专题05 线段、角（对角线）的计数与等量代换模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级上册

专题05. 线段（角）的计数与线段（角）的等量代换模型 等量代换是几何证明最基础的推理工具，后续所有三角形、全等、倒角模型都依赖等量代换思想。等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 计数模型考察有序思维，线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段与角度的等量代换模型 2 模型2.线段与角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 10 模型4.多边形的对角线条数计数模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 25 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”、“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ 1）线段、射线、直线定义；线段中点定义； 2）角、角平分线定义；角的和差； 3）等式基本性质：等式两边同时加 / 减同一个量，等式仍成立； 4）几何符号书写。 常结合考点：线段中点、角平分线模型（最高频）；线段/角度动态动点问题；双（多）角平分线模型；分类讨论（点在线段上/延长线上；射线在角内部/外部）。 模型1.线段与角度的等量代换模型 【模型提炼与证明】 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：（人教版、苏科版、浙教版、沪科版） ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，若，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，即；故答案为：． 【典例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴，故选：B． 【典例3】（25-26七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______；(2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）①∵，，即：， ②，且，∴， （2）如图所示， 设每份为x,则， 是的中点，点Q是的中点，， 又，，解得，，． 【典例4】（25-26广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即．故选：C． 【典例5】（25-26云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ）    A．30° B．80° C．40° D．45° 【答案】C 【详解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−90°=50°， ∴∠COD=∠BOD−∠BOC=90°−50°=40°，故选：C． 【典例6】（25-26七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（              ）． （              ）． ，（              ）． （垂直定义） （             ）． 即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 【答案】已知；角平分线的定义；已知；90；等式的基本性质；；角的和差的定义；；；角平分线的定义 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）．（垂直定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等），（等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 模型2.线段与角的计数模型 【模型提炼与证明】 1）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 2）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【详解】解：∵总站点数包括A、B和3个中间站，共5个站点．∴线段总条数为， ∵往返行车需两种车票，∴车票种类为．故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 【典例3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办“校长杯”足球赛，七年级有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他本年级各队比赛一场且只比赛一场），则七年级一共要安排多少场比赛？ 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图，在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来． 甲组同学认为：由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校七年级一共要安排10场比赛． 乙组同学认为：从A点出发，可以和其他4个点连成4条线段，从B点出发不能再和A点连成新线段，所以从B点出发还能连成3条新的线段，以此类推，C点能连2条新线段，D点能连1条新线段，所以该校七年级一共要安排场比赛． 根据以上材料解决以下问题： （1）八年级有6支足球队进行单循环比赛，请仿照材料图画出相应的图形，由此可知八年级一共要安排______场比赛． （2）根据以上规律可知：______ 实际应用：（3）往返于深圳北和上海南的列车，中途经东莞南、赣州西、南昌东、景德镇北、黄山南和杭州西6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票？请你求出来． 拓展提高：（4）请计算： 【答案】（1）如图所示，15（2）（3）56（4） 【详解】解：（1）八年级一共要安排的比赛有场，故答案为：15； （2），故答案为：； （3）根据题意得，要准备的车票种类为（种），所以，要准备56种车票； （4）． 【典例4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 【答案】B 【详解】解：在内画条射线时，图中共有条射线， 内部射线数 总射线条数 代入公式计算 实际角的个数 1 条 3 条 3 个 2 条 4 条 6 个 3 条 5 条 10 个 ……∴角的个数为，当时，．故选：． 【典例5】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角，故答案为：． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 【模型提炼与证明】 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是，故选：A． 【典例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：由题意可得：3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即，… ∴条直线两两相交最多能有个交点．故选：D． 【典例3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？ 为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用． 探究一：当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分 探究二：当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分， 探究三：当在平面内画2条直线，该平面最多被分成4部分， 探究四：当在平面内画3条直线，该平面最多被分成7部分， 问题：一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（    ）块    A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】解：1条直线时，平面最多被分为部分； 2条直线时，平面最多被分为部分； 3条直线时，平面最多被分为部分； 4条直线时，平面最多被分为部分； 5条直线时，平面最多被分为部分 ∴n条直线时：平面最多可分为： （部分）， ∴一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（块）， 故选：B． 【典例4】（25-26七年级上·湖南怀化·阶段检测）一条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，则4条直线最多将平面分成______个部分，n条直线将平面最多分成______个部分． 【答案】 11 【详解】解：1条直线将平面分为个部分， 2条直线最多可将平面分为个部分， 3条直线最多可将平面分为个部分， 4条直线最多可将平面分为个部分， 故条直线最多可将平面分为个部分，故答案为： ，． 模型4.多边形的对角线条数计数模型 【模型提炼与证明】 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·重庆·期中）连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 【答案】D 【详解】四边形的对角线有（条）； 五边形的对角线有（条）； 六边形的对角线有（条）， 可知十边形的对角线有（条）．故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 【答案】(1)(2)(3)54 【详解】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为； （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次，边形所有对角线的条数为； （3）解：将代入，得：，∴十二边形的对角线的条数为54． 【典例3】（25-26七年级上·江西新余·阶段检测）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题：(1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8(2)，，(3)不存在这样的多边形 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数），依题意，得，解得， ∵，且m为整数，∴不符合题意．答：不存在这样的多边形． 模型常见易错点 1）计数直接套公式，忽略前提 错误：随便拿几个不共线的点，直接用公式算线段。 解决方案：先判断：点是否共线，射线是否共顶点，不满足只能枚举。 2）数线段/角，想到哪个数哪个，出现重复、漏数 解决方案：固定起点有序数，从左到右依次枚举，数完标记，不回头。 3）等量代换写步骤，只写结果，缺少几何依据 错误：直接写AC=BD，不写等式性质，考试扣分。 解决方案：每一步推理标注依据（等式性质/ 等量代换），七年级几何必考书写规范。 4）忽略分类讨论，点在延长线上/射线在角外部 例：点C在AB延长线上，线段和差关系变为AC=AB+BC，学生仍套用线段内部公式。 解决方案：看到无图几何题，先画图，分情况讨论。 5）混淆线段计数与射线计数，射线无此公式，射线数量直接数，不能套 解题方法总结 线段 / 角计数解题步骤 1）观察：判断是否【点共线 / 射线共顶点】； 2）数总个数：数点的数量n / 射线数量n； 3）代入公式：总数=；不能套公式就有序枚举； 4）检验：重新枚举核对，防止漏数。 等量代换（线段 / 角度）解题步骤 1）找已知相等量（线段相等 / 角相等）； 2）找公共部分（公共线段 / 公共角）； 3）判断：是同时加公共部分，还是同时减公共部分； 5）列式变形，写出结论； 6）标注推理依据（等式性质 / 等量代换）。 1.（24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C 2.（25-26北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，即．故选：B． 3.（25-26重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ∴即，所以A正确； ∵∴，所以D正确； ∴即，所以B正确．故选C． 4.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【详解】解：由题意可得：3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即，5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即，… ∴10条直线两两相交最多能有．故选：C． 5．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）乘火车从站出发，沿途经过个车站方可到达站，那么在包含，两站在内的所有车站之间需要安排不同的车票______种． 【答案】 【详解】解：从站出发，途经个车站到站，总共有个车站，标记为（，，，，，），由于“到”和“到”是不同的车票， 故每个站都可以到剩下的个站，每个站对应种车票， 可得总车票数为：个站每个站种车票种．故答案为：． 6．（25-26七年级上·山西临汾·期末）高铁出行已经成为大众的首选，从临汾西到太原南的次列车途经洪洞西-灵石东-平遥古城，为方便乘客出行，高铁站需为这段线路设计____________种不同的单程车票． 【答案】 【详解】解：列车从临汾西到太原南，途经洪洞西、灵石东、平遥古城，共5个车站．对于单程车票，每两个车站之间需要一种车票，且方向固定，因此车票种类数为种． 故答案为． 7.（25-26七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)18.2 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求， （2）解：，，；故答案为：； （3）解：，，， ，，故答案为：18.2． 8.（24-25七年级上·江苏·专题练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知），所以 （　        　） 因为平分（已知），所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 【答案】见解析 【详解】解：理由：因为直线，相交于点（已知）， 所以 （对顶角相等） 因为平分（已知）， 所以（平分线的定义） 所以 （等量代换） 因为 （平角的定义） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以（垂直的定义） 因为（两角差的定义） 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，，垂直的定义，两角差的定义，等量代换． 1.（25-26广东·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有．故选A． 2.（25-26七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 【答案】46 【详解】解：1条直线把一个平面分成个部分， 2条直线把一个平面最多分成个部分， 3条直线把一个平面最多分成个部分，……， 以此类推，n条直线把一个平面最多分成个部分， ∴9条直线把一个平面最多分成个部分，故答案为：46． 3．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）5个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么5个人共握多少次手？10个人呢？n个人呢？ 【答案】5个人共握10次手；10个人共握45次手；n个人共握次手． 【详解】解：5个人聚会，共握了次； 10个人聚会，共握了次；n个人聚会，共握了次． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读下表： 线段上的点数（包括两点） 图形 线段总条数 3 4 5 6 【探究与发现】（1）在表中空白处画出图形，并写出线段总条数； 【拓展与应用】（2）如图，在平面内，从点引出10条射线（其中任意两条都不共线），求图中共有多少个小于平角的角． 【答案】（1）如图即为所求： （2）在平面内，从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中共有个小于平角的角． 【详解】（1）解：由表中数据可得，线段总条数与线段上的点数（包括两点）的关系为（），∴当时，．线段总条数为． （2）解：从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中小于平角的角的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，． ∴在平面内，从点引出条射线（其中任意两条都不共线），图中共有个小于平角的角． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）【构建模型】如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外4个点都可连成一条线段，按照这样的思路计算，一共应该连成条线段，但我们发现每条线段都被计算了两次，所以实际只有条线段． 【模型应用】(1)若某次足球比赛有7支球队进行单循环比赛（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场），所以，此次单循环比赛一共有______场； (2)某次夏令营的“破冰活动”中，老师为了让全体营员互相认识，请30位营员每两个人都相互握一次手，则全体营员一共握手______次； (3)计算：______； (4)计算：______． 【答案】(1)21(2)435(3)(4)39800 【详解】（1）解：7支足球队，任何一支球队都要分别与其他6支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：21； （2）解：30位营员每两个人都相互握一次手，则全体营员一共握手次；故答案为：435； （3）解：设，则， ∴，∴，即，故答案为：； （4）解：． 故答案为：39800 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二：（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 【答案】活动一：特例研究：第四种情况如图所示： 类比发现：补全表格如图， 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 3 6 10 … 猜想分析：45； 活动二：（1），； （2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；． 【详解】解：特例研究：略 类比发现：由题意得，2条直线最多只有1个交点， 3条直线最多有个交点，4条直线最多有个交点， 以此类推可知，5条直线最多有个交点， 猜想分析：由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点， 10条直线最多有个交点，故答案为：45； 活动二：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是， 右边还剩根手指，即个位是，∴，故答案为：，； （2）根据材料可发现与（1）思路基本一致， 设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒， 因此规律为：故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒：． 7.（25-26·重庆·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 【答案】(1)①，②(2)他们一共通了2850次电话 【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），故答案为：，． （2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和， 则，答：他们一共通了2850次电话． 1.（2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为________． 【答案】27 【详解】解：若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形， 则这个多边形的边数为，所以该多边形的总对角线条数为＝27（条），故答案为：27． 3.（2026·湖北孝感·校考一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． 4.（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）． （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 5.（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 6．（2026·安徽宿州·一模）综合与实践 【项目主题】n个四边形最多可以把平面分成多少个区域？ 【项目探究】为了探究规律，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 【预备知识】设，则． 【探究一】条直线最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1条直线 如图1-1，1条直线把平面分成2个区域； 2个区域 2条直线 如图1-2，要使分成的区域尽可能的最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域； （个）区域 3条直线 如图1-3，将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，这样就多了（个）区域，所以3条直线最多将平面分成7个区域； （个）区域 4条直线 如图1-4，平面中有4条直线时，将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和2（条）线段，这样就多了（个）区域，所以4条直线最多将平面分成11个区域； （个）区域 5条直线 如图1-5，…… 最多有①_______、_个区域 (1)最多有①___________个区域 【结论归纳】(2)条直线最多可以把平面分成②___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究二】个圆最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1个圆 如图2-1，1个圆将平面分成2个区域； 2个区域 2个圆 如图2-2，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2个区域，从而增加2个区域，所以用2个圆最多能把平面分成4个区域； （个）区域 3个圆 如图2-3，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（个）区域，从而增加4个区域，所以用3个圆最多能把平面分成8个区域； （个）区域 4个圆 如图2-4，…… 最多共有③________个区域 (3)最多共有③________个区域 【结论归纳】(4)个圆最多可以把平面分成④___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【详解】（1）解：由条直线，个区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域；故答案为：； （2）解：条直线最多可以把平面分成 （个），故答案为：； （3）解：由个圆，（个）区域； 个圆，（个）区域； 个圆，（个）区域； ∴个圆，（个）区域；故答案为：； （4）解：个圆最多可以把平面分成 （个）区域， 故答案为：； 7．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)如图，(2)，(3)场 【详解】（1）略 （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05. 线段（角）的计数与线段（角）的等量代换模型 等量代换是几何证明最基础的推理工具，后续所有三角形、全等、倒角模型都依赖等量代换思想。等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 计数模型考察有序思维，线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段与角度的等量代换模型 2 模型2.线段与角度的计数模型 6 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 10 模型4.多边形的对角线条数计数模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 25 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”、“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ 1）线段、射线、直线定义；线段中点定义； 2）角、角平分线定义；角的和差； 3）等式基本性质：等式两边同时加 / 减同一个量，等式仍成立； 4）几何符号书写。 常结合考点：线段中点、角平分线模型（最高频）；线段/角度动态动点问题；双（多）角平分线模型；分类讨论（点在线段上/延长线上；射线在角内部/外部）。 模型1.线段与角度的等量代换模型 【模型提炼与证明】 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：（人教版、苏科版、浙教版、沪科版） ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，若，则与的大小关系为 ． 【典例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例3】（25-26七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______；(2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【典例4】（25-26广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【典例5】（25-26云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ） A．30° B．80° C．40° D．45° 【典例6】（25-26七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（              ）． （              ）． ，（              ）． （垂直定义） （             ）． 即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 模型2.线段与角的计数模型 【模型提炼与证明】 1）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 2）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【典例2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【典例3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）学校体育节要举办“校长杯”足球赛，七年级有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他本年级各队比赛一场且只比赛一场），则七年级一共要安排多少场比赛？ 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图，在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来． 甲组同学认为：由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校七年级一共要安排10场比赛． 乙组同学认为：从A点出发，可以和其他4个点连成4条线段，从B点出发不能再和A点连成新线段，所以从B点出发还能连成3条新的线段，以此类推，C点能连2条新线段，D点能连1条新线段，所以该校七年级一共要安排场比赛． 根据以上材料解决以下问题： （1）八年级有6支足球队进行单循环比赛，请仿照材料图画出相应的图形，由此可知八年级一共要安排______场比赛． （2）根据以上规律可知：______ 实际应用：（3）往返于深圳北和上海南的列车，中途经东莞南、赣州西、南昌东、景德镇北、黄山南和杭州西6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票？请你求出来． 拓展提高：（4）请计算： 【典例4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 【典例5】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 【模型提炼与证明】 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【典例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？ 为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用． 探究一：当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分 探究二：当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分， 探究三：当在平面内画2条直线，该平面最多被分成4部分， 探究四：当在平面内画3条直线，该平面最多被分成7部分， 问题：一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数最多为（    ）块    A．28 B．29 C．30 D．31 【典例4】（25-26七年级上·湖南怀化·阶段检测）一条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，则4条直线最多将平面分成______个部分，n条直线将平面最多分成______个部分． 模型4.多边形的对角线条数计数模型 【模型提炼与证明】 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·重庆·期中）连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 【典例2】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 【典例3】（25-26七年级上·江西新余·阶段检测）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题：(1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 模型常见易错点 1）计数直接套公式，忽略前提 错误：随便拿几个不共线的点，直接用公式算线段。 解决方案：先判断：点是否共线，射线是否共顶点，不满足只能枚举。 2）数线段/角，想到哪个数哪个，出现重复、漏数 解决方案：固定起点有序数，从左到右依次枚举，数完标记，不回头。 3）等量代换写步骤，只写结果，缺少几何依据 错误：直接写AC=BD，不写等式性质，考试扣分。 解决方案：每一步推理标注依据（等式性质/ 等量代换），七年级几何必考书写规范。 4）忽略分类讨论，点在延长线上/射线在角外部 例：点C在AB延长线上，线段和差关系变为AC=AB+BC，学生仍套用线段内部公式。 解决方案：看到无图几何题，先画图，分情况讨论。 5）混淆线段计数与射线计数，射线无此公式，射线数量直接数，不能套 解题方法总结 线段 / 角计数解题步骤 1）观察：判断是否【点共线 / 射线共顶点】； 2）数总个数：数点的数量n / 射线数量n； 3）代入公式：总数=；不能套公式就有序枚举； 4）检验：重新枚举核对，防止漏数。 等量代换（线段 / 角度）解题步骤 1）找已知相等量（线段相等 / 角相等）； 2）找公共部分（公共线段 / 公共角）； 3）判断：是同时加公共部分，还是同时减公共部分； 5）列式变形，写出结论； 6）标注推理依据（等式性质 / 等量代换）。 1.（24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 2.（25-26北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 5．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）乘火车从站出发，沿途经过个车站方可到达站，那么在包含，两站在内的所有车站之间需要安排不同的车票______种． 6．（25-26七年级上·山西临汾·期末）高铁出行已经成为大众的首选，从临汾西到太原南的次列车途经洪洞西-灵石东-平遥古城，为方便乘客出行，高铁站需为这段线路设计____________种不同的单程车票． 7.（25-26七年级上·重庆綦江·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定点的位置；(2)比较线段的大小： （填“”、“”或“”）； (3)若，，求的长． 8.（24-25七年级上·江苏·专题练习）补充下面命题的说理过程，并在括号内填写依据． 如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，对，说明理由． 理由：因为直线，相交于点（已知），所以 （　        　） 因为平分（已知），所以（　          　） 所以 （　       　） 因为 （　        　） 所以（等量代换）． 因为（已知），所以 （　        　） 因为（　         　） 所以（　       　）． 1.（25-26广东·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级·江苏·培优）在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么9条直线把一个平面最多分成 个部分． 3．（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）5个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么5个人共握多少次手？10个人呢？n个人呢？ 4．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读下表： 线段上的点数（包括两点） 图形 线段总条数 3 4 5 6 【探究与发现】（1）在表中空白处画出图形，并写出线段总条数； 【拓展与应用】（2）如图，在平面内，从点引出10条射线（其中任意两条都不共线），求图中共有多少个小于平角的角． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）【构建模型】如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外4个点都可连成一条线段，按照这样的思路计算，一共应该连成条线段，但我们发现每条线段都被计算了两次，所以实际只有条线段． 【模型应用】(1)若某次足球比赛有7支球队进行单循环比赛（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场），所以，此次单循环比赛一共有______场； (2)某次夏令营的“破冰活动”中，老师为了让全体营员互相认识，请30位营员每两个人都相互握一次手，则全体营员一共握手______次； (3)计算：______； (4)计算：______． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二：（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 7.（25-26·重庆·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 1.（2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为________． 3.（2026·湖北孝感·校考一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 4.（24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）． （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ 5.（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 6．（2026·安徽宿州·一模）综合与实践 【项目主题】n个四边形最多可以把平面分成多少个区域？ 【项目探究】为了探究规律，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 【预备知识】设，则． 【探究一】条直线最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1条直线 如图1-1，1条直线把平面分成2个区域； 2个区域 2条直线 如图1-2，要使分成的区域尽可能的最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域； （个）区域 3条直线 如图1-3，将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，这样就多了（个）区域，所以3条直线最多将平面分成7个区域； （个）区域 4条直线 如图1-4，平面中有4条直线时，将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和2（条）线段，这样就多了（个）区域，所以4条直线最多将平面分成11个区域； （个）区域 5条直线 如图1-5，…… 最多有①_______、_个区域 (1)最多有①___________个区域 【结论归纳】(2)条直线最多可以把平面分成②___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究二】个圆最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1个圆 如图2-1，1个圆将平面分成2个区域； 2个区域 2个圆 如图2-2，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2个区域，从而增加2个区域，所以用2个圆最多能把平面分成4个区域； （个）区域 3个圆 如图2-3，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（个）区域，从而增加4个区域，所以用3个圆最多能把平面分成8个区域； （个）区域 4个圆 如图2-4，…… 最多共有③________个区域 (3)最多共有③________个区域 【结论归纳】(4)个圆最多可以把平面分成④___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 7．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $