型中，AB、 BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB‖CD,连接CO并延长CO交O0于点M,过点M作OO的 切线交CD于N,交AB于P,若⊙O的直径为8，BC=I0.则PM=_ M D 题型三、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 典例3(2026江西赣州模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆 过点D D (①)求证：BC与OA相切： 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=10,∠B=30°，求阴影部分的面积. 题型模版 1特征：己知直线过圆上一点（切点），需证明该直线是圆的切线，常用“连半径证垂直”。 2方法：连接圆心与切点得半径，证明该半径与直线垂直（如用全等、勾股逆定理或角度关系），即可判 定切线。 变式3-1(2026甘肃兰州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BD是⊙0的切线，E为AB延长线上一点， 延长ED交⊙O于点C,∠BDE=2∠BAC,连接OD. B C (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若CD=2,DE=5,求⊙0的半径 变式3-2(2026广东梅州二模)如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，点D是BC的中点.过点 D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.四边形ACFG内接于⊙O,CF是⊙O的直径，连接AF,CG. (1)若AC=B ,求∠BAC 度数： (2)求证：DE是⊙O的切线， 变式3-3(2026广东东莞三模)如图，在R1aABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙0 经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC. 4/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E (I)求证：AB是OO的切线： (2)若 D=V5,AE=l,求DF的长 题型四、 切线的证明：无切点，作垂直，证半径 典例4(2026湖北武汉模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0平分∠BAC交BC于点O, 以点O为圆心，OC为半径的圆交BC于点D. B D (I)求证：AB为圆O的切线； (2)若AC=6,BC=8，,求圆O的半径R. 题型模版 1特征：未给出直线与圆的公共点，需证明直线是切线，常用“作垂线证半径”。 2方法：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径，即可判定该直线为圆的切线。 变式41(25-26九年级上：广东广州期末)如图，△ABC中，AB=AC,O为BC的中点，AB与⊙0相切 于点D. 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：AC是⊙0的切线： (2)若BD=4,B0=5,求AD的长. 变式4-2(2026江西九江·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D在边BC上，点0是 边BC上一点，连接OA,AD,且OA=OB」 B D (1)求证：以CD为直径的O0与直线AB相切： ②在1)的条件下，者D=7,求0的半径 变式43(25-26九年级上山东济宁期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于 点E,以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F. (I)求证：AC是⊙0的切线： (2)若∠AOE=60°，OE=3,在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE 的最小值. 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、切线的性质和判定的综合应用 典例5(2026湖南长沙二模)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，F为BC的中点，过点C作⊙O的 切线交OF的延长线于点E,连接BE,BC,其中BC交OF于点D, (1)求证：BE是⊙O的切线： (2若DF=2,∠EOB=60°，求线段OE的长： (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. 题型模版 1.特征：综合运用切线性质（垂直过切点半径）与判定（连半径证垂直或作垂线证半径）解题。 2方法：有切点连半径得垂直，无切点作垂线证等于半径；结合勾股定理、全等或相似列方程求解。 变式5-1(25-26九年级上河北沧州期末)AC为⊙0的一条弦，将弦AC绕点A顺时针旋转60°得到AD, 连接DC」 D 图1 图2 (1)如图1，若AD与⊙O相切，判断DC与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以OC为边作等边三角形COP,点P落在⊙0上，连接PA,OD. ①求证：△ACP≌aDCO C=2,求OD的最大值及此时4C的长. ②若 变式5-2(25-26九年级上~山东阶段检测)停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动.图2是某直 角停车楔和轮胎的示意图，AD⊥DE,当车辆停于水平地面EF时，此时停车楔AC紧贴轮胎，停车楔边 CD与地面EF重合，AB是⊙0的直径，∠DAB的平分线AC,AC交OO于点C,连接BC,过点A作 AF∥BC交EF于点F. B 0 D 图1 图2 (1)求证：EF是OO的切线： (2)求证：∠B+∠AFC=90°： (3)若⊙0的半径为5dm,∠ACD=30°，求图2中阴影部分的面积为多少dm2 变式5-3(25-26九年级上河北保定期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,0是边BC上 的点，⊙0与AB相切，切点为D,AC与⊙O相交于点E,且AD=AE, B (I)求证：AC是⊙O的切线； (2)⊙0的半径为， 一：OC与O0相交于点M,求阴影部分的面积： (3)F为 DE 上的一个动点（不与点D,B重合），过点F作O0的切线，分别与边B,1C ⊙0 交于点G,H, 连接OG,OH,嘉淇认为：随着点F位置的变化，∠GOH的度数不变.请你判断他说得是否正确，并说 明理由； (④在(3)的条件下，设BG=x(2<x<4),CH=y,直接写出y与x之间满足的函数关系.。 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克离难压轴，突放思维上保 一、单选题 1.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，连接OP,若 ∠APB=52°，则∠APO的度数为() A B A.26° B.30° C.38 D.52° 2. (2026福建泉州模拟预测)如图，AC是O0的切线，B为切点，连接OA,OC.若∠A=30°， AB=23 OA ,则“的长度是() B.251 C.vi3 D.4 3.(26-27九年级上北京课前预习)如图，∠0=30°，P为边OA上的一点，且OP=5,若以P为圆心， ?为半径的圆与射线OB只有一个公共点，则半径r的取值范围是() 、B A 5 5 A.r=5 B.r= 2 D.r=2或r>5 4.(26-27九年级上全国·课后作业)如图，已知以CD为直径的半圆O与四边形ABCD的另外三边都相 切，切点分别为D,C,E,若半圆O的半径为2，AB长为5，则四边形ABCD的周长为（) 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E A.9 B.10 C.12 D.14 5.(25-26九年级下浙江杭州开学考试)如图，己知△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC 的角平分线交AC于D,以D为圆心，DA为半径作圆，与射线BD交于点E,F,有下列结论：①△ ABC是直角三角形；②OD与直线BC相切：③tan∠CDF=2.其中正确的结论有() D A A.① B.①② C.①②③ D.①③ 二、填空题 6.(2026:安徽芜湖三模)AB是⊙0的弦，PB与O0相切于点B,圆心O在PA上，若∠P=40°，则 ∠PAB= δ 7.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，⊙0的半径是1，直线AB: y=+b与'轴交于点Pa0),若直线B与O0有公其点，则“的取值范国是 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(2026吉林长春模拟预测)如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方 向旋转得到△0AB,使点O落在圆O上，边AB交线段A0于点C.若∠A=15°，⊙0的半径长为2，则 BC的长为 C O B 9.(25-26九年级下河南周口阶段检测)不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一个球 形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O ).已知帽子的边缘PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,若该圆的半径是6，∠P=60°，则阴影部分的 面积是 (结果保留π) 图1 图2 10.(25-26九年级上河北衡水期末)如图，在平面直角坐标系*0中，直线1B经过4(3,0)，B(0,4) ⊙0的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙0的一条切线P9,卫为切点， 则切线长P⑨的最小值为 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B外 A 三、解答题 11. (2026广西南宁·三模)Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D, 交AC于点E,且BD=BC. B D (①)求证：AB是⊙O的切线； (2)若AC=8,BC=6,求⊙0的半径长. 12.(2025西藏林芝·中考真题)如图，△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,以点D为 圆心，BD为半径作OD交AB于点E. A B (I)求证：AC是⊙D的切线： (2)若AC=5,BC=4,试求AE的长， 13.(26-27九年级上天津期中)已知△ABC内接于⊙0，AB=AC，∠BAC=42°，点D是⊙0上一点。 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小： (2)如图②，若∠BCD=1II°，过点D作⊙0的切线，与OC的延长线交于点E,求∠E的大小. 14.(25-26九年级上福建莆田期末)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙0，交AC于点 D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB于F. (①)求证：DF是⊙O的切线： (2)若AC=12,⊙0的半径为5，求DF的长. 15.(2026吉林长春·二模)【定义】对于给定的一个大于0°且小于180的角，我们这样定义它的内切圆： ⊙0⊙02 如果一个圆与这个角的两边都相切；那么我们称这个圆是这个角的内切圆.例如：如图①， 都与 ∠BAC ⊙0⊙02 的两边相切，所以 都是<BAC 的内切圆. B B 图① 图② 图③ 图④ (I)【探究】已知⊙O是∠BAC的一个内切圆.求证：点O在∠BAC的平分线上.以下是小明的部分证明过 程： 证明：因为OO是∠BAC的一个内切圆， 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE 请你帮助小明完成上述证明过程， (2②)【应用】如图③，⊙0是∠BAC的一个内切圆，连接OA·若∠BAC=120°，0A=2,则⊙0的周长为 (3)【拓展】如图④，∠BAC=60°，点N在边AB上，AN=8.若⊙O是∠BAC的一个内切圆，以点N为 圆心，NO的长为半径作圆，则⊙N面积的最小值为一· 14/14