专题16 圆周角定理的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16圆周角定理的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用圆周角定理求角 题型二、同弧或等弧所对的圆周角相等 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型四、90的圆周角所对的弦是直径 题型五、圆内接四边形综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ~题型特征：圆中求角度、证角相等或线段相等，常涉及同弧所对圆周角、直径所对直角及圆内接四边形。 解题方法：同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为90°；圆内接四边形对角互补；常连半径或弦 构造等腰或直角三角形。 -易错提醒：混淆圆心角与圆周角的倍半关系：忽略“同弧”前提；圆内接四边形外角等于内对角：弦所 对圆周角有两解（优弧与劣弧）。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔实解题根基 题型一、利用圆周角定理求角 典例1 (2026四川甘孜中考真题)如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A=28°，则∠0=度. 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：圆中同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，求角度或证明。 2方法：找同弧或等弧，利用圆周角定理得角相等：遇直径则连弦得90°直角，结合三角形内角和求解。 变式1-1(2026江苏镇江中考真题)如图，AB为半圆的直径，点0为圆心，点C,D在半圆上.已知 ∠BCD=40°，则∠BOD的度数为， B 变式1-2(2026陕西榆林模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0，连接0A、OB、OC,∠BOC=2LAOB, 若∠ACB=20°，则∠BAC的度数为 变式1-3(2026福建漳州模拟预测)如图，点A,B,C在⊙0上，BCI‖OA,连接B0并延长，交⊙0于 点D,连接AC,DC,若∠A=16°，则∠D的大小为一· 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、同弧或等孤所对的圆周角相等 典例2(26-27九年级上天津·期中)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=28°，则∠ACD的度数 为 题型模版 1.特征：圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，用于转移角度或证明角相等。 2方法：找出所对弧相同的圆周角，直接得角相等；结合三角形内角和或外角定理列方程求未知角。 变式2-1(26-27九年级上江苏南京·阶段检测)如图，△ABC内接于⊙0，BC是⊙0的直径，点P是AB 的中点，连接AP,若∠BAP=30°，BC=8,则AC的长为 B 变式2-2(2026湖南益阳二模)如图，A,B,C,D,E五点在O0上，连接EA,EB,EC,ED. 若孤=BC=D,∠ABB=21P,则∠ABD的度数是 B 变式2-3(2026山东淄博中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的点，∠ABC=58°，CD 平分∠ACO,DE⊥AB交OO于点E,垂足为F,则∠COE=°. 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 典例3(2026广西柳州二模)如图，AB为⊙0的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD,连接 DB并延长，交⊙O于点E,连接CE, B (I)求证：CE=CD: ②若1 所对圆心角的度数 08 求< 的度数。 题型模版 1特征：圆中遇到直径，则直径所对的圆周角为90°，常用于构造直角三角形。 2方法：连接直径端点与圆上点，得直角三角形，再用勾股定理或锐角三角函数列方程求解。 变式31(2026安徽阜阳二模)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，P为⊙0外一点，PC与⊙0 相切，且∠OBP=90°，连接OP,AC B (I)求证：OP∥AC: (2)若AB=6,BP=4,求AC的长， 变式3-2(2026安徽合肥：二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙0，与斜边AB交 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点E,点D是O0上一点，点E是D的中点，连接CE、BD、D,4B与CD的交点为F (I)求证：CA=CF: (2)若⊙0的半径是6，CF=9,求BF的长. 变式3-3(2026吉林长春·中考真题)【问题提出】如图①，以口ABCD的边AD为直径作O0.若⊙0经过 边BC的中点M,求证：AD=2DC, D B B 图① 图② 图③ 【问题解决】证明：如图②，连接OM :四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,AD=BC, ·M是BC的中点，O是4D的中点，oD=AD,CM=方BC.OD=CM 2 四边形D0MC是平行四边形.：DC=OM.点M在O0上，OM号D 2 :.DC=IAD 2 ·.·.AD=2DC· 【结论应用】 (I)在【问题提出】的条件下，若点B也在⊙O上，且AB=4,则口ABCD的面积为_； (②)如图③，以正方形ADEF的边AD为直径的圆经过口ABCD的边BC的中点M,连接FC.若AF=6,则 FC长度的最大值为_ 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 典例4(2026江西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是边AD上的动点， 连接BE,过点C作CF L BE于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 题型模版 1.特征：圆中若圆周角为90°，则它所对的弦是直径，常用于判断直径或构造直角。 2方法：由90°圆周角确定所对弦为直径，取其中点得圆心，再结合勾股定理或半径相等求解。 变式41(2026广西柳州·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在正方形ABCD内部，且满足 ∠AEB=90°，连接DE,取DE,CD的中点F,G,连接FG,则FG的最小值为一· D E G 变式42(2026河北石家庄·二模)如图，点P是边长为2的正方形ABCD内部一点，且∠APD=90°，点 E是BC边的中点，将线段DP以点D为中心逆时针旋转90°得到线段D0,连结QE，,CD,线段EQ长度 的最大值为， 变式43(2025~陕西西安模拟预测)如图，点E为正方形ABCD内部一点，∠AEB=90°，AB=10,点F 为EB边上一点，且AE=BF,连接DF、AF,则△ADF面积的最小值为一 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、圆内接四边形综合问题 典例5(26-27九年级上全国课后作业)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AC为直径，且 AC⊥BD,垂足为E. C D B E (1)若∠BAD=70°，求四边形ABCD其余各角的大小； (2)若AC=10,BD=8,求AE,CE的长. 题型模版 1.特征：四边形四个顶点在圆上，对角互补，外角等于内对角，常结合圆周角定理。 2方法：利用圆内接四边形对角互补列方程求角，或由外角等于内对角转移角度，结合相似或勾股求解。 变式5-1(25-26九年级下河北衡水开学考试)己知点A、B、C、D在⊙0上，BC是直径，AD∥BC, ∠ADC=120°，⊙0的半径为2. (I)求证：AC是∠BCD的平分线： 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求圆内接四边形ABCD的周长 变式5-2(25-26九年级上·河北秦皇岛·期末)课本第160页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的 一个性质，圆内接四边形的对角互补 0 图① 图② (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，己知点A,B,C,D在⊙O上，求证：∠BAD+∠BCD=180°： (O如图②.已知点AA:C,D在O0上，若∠B1D-∠BD,O0的半径为4.求0的长 变式53(25-26九年级上浙江温州阶段检测)四边形ABCD内接于圆O,AD为直径，连接BD,已知 AB=BD D O H 图1 图2 (I)求∠BCD的度数： (2)如图2，过点D作DE⊥AD交AB延长线于点E,连接CE ①求证：∠DBC=∠CDE, BC=22 CD=3 CE ②若 ,求的长 ◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，突玻思维上保 一、单选题 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)四边形ABCD内接于⊙0，若∠B=60°，则∠D=() A.60° B.90 C.120° D.150° 2.(2026云南中考真题)如图，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上.若∠ACB=26°，则∠A0B=() B A.10° B.26 C.40° D.52° 3.(2026吉林中考真题)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB是⊙0的直径，点P为边AC上不与点 A,C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() A.20° B.35° C.45° D.60° 4.(26-27九年级上湖北期中)如图，已知AB为半圆0的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=52°， 1 ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交边BM:BC于点D:E:②分别以D,E为圆心，大于2DE 长为半径作弧，两弧交于点P;③作射线BP,则∠ABP=() D A.19° B.22 C.24° D.26° (2026河北石家庄·二模)如图， Rt△ABC 5. 中，∠ACB=0,4C=25.BC=3.点P为AMB 内一 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，且满足PA+PC2=AC2.当PB的长度最小时，则CP的长是() B 3 3V5 A.1 B.2 C.5 D.2 二、填空题 6.(2026甘肃平凉·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB、OC,∠D=1I0°，∠BOC=120° 则∠ABO的度数为 D 7.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，已知点A、B、C、D、E在⊙0上，若 ∠B+∠ADC=160°，则∠ADE的度数为 C D E 8. (2026海南三亚·模拟预测)以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图的方式摆放，量角器的 刻度线与斜边4B重合.点D为斜边1B上一点，作射线CD交B于点B,如哭点E所对应的读数为50、 E 50° 那么∠BCD= 度 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 9.(2026江苏南通·二模)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲 为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙O的直径为25寸，矩形ABCD内接于 ⊙0，若AB=7寸，则BC=寸. D 10.(2026:贵州遵义·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一个动点，BF⊥AE于点 G,交CD于点F,连接CG,当CG取得最小值时，CF的长度为 D F G B E 三、解答题 11.(26-27九年级上·北京课堂例题)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE 的交点，AD的延长线交⊙O于G. D (I)试说明：HD=DG (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积. 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(2026山东济宁·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在 BD的延长线上，且DF=DC,连接AF、CF. D B (I)求证：∠BAC=2∠DAC: (②若F=10.BC=4W ,求线段ME的长。 13.(25-26九年级上·宁夏固原期中)【初步感知】如图1，点本B,P均在⊙0上，若∠A0B=90°，则 锐角∠APB的大小为， E 图1 图2 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：⊙0是等边△ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点4C重合）， 连接PA,PB,PC,求证：PB=PA+PC;小聪发现，延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明 △PBC≌△EBA,可推得△PBE是等边三角形，进而得证.请根据小聪的分析思路完成证明过程。 14.(22-23九年级上浙江宁波阶段检测)已知CD是⊙0的直径，点A、点B是⊙0上的两个点，连接 OA,OB,点E,点F分别是半径OA,OB的中点，连接DE,DF,AC,且∠BOD=2∠ACD 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H G F E B B D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠OED=∠OFD, (②)如图2，延长DE交AC于点G,若DE⊥OA,求证：GC=DG: 如图3，在(2)的条件下，点H是4C上一点，连接MH,B册，CH,OG,若4H:CH=3: BH=8,求OG的长， 15.(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如图，△ACD内接于⊙0，AC=AD,AB为⊙0的直径， AB交CD于点E. D D D E B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AB平分∠CAD (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2LBFD,求证：DF=DA: (③)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 13/13 专题16 圆周角定理的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用圆周角定理求角 题型二、同弧或等弧所对的圆周角相等 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 题型五、圆内接四边形综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：圆中求角度、证角相等或线段相等，常涉及同弧所对圆周角、直径所对直角及圆内接四边形。 - 解题方法：同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为90°；圆内接四边形对角互补；常连半径或弦构造等腰或直角三角形。 - 易错提醒：混淆圆心角与圆周角的倍半关系；忽略“同弧”前提；圆内接四边形外角等于内对角；弦所对圆周角有两解（优弧与劣弧）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用圆周角定理求角 典例1 （2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 题型模版 1.特征：圆中同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，求角度或证明。 2.方法：找同弧或等弧，利用圆周角定理得角相等；遇直径则连弦得90°直角，结合三角形内角和求解。 变式1-1（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 变式1-2（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理，由的度数求出的度数，再结合已知条件求出的度数，最后再次利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵与分别是中所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∵ ∴， ∵与分别是中弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 变式1-3（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 【答案】/58度 【分析】由平行线的性质得，利用圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，求出，由圆周角定理得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 题型二、同弧或等弧所对的圆周角相等 典例2 （26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，用于转移角度或证明角相等。 2.方法：找出所对弧相同的圆周角，直接得角相等；结合三角形内角和或外角定理列方程求未知角。 变式2-1（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 变式2-2（2026·湖南益阳·二模）如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 变式2-3（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 典例3 （2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 题型模版 1.特征：圆中遇到直径，则直径所对的圆周角为90°，常用于构造直角三角形。 2.方法：连接直径端点与圆上点，得直角三角形，再用勾股定理或锐角三角函数列方程求解。 变式3-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，为上一点，为外一点，与相切，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证，从而利用“”可证，则，最后根据等边对等角和外角的性质，可证，利用平行线的判定即可求证； （2）连接，，根据勾股定理，易得，根据等面积法，易求，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 与相切， ，即， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，， ， ， ，，， ， ， ， 又∵， 垂直平分， 设与交于点，则， ， ， 是的直径， ， 在中，． 变式3-2（2026·安徽合肥·二模）如图，在Rt中，，以为直径作，与斜边交于点，点是上一点，点是的中点，连接、、，与的交点为． (1)求证：； (2)若的半径是6，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，根据证明，即可得到结论； （2）在Rt中，，，，由等腰三角形三线合一得：，即可得到答案． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， 又是的直径， ， ， 又， ， 又， ， ； （2）解：是的直径， ， ， 由（1）得：． 的半径是6， ， 在Rt中，， ，． 由等腰三角形三线合一得：， ． 变式3-3（2026·吉林长春·中考真题）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，∴，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ； (2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中已知结论可得，由圆周角定理得，由勾股定理计算出，最后利用平行四边形面积公式求解； （2）由题干中已知结论可得，推出，进而可得点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，根据圆外一点到圆上一点的距离，可得当点C在线段的延长线上时，长度取最大值． 【详解】（1）解：如图，连接， 中， ， 由题干中已知结论可得， ， 点也在上， ， ， 的面积； （2）解：正方形中， ，， 由题干中已知结论可得， ， 点C在以点D为圆心，3为半径的圆上， 当点C在线段的延长线上时，长度取最大值，如图： 此时． 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 典例4 （2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 题型模版 1.特征：圆中若圆周角为90°，则它所对的弦是直径，常用于判断直径或构造直角。 2.方法：由90°圆周角确定所对弦为直径，取其中点得圆心，再结合勾股定理或半径相等求解。 变式4-1（2026·广西柳州·二模）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】由，可知点E的运动轨迹在以为直径的圆上，是的中位线，求的最小值，也就是求的最小值，当点、、，三点共线的时候，最小，结合勾股定理，即可求出，进而求出的最小值． 【详解】解：， 点E的运动轨迹在以为直径的圆上， 以为直径作圆，圆心为，点为中点，连接、，如下图 是的中位线， ，求的最小值，也就是求的最小值， 当点、、，三点共线的时候，最小， 四边形是正方形， ，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， 即的最小值为． 变式4-2（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【分析】证明，可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接，则， ∴， ∵， ∴当点E，H，Q在同一直线上时，取得最大值，最大值为的长，即． 变式4-3（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点， ∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：， 此时， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 题型五、圆内接四边形综合问题 典例5 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】(1)利用圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角即可得到答案； (2)利用垂径定理、勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ； （2）解：连结， 是直径，， ， 直径， ， 在直角中，由勾股定理可得： ， ， ． 题型模版 1.特征：四边形四个顶点在圆上，对角互补，外角等于内对角，常结合圆周角定理。 2.方法：利用圆内接四边形对角互补列方程求角，或由外角等于内对角转移角度，结合相似或勾股求解。 变式5-1（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 变式5-2（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 变式5-3（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②5 【分析】本题考查了勾股定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形和圆周角定理的推论，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的性质，再根据圆内接四边形的性质解答即可； （2）①先得到是等腰直角三角形，即可得到，进而根据角的转换求证即可；②将绕着点B按顺时针方向旋转得到，即可得到，即可求出，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴； （2）①略 ②解：将绕着点B按顺时针方向旋转得到， 则， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 3．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 4．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，可推出，最后根据所画射线为的角平分线可求得答案． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分， ∴． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 二、填空题 6．（2026·甘肃平凉·二模）如图，四边形内接于，连接、，，，则的度数为_________． 【答案】40 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，等边对等角，以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵四边形内接于，，， ∴，， ∴， ∴. 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 8．（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 9．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 10．（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，于点G，交于点F，连接．当取得最小值时，的长度为_________． 【答案】 【分析】根据得是不会随着点的运动改变的，所以点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，即可求出的最小值，进而证明，即可求解． 【详解】解： 如图，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∴G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，记与圆弧的交点为， ∴当O、G、C在同一条直线上时，取最小值（图中的）， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 如图所示，连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即当取得最小值时，的长度为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 12．（2026·山东济宁·二模）如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先证明，然后由三角形内角和定理得到，再由互余关系得到，即可证明； （2）先证明，继而得到是线段的中垂线，．设，即可由勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴， 又， 设， 由，得， 解得， ∴． 13．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）【初步感知】如图，点均在上，若，则锐角的大小为_________； 【深入探究】 如图，小聪遇到这样一个问题：是等边的外接圆，点在弧上（点不与点重合），连接．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【答案】初步感知：； 深入探究：证明：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】初步感知：根据圆周角定理即可求解； 深入探究：延长至点，使，连接，由等边三角形的性质和圆周角定理得，，，再证明，得到，即得是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：； 深入探究： 略 14．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知是的直径，点、点是上的两个点，连接，，点，点分别是半径，的中点，连接，，，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点是上一点，连接，，，，若，，求的长． 【答案】(1)证明：，点，点分别是半径，的中点， ， ，， ， ， ， ； (2)证明：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）证明，即可求解； （2）证明，则，即可证明； （3）连接，过点作于，在上截取，连接，证明，从而得到是等边三角形，设，，由，求出，在中，，在中，，再推导出，，从而得到，即可求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于，在上截取，连接， ， ， ， 、关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $