专题04 弧长和扇形面积（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04弧长和扇形面积 内容概览 目常考题型精准突破 考点一弧长 题型1求弧长（重） 题型2求扇形半径（高频） 题型3求圆心角（高频） 题型4求某地的弧形运动路径长度（难） 考点二扇形面积 题型1求扇形面积（重） 题型2求图形旋转后扫过的面积（难） 题型3求号形面积（高频） 题型4求其他不规则图形的面积（难） 考点三圆锥 题型1求圆锥侧面积（重） 题型2求圆锥底面半径（高频） 题型3求圆锥的高（高频） 题型4求圆锥侧面积展开图的圆心角（高频） 题型5圆锥的实际问题（难） 题型6圆锥侧面上最短路径问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一弧长●一 ◆题型1求弧长 1.C 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40,40π 2.3π 3 3.元 ◆题型2求扇形半径 4.B 5.3v2 6（2+g) ◆题型3求圆心角 7.C 8.240° 9.180 ◆题型4求某地的弧形运动路径长度 10.B 83 11.25π 12.12π ●考点二扇形面积●一 ◆题型1求扇形面积 13.C π 14.2 15.25πcm2 ◆题型2求图形旋转后扫过的面积 16.B 0 17.4π 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 【答案】(1) △AB,C如图所示： B (2)解：由题意得，AB=3, 90元×329元 边AB扫过的图形面积 360 41 ◆题型3求弓形面积 19.B 55 20.4π-2 π-2N3 21.3 ◆题型4求其他不规则图形的面积 22.B 9,9π 23.2+4 24. 【答案】(I)正方形CDEF的边长为1 a 【详解】(1)解：连接OF,如图 A D ..OF=OA=5. 设正方形CDEF的边长为x,有∠OEF=∠EDC=9O°，EF=DE=CD=x, 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CD0=90°， .∠A0B=45°， ∴aOCD为等腰直角三角形，且CD=OD=x, .OE=OD+DE =2x .OE2+EF2=OF2, (2x3+x2=（5) 解得x=1或-1（不符合题意，舍去）， ∴.正方形CDEF的边长为1； (2)解：由(1)，得0D=CD=1,∠0DC=90°， .mOD.CDCDM 45π×(55 360 ， 2· 一●考点三圆锥· ◆题型1求圆锥侧面积 25.12π 26.300π 27.3π ◆题型2求圆锥底面半径 28.1 √2 29.8m 30.20 ◆题型3求圆锥的高 31.214 32.4V2 33.25 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4求圆锥侧面积展开图的圆心角 34.90°190度 35.180°/180度 36.200° ◆题型5圆锥的实际问题 37.24 38.30 39.3.8465cm3 ◆题型6圆锥侧面上最短路径问题 40. 5v5 2-cm 41. 【答案】8V5cm 【详解】解：AB=8cm, ∴.r=4cm ×2rx1=nm2 1 360 360r360×4 ∴.n= =180 1 8 ∴.将圆锥侧面展开后得到圆心角为180°的扇形，如下图所示： B P 由图可知，∠APC=)x180=90 .PA'=PB=8cm 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PC=PB=4cm 在RUAAPC中，由勾股定理，得ArC=VPA+PC=V⑧2+4=4V5(cm). .彩带长度的最小值为2AC=8vV5cm 42 【答案】(1)相等： (2)n= 360r R (3)6N5cm 【详解】(1)解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面 周长相等， 故答案为：相等. (2)解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：2r=nrR 360r 180, 即：n= R· (3)解：如图： B 0 B ..AB =6cm,R=6cm, 1 .'.r=AB=3cm, 2 ..n 360×3=180, 6 ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， &Ac=3x180=90, PA=PB=6,C是PB中点， :.PC=2 B=3cm, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴在RtaA'PC中，A'C=VPA+PC2=V6+32=3V5cm, ∴彩带长度的最小值为6V5cm 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 二、填空题 6.3v2 7.9 8.40π 9.4V3-2π 10. 3V52元 23 三、解答题 11. 【答案】(I)证明：如图，连接AD. 0 的直径， E BDC:AB⊙O ∴.∠ADB=90° .AD⊥BC 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AB=AC, ..BD=CD 【详解】(1)解：略 (2)解：如图，连接OE. 为 的直径， E B D C AB ⊙0 .∠AEB=90° AB=4,∠BAC=30°， ∴.OA=OB=OE=2.∠ABE=60°，∠AOE=120° 在R△BB中，E=方AB=2, :AE=VAB2-BE2=V42-22=2√5. ·S影=S△O+S偏形AOE =2Sas+aEa x25×2x2+120mx2 2 2 360 3+4红 3 即阴影部分的面积为V5+4红 3· 12. 【答案】（①）答案见解析 (2)①4π：②2 【详解】(1)解：如下图， 8/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 0 分别以A、B为圆心，以大于2AB的长度为半径画弧，两弧交于点B,连接OB,射线OE与AB交于点 C,点C即为所求： (2)①设扇形OAB的半径为R,则OC=OA=OB=R, :CD=3, ∴OD=R-3, C是AB的中点， .OC⊥AB .∠AOB=120°， 1 ∠A0D=2∠A0B=60°， 在RIAAOD中， cos60°=0D 1R-3 40, 即2=R 解得：R=6, 120π×6 .lo= 180 ②设圆锥底面半径为”， 2πr=4π， r=2, ∴圆锥的底面半径是2. 13 【答案】(1)6V2cm (203 πcm3；②2cm 【详解】(1)解：如图，连接BC, 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 δ .∠BAC=90° ∴.BC为直径，则BC=12cm, 在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的90°扇形， .AB=AC,则∠ACB=∠ABC=45°， 在RIAABC中，sim∠ABC=sim45°=4C-V2 BC2 :AC-Bc-6/(cm). 2 ∴扇形ABC的半径为6V2cm: (2)解：①设圆锥的高为h,母线为R,底面半径为r, .∠D0E=60°，R=6cm, :7,=60x6×=2π(cm》 180 :C底圆=2m=2π(cm). .'.r=Icm, h=VR2-r2=V62-=35(cm), 1 =,h=x1xV35x元=3πcm: 3 ②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I,J, :⊙F与扇形两边相切于L,J,OG=6cm, .O1=OJ,IF=JF,∠OIF=∠0F=90°， .△OIF≌aOJF(SAS). ∴2F01=5401=5x60=30. 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设⊙F半径为xcm,则OF=(6-x)cm :sin∠Fo1=sin30°=1=F 2 OF x I 6-x2' 解得x=2,检验，当x=2时，原分式方程有意义， .⊙F的半径为2cm. 14. 【答案】(1)证明：，AB是直径， ∴.∠ACB=∠BDA=90° .∠DAB=∠CBA, ∴.AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， AC=BD 在Rt△CAB和RIDBA中，AB=BA? ∴.△CAB≌△DBA(HL)； @+4 3)03 ③4 3π 【详解】(1)略 (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H, B 0 半圆O中，直径AB=8, ∴.0A=OD=4. .∠DAB=15°， ∠AD0=15° .∠DOB=∠DAB+∠ADO=30° :DH=20D=2,5aaw-30 30元×424 3, 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :Sm=)0AxDH=)×4x2=4, 2 4 ·.S影分=S0形08+S40n= 4元+4： (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. D B 图2 直径AB=8,弦CD=4, .'.OC=OD=CD=4. ∴.△COD是等边三角形， M是CD的中点， .CM-CD-2.OM CD ∴.OM=VOC2-CM2=25, .ME =VOM2-OE2=12-0E2, .当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. D M (cL 、 0 图3 :△COD是等边三角形，M是CD的中点， .∠MOC=-30°」 :ME=OM=5,即点M到AB的距离的最小值是v5: ②如图4. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C M M (C) O B 图4 由①知，0M=23, ∴.M的轨迹是以O为圆心，2W3为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30°」 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， .∠M0M'=180°-30°-30°=120° 120π×23_43 :点M的运动路径长为180 3π 13/13 专题04 弧长和扇形面积 常考题型·精准突破 考点一 弧长 题型1 求弧长（重） 题型2 求扇形半径（高频） 题型3 求圆心角（高频） 题型4 求某地的弧形运动路径长度（难） 考点二 扇形面积 题型1 求扇形面积（重） 题型2 求图形旋转后扫过的面积（难） 题型3 求弓形面积（高频） 题型4 求其他不规则图形的面积（难） 考点三 圆锥 题型1 求圆锥侧面积（重） 题型2 求圆锥底面半径（高频） 题型3 求圆锥的高（高频） 题型4 求圆锥侧面积展开图的圆心角（高频） 题型5 圆锥的实际问题（难） 题型6 圆锥侧面上最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 弧长 ◆题型1 求弧长 1．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 2．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 3．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． ◆题型2 求扇形半径 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 6．（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式求得该邮票的“下圆弧”的半径，再利用弧长公式求得该邮票的“上圆弧”的长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得：， ∴该邮票的“上圆弧”的半径为， 则该邮票的“上圆弧”的长为， ∴单枚邮票的周长为：． ◆题型3 求圆心角 7．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 8．（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 9．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． ◆题型4 求某地的弧形运动路径长度 10．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 11．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 12．（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 考点二 扇形面积 ◆题型1 求扇形面积 13．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 扇形的面积为． 15．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． ◆题型2 求图形旋转后扫过的面积 16．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 17．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意可以求得和的长，再根据旋转的性质即可求得扫过的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴扫过的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，求图形旋转后扫过的面积，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C的对应点的位置，再与点A顺次连接即可； （2）利用网格求出的长度，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， 边扫过的图形面积=． ◆题型3 求弓形面积 19．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 20．（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． ◆题型4 求其他不规则图形的面积 22．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 23．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． 考点三 圆锥 ◆题型1 求圆锥侧面积 25．（2026·宁夏吴忠·三模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于围成圆锥侧面的扇形的面积，利用扇形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：由题意可知，圆锥的侧面积等于圆心角为，半径为的扇形的面积． 根据扇形面积公式，将，代入得： ． 26．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 27．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则此圆锥的全面积为___________ 【答案】 【分析】先利用三角函数计算出底面半径，再利用勾股定理或三角函数计算出母线长，最后根据圆锥全面积公式求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为 由题意可知，， 在中， ， ， 圆锥的侧面积，圆锥的底面积 圆锥的全面积． ◆题型2 求圆锥底面半径 28．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 29．（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 30．（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式 （其中 为底面半径， 为母线长），将已知母线长和侧面积代入公式建立方程，解方程即可求出底面半径． 【详解】解：设该圆锥形草帽底面圆的半径为 ． 根据圆锥侧面积公式，得． 方程两边同时除以，得． ◆题型3 求圆锥的高 31．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【分析】扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，再结合勾股定理，利用圆锥母线长等于扇形半径，计算得到圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ， 解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 32．（2026·山东潍坊·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 【答案】 【分析】设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出扇形半径，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长求出，最后根据勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为， 由题意得， 解得， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， ∴． 33．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． ◆题型4 求圆锥侧面积展开图的圆心角 34．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 35．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 36．（2026·云南昆明·二模）编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． ◆题型5 圆锥的实际问题 37．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 38．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 39．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 ◆题型6 圆锥侧面上最短路径问题 40．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 41．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 42．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 2．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 3．（2026·广西玉林·一模）如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 5．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 7．（25-26六年级下·上海闵行·期末）妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径是r， ∵半圆的半径是， ∴半圆形卡片弧长为 ， ∴圆锥底面周长 ， 解得 cm． 8．（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为 _______ m．（结果保留） 【答案】 【分析】首先根据摩天轮最高点高度和圆心高度求出圆的半径，然后过点作圆心所在水平线的垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出圆心角的一部分，结合点的位置求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设摩天轮的圆心为，半径为，由题意可知，最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴． 过点作水平线，过点B作于点C，如下图， ∵点B离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∵点为最低点， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为． 【点睛】圆的最低点与圆心的连线垂直于圆心所在的水平线，的圆心角所对的弧长为． 9．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，，，由翻折的性质进一步证明四边形为菱形．由切线的性质得，证明为等边三角形．由等边三角形的性质得出，由菱形的性质进一步得出，由直角三角形两个锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，根据，可得出阴影部分为，据此求解即可. 【详解】解：连接，，，如下图所示． 由翻折，可知，． 又∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∴． ∵是半圆O的切线， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴ ∴, ∴在中，， ∴，. ∵， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 12．（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 13．（2026·广东珠海·一模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接，由，得到为直径，，再根据，则，解直角三角形即可求解； （2）①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r，根据，求出，结合，求出，利用勾股定理求出，最后由圆锥的体积公式代入数据计算即可；②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J，利用切线的性质证明，求出，设半径为，则，根据，建立方程求解，并检验即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∴， ∴为直径，则， 在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的扇形， ∴，则， 在中，， ∴， ∴扇形的半径为； （2）解：①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J， ∵与扇形两边相切于I，J，， ∵， ∴， ∴， 设半径为，则， ∵， ∴， 解得，检验，当时，原分式方程有意义， ∴的半径为． 14．（2026·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 弧长和扇形面积 常考题型·精准突破 考点一 弧长 题型1 求弧长（重） 题型2 求扇形半径（高频） 题型3 求圆心角（高频） 题型4 求某地的弧形运动路径长度（难） 考点二 扇形面积 题型1 求扇形面积（重） 题型2 求图形旋转后扫过的面积（难） 题型3 求弓形面积（高频） 题型4 求其他不规则图形的面积（难） 考点三 圆锥 题型1 求圆锥侧面积（重） 题型2 求圆锥底面半径（高频） 题型3 求圆锥的高（高频） 题型4 求圆锥侧面积展开图的圆心角（高频） 题型5 圆锥的实际问题（难） 题型6 圆锥侧面上最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 弧长 ◆题型1 求弧长 1．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 3．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． ◆题型2 求扇形半径 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 6．（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） ◆题型3 求圆心角 7．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 9．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． ◆题型4 求某地的弧形运动路径长度 10．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 11．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 12．（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 考点二 扇形面积 ◆题型1 求扇形面积 13．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 14．（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 15．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． ◆题型2 求图形旋转后扫过的面积 16．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． ◆题型3 求弓形面积 19．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） ◆题型4 求其他不规则图形的面积 22．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 24．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 考点三 圆锥 ◆题型1 求圆锥侧面积 25．（2026·宁夏吴忠·三模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 26．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 27．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，则此圆锥的全面积为___________ ◆题型2 求圆锥底面半径 28．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 29．（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 30．（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． ◆题型3 求圆锥的高 31．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 32．（2026·山东潍坊·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 33．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． ◆题型4 求圆锥侧面积展开图的圆心角 34．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 35．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 36．（2026·云南昆明·二模）编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． ◆题型5 圆锥的实际问题 37．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 38．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 39．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． ◆题型6 圆锥侧面上最短路径问题 40．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 41．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 42．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·广西玉林·一模）如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 7．（25-26六年级下·上海闵行·期末）妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 8．（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为 _______ m．（结果保留） 9．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题 11．（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 12．（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 13．（2026·广东珠海·一模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 14．（2026·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $