3.6 直线和圆的位置关系(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级下册（北师大版） 14.(1)证明：如图， OC,∴.LB=∠OCB.∠OCB+∠FCG=90°，∠B+∠BGE= 连接OP,延长B0与⊙0交 90°，.∠FCG=∠BGE.·.·∠BGE=∠FGC,.∴.∠FCG= 于点C,则OP=0B=0C. ∠FGC.∴.FG=FC=7. AP与⊙0相切于点P, 21.(1)证明：·GF是⊙0的切线，.DFLGF. ∠APO=90°..∠PAO+∠AOP DF⊥AB,AB∥GF.∠G=∠BAC=45°..∠FDG=90° =90°.M01CV,∴.∠A0C= -∠G=45°.∴.∠FDG=∠G.FD=FG.(2)解：如图， 90°.∠A0P+∠P0C=90°. 第14题答图 ∠PAO=∠POC..OP-OB,∴ 连接0A,DF1AB,AE=BE=AB=-6由()）知 ∠OPB=∠PB0.∴.∠POC=∠OPB+∠PB0=2∠PBO.. FD=FG=10,∴.LADE=∠BAC=45°.ED=AE=6..EF= ∠PA0=2∠PB0.(2)解：如图，延长B0与⊙0交 DF-DE=10-6=4.设0E=x,则OA=0F=0E+EF=x+4. 于点C,连接PC,过点P作PD⊥OC于点D,在 在Rt△A0E中，0A2=AE+0E,(x+4)2=6+x2.解得 RAA0p中，0n5,An9,a0-V,0- Γ3 多01=4名+4号00的半径为 2 2 ∠POC=∠PAO,∠PD0=∠APO=90°，∴Rt△PODM △0MR用册9.即罗者8m3. B D 525-20 33 0D=4..CD=0C-OD=1.在Rt△PDC中，PC= VPD+CD=V10.CB为⊙0的直径，∴.∠BPC=90° .BP=VBC2-PC2=V100-10=3V10. 15.20°16.43°17.C18.C 第21题答图 第22题答图 19.解：(1)如图，连接0C,AB与⊙0相切于 点C,.0C⊥AB..0A=0B,∠A0B=80°，∴.∠COB= 22.(1)证明：.AP,BP分别切⊙O于点A,B ∠c0A=7∠A0B=40.∠CED=7∠C0B=20.(2) .OA⊥AP,OB⊥BP,即∠PAO=∠PBO=90°.OA=OB, 2 如图，DG是⊙0的直径，⊙0的半径为3，.∠DEG= 0P0P,△PH0≌△PB0LA0P-ZBOr∠A0B, 90°，DG=6..EC∥OA,∴.∠EFG=∠A0B=80°.由(1) 又：AB=AB,LADB=3 LAOBADB=-LA0P 得∠CED=20°，∴.∠EDG=∠EFG-∠CED=60°.∴.∠G= (2)解：如图，延长A0交⊙0于点F,连接DF,则 9-LEDG-30.ED-DG-3.G-VDP-DE ∠ADF=90°.由(1)知∠PA0=90°，：C为0P的中点， V6-3=3V3..ED的长是3，EG的长是3V3. :.PC=0C.:PC=OC=AC=1OP.AP=10,tan LAOP= 方，A0-=m2折0p-200nVa0a-V2eI0 =10V5.AC=0C=20P=5V5,AF=2A0=40.AC= 0C,∠CA0=∠A0C.又∠PA0=∠ADF=90°， △4P0∽△DFM.P0=40.AD=,20_X40-=16V5. AF AD 10V5 .CD=AD-AC=11V5.∠AOP=∠ADB,∠AC0= 第19题答图 第20题答图 ∠B0,A400△80-8品E-Y 5V5 ×20=44. 20.(1)证明：如图，连接0C,:过点D的直线 6直线和圆的位置关系（第2课时） 与⊙0相切于点C,.∠OCF=90°.FE1AB, ∠OEF=90°.∴.∠F+∠C0E=180°.：∠A0C+∠COE= 1.相离2.1153.16cm4.30°或90° 5.C6.D7.B 180°，.∠AOC=∠F:∠AOC=2∠B,.∠F=2∠B. 8.解：是.理由：如图，连接 (2)解：在Rt△OCD中，OC=OA=4,OD=OA+AD= OD.AD∥OC,.∠COD=∠AD0 4+1=5,∴.CD=V0D-0C=V5-4=3.∠0DC= ∠DA0=∠COB.A0=OD, ∠FDE,∠OCD=LFED,∴△DFE△DOC,.DE=DE ∠ADO=∠DAO,∴.∠COD=∠COB. DO DC' .OD=OB,C0=C0,.∴.△COD≌ 即DE=5.解得DF=10.:FC=DF-CD=10-3=7.0B= 5 3 △COB,∠CDO=∠CBO.,BC 第8题答图 参考答案与提示 与⊙0相切，.∠CB0=90°，.∠CD0=90°，.CD是 ⊙O的切线. 为AB的中点，BD=号AB=号V而.AE是直径， 9.解：AC与⊙0相切.理由：方法1：如图1，连 ∠ADE=90°..∠BDE=90°..∠BDE=∠ACB.又∠B= 接OD,OA,过点0作0E⊥AC于点E.⊙0与AB相 切于点D,.OD LAB.AB=AC,O是BC的中点，AO 七B,ABDE一ABCA0:,即3Y而 DE 9 3 平分∠BAC..OD=OE.OD是⊙0的半径，OE⊥AC, AC是⊙0的切线.方法2：如图2，连接OD,过点 .DE-V10 2 0作OE⊥AC于点E.⊙0与AB相切于点D,.OD⊥ 13.(1)证明：如图，连接AE,AB是⊙0的直 AB.∴.∠BDO=∠CEO=90°.AB=AC,O为BC的中点， 径，∴.∠AEB=90°.∴.∠1+∠2=90°.AB=AC,2∠1= ∴∠B=∠C,OB=OC.∴.△B0D≌△COE..OD=OE.OD ∠BAC.·∠BAC=2∠CBF,∠1=∠CBF∴.∠CBF+ 是⊙0的半径，OE⊥AC,AC是⊙0的切线. ∠2=90°，即∠ABF=90°.AB是⊙0的直径，.直线 BF是⊙O的切线. (2)解：如图，过点C作CHL 即于点sin∠CaFY,∠1=∠GBr,:Sn∠1： 3.:在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3,BE= 3 AB.sin∠1=3xY3=V3.AB=AC,∠AEB=90, 图1 图2 3 第9题答图 c-6E=2v万.im∠F-0Y.0I-2 10.解：(1)是.理由：如 图，连接OA.∠AOC=2∠B, aAR器器即器号4 ∠B=∠D=30°，∴.∠AOC=60°.. AC+CF-9..BF=VAF-AB=6V2. ∠OAD=90°..AD是⊙0的切线. (2)0A=0C,∠A0C=60°， ∴.△AOC是等边三角形..OA=AC= 6..∠0AD=90°，∠D=30°，.AD= 第10题答图 6V3. *11.解：(1)画图略.△ABC的外心是斜边AB B H 的中点，内心在△ABC的内部.(2)：△ABC的三 第13题答图 边分别为3cm,4cm,5cm,由勾股定理逆定理知 △ABC为直角三角形设内切圆的半径为1cm,则× 14.解：(1)直线DF 与⊙0相切.理由：如图， 3+分×+分rX8x4解得1 (3)内切圆圆 连接OE,作OG⊥DF,垂足 为G,AC与⊙0相切，E 心为O,连接AO,设AC,BC,AB与⊙0相切于点 为切点，.OE⊥AC.∴.∠OEC M,E,F,则CM=OM=r=1cm.∴.AM=2cm.OF= =90°.点0，D分别为AB, OM,OA=OA,.∴.Rt△AM0≌Rt△AF0.∴AF=AM=2cm. BC的中点，.OD是△ABC 第14题答图 点D是RI△ABC的外心，AD=子cm,DF=号- 的中位线..OD∥AC. 2 ∠ODG=∠CFD,∠ODC=∠C=90°..四边形ODCE为 2=号(em).0D=V0F+0=Y(m, 矩形.DC=OE.在△ODG和△DFC中，LOGD=∠C= 2 12.(1)证明：如 90°，DF=D0,∠ODG=∠CFD,∴.△ODG≌△DFC. 图，连接AE,OD. .0G=DC=0E.OG⊥DF,OE是⊙0的半径，DF与 ∠ACB=90°，AE是 ⊙0相切.(2)设OE=r,由(1)可知BD=DC=0E= ⊙0的直径.0是AE r,OD∥AC,.∠B0D=∠A=30°.在Rt△0BD中， 的中点，点D为AB的 DO=DF-B0V3元在R△DCF中，DF=CF+ 中点，∴.OD是△ABE 的中位线.DO∥BE. 第12题答图 CD,∴.(V3r)2=(V2)2+2.解得r=1..⊙0的半径为 ∠ODF=∠DFB.DF⊥BC,.∠ODF=∠DFB=90°. DF⊥DO.∴DF为⊙0的切线.(2)解：∠ACB= 15.(1)证明：AD1OB,∴.∠ADB=90°..∠ACO+ ∠CAD=90°..AC是∠BAD的平分线，.∠CAD=∠BAC. 90°，AC=3,BC=9,AB=VAC+BC=3VI0.点D 数学 九年级下册（北师大版） .OA=0C,∴.∠OAC=∠AC0..∠OAB=∠OAC+∠BAC= ∠ACO+LCAD=90°，即AB⊥OA.OA是⊙0的半径， 号CD为O0的直径，∠DPC-90在Rt△DCF巾， AB为⊙0的切线.(2)解：∠OAB=90°，∠B= n∠DC=5号，则可设DF-4,CD-5,由勾股 ∠A0B=45°.∴AB=0A.⊙0的半径为2，.AB=0A= OC=2...0B=VAB+AO=V2A0=2V2...CB=0B- 定理，得CF=VCD-DF严=V(5x)2-(4x)=3x.CF=3, 0C=2V2-2. 3=3.解得lCD=5=5.0D=号CD=25.由（D 16.(1)证明：如图，连接 可知，△OME≌△OMD.∴.∠EOM=∠DOM.∴.∠DOE= 0D,则0D=0A,.∠0DA= 2∠D0M.OE=0C,∴LOEC=∠0CE.∠D0E是△OCE ∠BAD.:∠BAC的平分线交 的外角，∴.∠DOE=∠OEC+∠OCE=2∠OCE.∴.∠DOM= ⊙O于点D,∴.∠CAD=∠BAD ∠OCE..∴OM∥BC..∠OMD=∠B..sin∠OMD=sinB= .∠ODA=∠CAD..OD∥AC AB是⊙O的直径，DE∥BC, 专在R△00M巾，n∠0MD册品号，即 .∠E=∠ACB=90°.·.∠ODE= 180°-∠E=90°，即DE1OD. 第16题答图 专品0 8 .OD是⊙0的半径，DE是⊙0的切线.(2)解：设 OD交BC于点F,.∠ACB=90°，.∴.∠FCE=90°.. ∠FDE=∠E=90°，.四边形CEDF是矩形.DF=CE= V3,∠CFD=90°.OD∥AC,.∠B0D=∠BAC=60° .OD=OB,.△DOB是等边三角形.BC LOD于点F, D M .0F-DF.OD=2DF-2V3.∴.⊙0的半径是2V3. 17.(1)证明：如图，连接0A,BC是⊙0的直 第18题答图 径，∴LBAC=90°.∠ABE=LCAE,∠OCA=∠OAC, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°，即 7切线长定理 AE10A.0A是⊙0的半径，AE是⊙0的切线. 1.32.943.24.135.246.B7.C8.A （2解：S=3m小含0LAB于点D 9.B 10.解：(1)PA,PB是⊙0的切线，AP-BP ∴.∠BAC=∠ADC=90°.∠ABC=∠DAC,.△ABC ∠P=60°，.∠PAB=60°.AC是⊙0的直径， △1Dc--3-V5%-V3 ∠PAC=90°.∴.∠BAC=90°-60°=30°.(2)如图，连接 SAADC AC BC.AC是⊙O的直径，∴.∠ABC=90°.在Rt△ABC中， (不符合题意，舍去).∴BC=V2AC.BA=VBC-AC OA=2,∠BAC=30°，.AB=AC.cos∠BAC=2V3.由 =V(V3AC2-AC=V2AC.∠ABE=∠CAE,∠E= (I)得AP=BP,∠APB=60°，∴△APB是等边三角形. E.△MBE△CE品-是A-V7 ∴AP-AB=2V3. AC .AE=V2 CE..CE=12,.AE=12V2. 0 B 第10题答图 第17题答图 1山.解：0E∥AC,OE=AC理由：如图，连接 18.(1)证明：如图，连接OE,DF,CD为⊙0 的直径，.∴.OD=OE=0CME=MD,OM=OM,∴.△OME≌ BD,DO.ED,EB是⊙O的切线，ED=EB.又OD= △OMD(SSS)·.∴.∠OEM=∠ODM..CD⊥AB,∴.∠ODM= OB,.OE⊥BD.AB是⊙0的直径，.∠ADB=90°，即 90°.∴∠0EM=90°，即0E⊥ME.又0E是⊙0的半 AD1BnAD/oE,即0E/AC`0器又0- 径，.ME是⊙O的切线. BO,.BE=EC,E是BC的中点.又点O是AB的中 (2)解：∠ACB=90°，CD⊥AB,.∠A+∠B=90°， ∠A+∠DCf90P.∠B=∠DCF.sinB=-专，sin∠DCf 点，OE是△ABC的中位线，.OE=AC 2口数学 九年级下册（北师大版） 直线和圆的位置关系（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，⊙0为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上， 过点E作EF⊥BC于点F,点G在FE的延长线上，且GA=GE. (1)AG是⊙0的切线吗？为什么？ (2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长. 【分析】要证AG是⊙0的切线，需连接半径OA,证∠GAO=90°，即 例题图 ∠BAO+∠GAE=90°.为此要借助与∠BAO,∠GAE相等的其他角以及这些角之间的互余关系 得到. 【解答】(1)AG是⊙0的切线.理由如下：如图，连接OA.OA=OB, ∴.∠B=∠BAO.又EF⊥BC,∠BFE=90°.∴.∠B+∠BEF=90°.GA=GE, .∠GAE=∠GEA.∠GEA=∠BEF,.∠BAO+∠GAE=90°..GA⊥AO.又 ,OA为半径，∴AG是⊙0的切线 (2)如图，过点O作OH⊥AB于点H,BC为直径，.∠BAC= 例题答图 ∠B0=0°，0H∥AC.e=-10M=3AC=3,BH=3AB=方×8=4又BE=3. OC AH .EH=BH-BE=1.在Rt△EOH中，由勾股定理得OE=VOP+EP=V3+1P=VI0, 【点拨】此题考查了切线的判定.判断一条直线是否为圆的切线的基本题型有两类：第一 类是直线和圆没有公共点，解题策略是过圆心作已知直线的垂线段，证明所作的垂线段等于 圆的半径；第二类是直线和圆有公共点，解题策略是连接过公共点的半径（如果没连接）， 证连接的半径与直线垂直.而证明垂直的方法有下列几种：第一，利用两角的互余关系；第 二，利用三角形全等；第三，利用平行线的性质 基础巩固代达标闯关 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以点C为圆心，以2.2为半径作⊙C,它与直 线AB的位置关系为 2.如图，已知⊙0是△ABC的内切圆，且∠ABC= 50°，∠ACB=80°，则∠B0C= O, 3.如图，已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦，D 为BC的中点，DE垂直AC的延长线于点E,连接BC, 若DE=6cm,CE=2cm,则弦AC的长为 第2题图 第3题图 84 圆第三章 4.如图，∠BAC=60°，O为AB上一点，以O为圆心、OA的一半为半径作 圆，则AC绕A点逆时针旋转 时与⊙0相切. 0 5.三角形的内心是() A.三角形三边垂直平分线的交点 B.三角形三边中线的交点 第4题图 C.三角形三个内角平分线的交点 D.三角形三条高所在直线的交点 6.如图，△ABC的内切圆I分别与三边切于D,E,F三点， 若∠DIE=∠DIF=135°，则△ABC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 D C.直角三角形 第6题图 D.等腰直角三角形 7.如图，⊙0与△ABC三边相切于点D,E,F,若∠B=40°，则 ∠DFE的度数是() A.80° B.70° E C.60° D.40° 第7题图 8.如图，AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B,过点A作AD∥OC交⊙O于点 D,连接CD.CD是⊙O的切线吗？为什么？ 第8题图 9.如图，在△ABC中，AB=AC,O是底边BC的中点，⊙O与AB相切于点D,请判断 AC与⊙0的位置关系，并说明理由.（请至少用两种方法） 第9题图 85 口数学 九年级下册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 一多多 10.如图，已知△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上，∠B=∠D=30°. (1)AD是⊙0的切线吗？为什么？ (2)若AC=6,求AD的长， 第10题图 11.如图，已知△ABC的三边分别为3cm,4cm,5cm,设△ABC的内心为点O,外 心为点D. (1)请你画出三角形的内切圆和外接圆，然后观察总结△ABC的内心和外心的位置. (2)依据上述条件，能求△ABC内切圆的半径吗？若能，那么半径是多少？若不能，请 说明理由. (3)试求出△ABC内心与外心的距离. 第11题图 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,点D为AB的中点，过点D作BC的垂 线，垂足为F,过点A,C,D作⊙O交BC于点E,连接CD,DE. (1)求证：DF为⊙O的切线， 0. (2)若AC=3,BC=9,求DE的长. 第12题图 0 圆第三章 13.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F 在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF (1)求证：BF是⊙O的切线， (2）若O0的直径为3，sin∠CBY5,求BC和BF的长. 第13题图 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O,D分别为AB,BC的中点，作⊙0与AC相切 于点E,在AC边上取一点F,使DF=DO. (1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由. (2)若∠A=30°，CF=V2,求⊙0的半径， 第14题图 中考链接©真题演练 15.(2025山东)如图，在△OAB中，点A在⊙0上，边OB交⊙0于点C,AD⊥OB 于点D,AC是∠BAD的平分线： (1)求证：AB为⊙0的切线 (2)若⊙0的半径为2，∠A0B=45°，求CB的长 第15题图 ⑦ 口数学 九年级下册（北师大版） 16.(2025·资阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，∠BAC的平分线 交⊙O于点D,过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若∠BAC=60°，CE=V3,求⊙0的半径. 0 第16题图 17.(2025·广安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径，点E在BC的延长 线上，连接AE,∠ABE=∠CAE. (1)求证：AE是⊙0的切线， (2)过点C作CD⊥AE,垂足为D,若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE=12, 求AE的长. 第17题图 18.(2025·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为直径 的⊙O交BC于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点，ME=MD. (1)求证：ME是⊙O的切线. (2)若Cf=3,sin∠DCF号，求0M的长. DM B 第18题图 88