专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学讲义以“数轴中的九类动态模型”为核心框架，通过思维导图梳理动态规律、中点等分点等模型脉络，用步骤模板呈现动点表示、距离计算等解题流程，清晰展现数形结合、分类讨论思想的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，A组基础题巩固模型应用，C组压轴题提升综合分析能力，如双动点匀速模型典例培养推理意识，折叠模型强化几何直观。解题模板和易错点总结帮助学生规范思路，教师可据此实施精准分层教学，助力不同层次学生提升动态问题解决能力。

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（25-26·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 【典例2】（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【典例3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【典例2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 【典例3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上有三个点A，B，C，它们表示的有理数分别为a，b，c．已知b，c互为相反数，且． (1) ， ， ．(2)若数轴上点D到点B的距离为2，则点D表示的数为 ． (3)点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点M的运动时间为t秒． ①当线段时，求点M的运动时间；②在点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，是否存在线段的情况？如果存在，请求出此时t的值；如果不存在，请说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【典例3】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【典例2】（25-26七年级上·山东·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江西南昌·期末）在数轴上，分别表示数，且． (1)直接写出的值是_____，的值是_____，线段的长度是_____； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为_____个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 【典例2】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点C，E都在直线上，C是线段的中点，E是线段的中点，． (1)当点D在线段上，且时，求和的长；(2)若P是直线上的动点，动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿的方向运动，运动时间为t秒： ①当动点P在运动过程中，M，N分别是线段和的中点，试用含t的代数式表示线段的长； ②当动点P在运动时，同时另一动点Q从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动，当Q到达A点时，速度变为原来的2倍，并掉头沿方向运动；再当Q到达B点时，点P立刻反向运动，速度保持不变，问在整个P，Q运动过程中，当t为何值时，线段的长度等于20． 【典例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）情境背景:我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为，A，B两点的距离是点A到原点O的距离的4倍，即．(1)在情境背景下，数轴上点B表示的数是 ．点C为数轴上的动点，当时．可知点C表示的数为 能力提升(2)动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度．①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足，点M在运动到点O的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，(1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，一个数的绝对值的几何意义是：数轴上表示数x的点到原点O的距离．这个结论可以推广为：对于任意两个数与，表示数轴上数与数对应点之间的距离．例如，如图1所示，点A表示的数是，点B表示的数是2，那么．这就表示点A与点B之间的距离为3个单位长度．请根据以上信息解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______个单位长度； (2)若，则x的值为______；(3)代数式的最小值为______； (4)如图2，点C和点D是数轴上的两点，C点表示的数是，D点表示的数是6．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，设运动时间为t秒．若的值在运动过程中始终保持不变，求m的值． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是，2，，有两条动线段和满足，，初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动．    (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段、同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接用等式表示m与n的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【典例3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上有三个点，分别表示数，有两条动线段和，点与点重合，点与点重合，且点总在点的左边，点总在点的左边，，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点运动返回到点时，线段立即同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)在整个运动过程中，求点和点重合时的值． (3)在整个运动过程中，当线段和重合部分长度为1时，请直接写出此时的值． 【典例2】（25-26七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，点A，点E表示的数分别为m，n，且满足．若．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点A表示的数为 ，点E表示的数为 ，点B表示的数为 ．(2)当时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形重叠部分的面积为S．则S的最大值为 ，持续的时间为 秒． 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【典例4】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）模型与应用 【数学模型】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，借助图直观地表示很多与数相关的问题，体现了数形结合的思想方法． 【问题解决】（1）如图1，在数轴上，点A和点B表示的有理数分别为和4，点P、点Q为线段上两点，点Q在点P右侧且．若点P对应的数为x，，求此时x的值． 【形成观念】（2） 如图2，某地的高速口与动车口水平距离为1千米，同向平行行驶的轿车和动车在各自卡口同时出发．已知普通家庭轿车的长度是4米，行驶速度为120千米/小时；8组编的动车长度为266米，行驶速度为200千米/小时．求动车车头追上轿车车尾到动车车尾离开轿车车头需要多少秒？ 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 3.（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 5．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 1．（25-26七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 4．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 10．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（25-26·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 【答案】## 【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1， 第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1， 第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，… ∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．故答案为：n-3． 【典例2】（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 【典例3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设在数轴上表示的数为． ∵第一次移动后位置为;第二次移动后位置为;第三次移动后位置为 第四次移动后位置为……观察规律可知，完成第次移动后，位置为． 又∵第次移动后落在原点处，即位置为;∴;解得 所以初始位置表示的数为．故选：B． 【典例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ，，,， ∴当时，； 当时， 当时， 当时， ∴，故答案为：． 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)；(2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5(3)t的值为1或 【详解】（1）解：设点C表示的数为x，根据题意得：，解得：， 数轴上点C表示的数为，当运动时间为t秒时，点P表示的数为．故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为．当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为，， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：，即或， 解得：或．答：t的值为1或． 【典例2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 【答案】(1)，14(2)的长为10或18(3)的值为2或6或26 【详解】（1）解：∵在数轴上，点A在原点的左侧，点B在原点的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度，∴点A对应的数为，点B对应的数为2， ∴A，B两点之间的距离为．故答案为：，14； （2）解：∴①当在左侧时 ②当在右侧时 综上所述，的长为10或18 （3）解：①当时，，解得； ②当时（与重合），，解得； ③当时，，解得， 综上所述，的值为2或6或26 【典例3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【答案】(1)是，理由见解析(2)(3)①20秒；②4秒或秒或12秒 【详解】（1）解：∵，，∴∴点M为点A、B的“奇妙点” （2）解：设点N表示的数为x，∴， ∵点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”， ∴∴∴∴点N表示的数为； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ①∵点Q追上点P，∴，解得，∴运动20秒后，点Q追上点P． ②当Q在点A、B之间运动时，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 当Q运动到点A左边时，，， 则，，解得， 综上所述，点运动4秒或秒或12秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”． 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上有三个点A，B，C，它们表示的有理数分别为a，b，c．已知b，c互为相反数，且． (1) ， ， ．(2)若数轴上点D到点B的距离为2，则点D表示的数为 ． (3)点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点M的运动时间为t秒． ①当线段时，求点M的运动时间；②在点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，是否存在线段的情况？如果存在，请求出此时t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)秒或秒   或 【详解】（1）解：，，，解得：，， ，互为相反数，，故答案为：，，； （2）解：设点表示的数为，由题意得：，解得：或， 点表示的数为或，故答案为：或； （3）解：由（1）得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点表示的数为， ，，整理，得：， 解得：或，点的运动时间为秒或秒； 存在，理由如下：由（1）得：点表示的数为，点表示的数为，， 点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点表示的数为，点表示的数为， ，整理，得：，解得：或， 答：存在线段的情况，此时的值为或． 【典例2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【详解】解：设运动的时间为 秒，∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度，∴，∴或．故选B． 【典例3】（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1(2)或5(3)点P所对应的数是 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3，∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时，解得：； ②点P在B点右边时，，解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时，解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 【典例2】（25-26七年级上·山东·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)(2)38(3)(4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【详解】（1）解：当时，，∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒，时，在上， ∴所表示数为：，故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒），此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，∴无解； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江西南昌·期末）在数轴上，分别表示数，且． (1)直接写出的值是_____，的值是_____，线段的长度是_____； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为_____个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)，21，24(2)①；②2；③的值是6或18 【详解】（1）解：∵，∴，， 解得：，，∴； （2）解：①设的长度为m，则，解得，∴线段； ②∵线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒， ∴，即线段运动的速度为2个单位长度/秒；故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论：阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵，∴，解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9，∴，， ∵，∴，解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是，∴，， ∵，∴，解得；综上，的值是或． 【典例2】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点C，E都在直线上，C是线段的中点，E是线段的中点，． (1)当点D在线段上，且时，求和的长；(2)若P是直线上的动点，动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿的方向运动，运动时间为t秒： ①当动点P在运动过程中，M，N分别是线段和的中点，试用含t的代数式表示线段的长； ②当动点P在运动时，同时另一动点Q从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动，当Q到达A点时，速度变为原来的2倍，并掉头沿方向运动；再当Q到达B点时，点P立刻反向运动，速度保持不变，问在整个P，Q运动过程中，当t为何值时，线段的长度等于20． 【答案】(1)；(2)①；②4或或 【详解】（1）解：∵E是线段的中点，，∴， ∵C是线段的中点，∴，， ∵点D在线段上，且，∴； （2）解：①设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为32，则点E在数轴上表示的数为，由题意得，运动t秒后，点P表示的数为，∵M，N分别是线段和的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为，∴； ②秒，秒，∴点Q从点C运动到点A需要8秒，点Q从点A运动到点B需要8秒， 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，∵，∴，解得； 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，∵，∴，解得； 运动16秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为32， 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，∵，∴，解得； 综上所述，t的值为4或或． 【典例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1)，8(2)或9(3) 【详解】（1）解：∵与互为相反数，即， 又∵，∴，，∴，，故答案为：，8； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 则、两点之间的距离为， 当时，解得；当时，解得； 综上所述，当或9时，使得、两点之间的距离为6； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ，，，， 化简得；∴与的关系式为． 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）情境背景:我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为，A，B两点的距离是点A到原点O的距离的4倍，即．(1)在情境背景下，数轴上点B表示的数是 ．点C为数轴上的动点，当时．可知点C表示的数为 能力提升(2)动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度． ①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数； ②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足，点M在运动到点O的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)45；或51(2)点P表示的数为或，点Q表示的数为或 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，，∴， ∵点O为原点，点B在点A的右侧，∴点B表示的数是， ∵，∴C在A，B的两侧， ∵，∴点C 点A左侧时，点C表示的数是． 点C在点B右侧时，点C表示的数是．综上所述，点C表示的数为或51． （2）①设当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，运动时间为x秒,相遇前相距4个单 长度，依题意有, 解得, 则点P表示的数为，点Q表示的数为 相遇后相距4个单位长度，依题意有，解得， 则点P表示的数为，点Q表示的数为； ②设点M表示的数为y，依题意有，解得， ∵，∴， ∴的值不发生变化，其值为60． 【典例2】（25-26七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， (1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，当或7时，；(3)的值不发生变化，理由见详解． 【详解】（1）解：依题意，，；故答案为：；． （2）解：存在，过程如下：依题意，分三种情况：①当点在、之间时，； ②当点在点右边时，，，令，解得； ③当点在点左边时，，，令，解得， 综上，当或7时，； （3）解：的值不发生变化，理由如下：设运动时间为， 根据题意得，，，， ∴，∴，∴， 故，，， ．∴的值不发生变化． 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为，当时，其值为360，当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，一个数的绝对值的几何意义是：数轴上表示数x的点到原点O的距离．这个结论可以推广为：对于任意两个数与，表示数轴上数与数对应点之间的距离．例如，如图1所示，点A表示的数是，点B表示的数是2，那么．这就表示点A与点B之间的距离为3个单位长度．请根据以上信息解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______个单位长度； (2)若，则x的值为______；(3)代数式的最小值为______； (4)如图2，点C和点D是数轴上的两点，C点表示的数是，D点表示的数是6．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，设运动时间为t秒．若的值在运动过程中始终保持不变，求m的值． 【答案】(1)5(2)或(3)3(4)或． 【详解】（1）解：，即数轴上表示2和的两点之间的距离是5个单位长度； （2）解： 当时，，解得：； 当时，，此种情况不存在； 当时，，解得：；综上可知，x的值为或； （3）解：∵表示数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离和， ∴当表示的点在表示的点与表示的点之间时，距离和最短为， ∴代数式的最小值为； （4）解：设运动时间为t秒，则点P表示的数是，点Q表示的数是，此时， ①当点Q在点P右侧时，，解得：， ∴，∴， ∵的值在运动过程中始终保持不变，∴，解得：； ②当点Q在点P左侧时，，解得：， ∴，∴， ∵的值在运动过程中始终保持不变，∴，解得：； 综上可知，m的值为或． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 【典例3】（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是，2，，有两条动线段和满足，，初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动．    (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段、同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接用等式表示m与n的数量关系． 【答案】(1)或(2)或4(3) 【详解】（1）解：设运动时间为秒，得点P表示的数为，点N表示的数为， 由 P、N两点相距4个单位， 得，即，当时，；当时，； 综上所述，P、N两点相距4个单位时，运动时间为或秒； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 当点为的中点时，则：，解得： ； 当点为的中点时，则：，解得：； 综上所述，当中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间的值为或4； （3）解：点运动到点需要的时间为：（秒）， ∴当时，线段向左运动，点表示的数为， ，， ， ∵常数使得的值与无关，，即． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【典例3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，，因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上有三个点，分别表示数，有两条动线段和，点与点重合，点与点重合，且点总在点的左边，点总在点的左边，，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点运动返回到点时，线段立即同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)在整个运动过程中，求点和点重合时的值． (3)在整个运动过程中，当线段和重合部分长度为1时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)，(2)秒或秒(3)或或或 【详解】（1）解：当时，点与点重合，则点表示的数为，点与点重合，，且点总在点的左边，则点表示的数为，故答案为：，； （2）根据题意，当点和点重合时，，解得， 当，即未到时，表示， 当，即返回时，表示的数是，而表示的数是， 或，解得或， 点和点重合时的值是秒或秒； （3）当时，表示，表示的数， 当时，表示的数是，表示的数是， 表示的数是，表示的数是， 未到达，若在右边个单位时，，解得， 未到达，在右侧个单位时，，解得； 返回，在右侧个单位时，，解得， 返回，在右边个单位时，，解得； 综上所述，的值是或或或． 【典例2】（25-26七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，点A，点E表示的数分别为m，n，且满足．若．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点A表示的数为 ，点E表示的数为 ，点B表示的数为 ．(2)当时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形重叠部分的面积为S．则S的最大值为 ，持续的时间为 秒． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：已知，， ∴，解得，， ∵点A，点E表示的数分别为m，n，∴点A表示的数为，点E表示的数为， ∵，∴， ∵，∴点B表示的数为，故答案为：； （2）解：已知长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点B表示的数为， ∴点的运动时间是， 已知长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E表示的数为， ∴点的运动时间是，根据题意，设运动时间为t秒， ∴当时，点在原点左边，点在原点右边， ∴，，∴，解得，； 当时，点在原点右边，点在原点右边， ∴，，∴，解得，； 当时，点在原点右边，点在原点左边，∴，∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，当时，求t的值为或； （3）解：，∴，即当时，两个长方形的边与边相遇， ∵，∴当相遇后，长方形与长方形重叠部分的最大面积是长方形的面积，即， 从点重合，到点重合时，长方形在长方形中移动的路程为，且是相向而行， ∴运动时间为，故答案为：． 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，， ，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 【典例4】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）模型与应用 【数学模型】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，借助图直观地表示很多与数相关的问题，体现了数形结合的思想方法． 【问题解决】（1）如图1，在数轴上，点A和点B表示的有理数分别为和4，点P、点Q为线段上两点，点Q在点P右侧且．若点P对应的数为x，，求此时x的值． 【形成观念】（2） 如图2，某地的高速口与动车口水平距离为1千米，同向平行行驶的轿车和动车在各自卡口同时出发．已知普通家庭轿车的长度是4米，行驶速度为120千米/小时；8组编的动车长度为266米，行驶速度为200千米/小时．求动车车头追上轿车车尾到动车车尾离开轿车车头需要多少秒？ 【答案】（1）；（2）需要12.15秒． 【详解】解：（1）由题，点P对应的数是x，则点Q对应的数是，∴，， ∵，∴，解得，． （2）如图，以高速卡口为原点，小轿车行驶的方向为正方向，1千米为一个单位长度，建立数轴， t小时后，轿车头部A对应的数为120t，轿车尾部B对应的数为，动车头部C对应的数为，动车尾部D对应的数为， 当B与C重合时，，解得，， 当A与D重合时，，解得，，（秒）． 答：动车头追上轿车尾到动车尾离开轿车头一共需要12.15秒． 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或；故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时，即， ∴或，解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等．故选：B． 3.（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 【答案】15 【详解】第一次移动P的对应点表示的数为， 第二次移动点P所得的对应点表示的数为， 第三次移动点P所得的对应点表示的数为， 第四次移动点P所得的对应点表示的数为， 第五次移动点P所得的对应点表示的数为， 第六次移动点P所得的对应点表示的数为， 第n次移动点P所得的对应点表示的数为， 观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n；当n为偶数时，点P对应的数为偶数， ∵，，且， ∴，解得∴点A表示的数是15，点B表示的数是， ∴当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 【答案】或 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ，，，∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ，，即或，解得：或， 点P运动秒或秒，，故答案为：或． 5．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 【答案】(1)5，，(2)运动7秒后，点M可以追上点N(3)或 【详解】（1）解：a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数， ，，，故答案为：5，，； （2）解：设运动秒后，点M可以追上点N，根据题意得：，解得：， 运动7秒后，点M可以追上点N； （3）解：当点Q由点A向点O运动时， ，，解得：，此时点P表示的数是； 当点Q由点O向点A运动时，，，解得：， 此时点P表示的数是；综上所述，点P表示的数是或 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 【答案】(1)，4(2)12 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，在数轴上A点表示数，C点表示数7， ∴，∴则折痕与数轴交点对应的点是， ∵B点表示数b，b是最小的正整数，∴，则， ∴点B与数4对应的点重合，故答案为：，4； （2）解：依题意，秒钟后，点表示，点表示，点表示， ，，， 故的值不变，其值为12． 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 【答案】(1)(2)A表示98；B表示(3)38 【详解】（1）∵数轴上数表示的点与数3对应的点重合， ∴如图可知，表示数的点到数表示的点的距离与到数3表示的点的距离相等， ∵，∴数轴上数1对应的点与数对应的点重合，故答案为：； （2）由（1）知：折合点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折合点表示的数分别到A，B两点的距离为100，∴，， ∵点A在点B的右侧，∴A表示98；B表示， （3）设它们x秒后相遇，∵A，B两点之间的距离为200个单位长度， ∴，∴，∴,∴C点所表示的数为38． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 【答案】(1)D(2)①；②，(3)秒或秒时，可使 【详解】（1）解：∵笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，∴笔尖的位置表示什么数为．故选：D． （2）①∵表示的点与表示的点重合，∴折叠的中点表示的数为， ∵，，∴表示的点与表示的点重合．故答案为： ②∵数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为， ∵、两点经折叠后重合，∴点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：， （3）设运动时间为，∵，∴在点左侧，或在点右侧， ①当点向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，， ∵，∴，解得：． ②当向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，∴，解得：． 综上所述：秒或秒时，． 1．（25-26七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为，点A2表示的数为， 点A3表示的数为，…，点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为，∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：.故答案：． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，，解得：； 当点Q是线段的中点时，，解得：； 当点A是线段的中点时，，解得：． 综上所述，t的值为或4或7．故答案为：或4或7． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 4．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 【答案】(1)，(2)， (3) 或 (4) 、或 【详解】（1）已知，且，∴， ∵在点O的左侧，在点O的右侧，∴A点表示的数为，B点表示的数为． （2）点P从点A出发，向数轴负方向运动， ∵点P的运动速度是每秒3个单位长度，∴点P表示的数为， 点M从点B出发，向数轴负方向运动， ∵点M的运动速度是每秒5个单位长度， ∴点M表示的数为． （3）由（2）可知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 当时，即，则或，解得或． （4）由题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，，， 当时，，即，解得， 当时，，即，或解得或， 当时，点M表示的数为，点P表示的数为，此时两点重合，故舍去； 当时，，得或，解得或， 当时，点P表示的数为，点表示的数为，两点重合，舍去； 综上所述，或或． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)；9(2)不发生变化，理由见解析(3)①或；②2或8或10或或 【详解】（1）解：，，， ，．故答案为：；9． （2）解：由题意得，P点表示的数为，为的中点，点表示的数为， 为的中点，点表示的数为， ．在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为定值． （3）解：由题意得，，，， 点P从点B运动到点C时间为，点P从点A运动到点B时间为,点Q从点A运动到点C时间为,即可知点Q的运动情况为：先是在点A静止，再开始由点A运动到点C，再由点C运动到点A，再由点A继续运动，即点Q在A与C之间运动了一个来回； P点表示的数为，点B表示的数为，中点表示的数为， ①当点Q静止时，即，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故点Q不会是中点； 当点Q从点A运动到点C时，即， 此时Q点表示的数为，，解得：； 当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为， ，解得：； 当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即运动了3个单位长度，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故此时点Q不会是中点；综上所述，t的值为或． ②当点Q静止时，即，此时Q点表示的数为， ，解得：； 当点Q从点A运动到点C时，即，此时Q点表示的数为， ，或，解得：或； 当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为， ，或，解得：或； 当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即， 此时Q点表示的数为，， 或，解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，当点P从点A开始运动后的时间秒时，P，Q两点之间的距离为2． 故答案为：2或8或10或或． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或(2)  存在， 【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意可得：， 即：，或，解得：或， 即：点表示的数为或，故答案为：或； （2）解：①当追上时，点表示的数为：， 点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意可得：，解得：， 此时，、两点之间的距离为：； ②存在，，理由如下：当追上时，点、表示的数相等，为， 此后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数为：，， ， ， 分两种情况讨论：）当时，， 为定值，，解得：； ）当时，， 为定值，，解得：；综上，． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1011(2)①；②，1012；③ 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：，故选：D． ②∵， ∴当机器人跳次2022时，落在数轴上的点表示的数是；故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合，∴折痕处的点表示的数为， 设表示2022的点与表示x的点重合，则，解得：， ∴表示2022的点与表示重合；故答案为： ； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022，A、B两点到折痕1处的距离都是1011， ∴B点表示数为1012，A点表示的数为；故答案为：，1012； ③根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点，∴点C表示的数：． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14(2)22，11(3)或15 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14，∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒），故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：，， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：，即：，解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，，，故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数，…… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵，∴在第个循环第个数， ∵，∴，，，故正确； 由上规律可得：∵，∴，∴， ∴，故正确，综上可知：正确，故选：． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是(2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：，解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点，故答案为：或； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒），分四种情况： ①当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ②当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ③当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ④当时，，解得：，此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，(2)值不随着时间的变化而变化，始终(3)存在，或 【详解】（1）解：依题意，．所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒，∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵，∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）．故答案为：或． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4(2)(3)存在， 【详解】（1）∵，∴，，∴，，故答案为：，4； （2）∵，∴点N在数轴上表示有理数4，∵点B在数轴上表示有理数6，∴B点位置如图所示， ∵，由题意知，，，，∵，∴， 当时，， ∴（舍去）， 当时，，∴时，使得； （3）存在，理由如下，∵，∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，，∴，∴（舍去）， 当时，，，∴,∴， ∴当时，． 5．（24-25七年级上·深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 【答案】(1)4；5(2)(3)需要延长个单位长度，才能使得 【详解】（1）解：两小球第一次相遇时，； 此时，点代表的小球的路程为个单位长度； 此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动；∴秒后，点代表的小球会先从右侧离开轨道； 故点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，；故答案为：4；5 （2）解：由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动； 经过秒后，两小球第二次相遇；∴； （3）解：由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度； ∴两小球距离点个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动； 设，则， 若，则，解得； ∴需要延长个单位长度，才能使得 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 【答案】(1)8(2)3或9(3) 【详解】（1）解：∵关于，的多项式是六次多项式，且常数项为， ∴，∴,∴点到点的距离为，故答案为：8； （2）解：由（1）知，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为5，点到点的距离为8， 设点在数轴上对应的数为， ①若点在点与点之间，则，∴，∴点在数轴上对应的数为3； ②若点在的延长线上，则，∴，∴点在数轴上对应的数为9； ③若点在的延长线上，则，，∴，故此种情况不符合题意； 综上，点在数轴上对应的数是3或9； （3）解：由题意，得，，∴，， ∴，∴， ∵点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值， ∴的值与无关，∴，∴． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)存在，，定值为 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度，，解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ，点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是，故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下：由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值，，解得， ，，这个定值为． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)4，(2)0或(3) 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵点A，点B表示的数分别为a，b，且a，b满足，∴，，故答案为：4，； （2）∵点A，点B表示的数分别为4，，∴， 若点C是“关联点”，则， 当点C在线段上时，，此时，点C所表示的数为； 当点C在线段的延长线上时，，此时，点C所表示的数为， 综上所述，点C所表示的数0或，故答案为：0或； （3）设点Q表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上． ∴，，，， ∴，， ∴， 当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子为定值，则    ， ∴，即整数m、n满足的数量关系是． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，(2)5，．(3)(4)或． 【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是， ∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度， ∴点C表示，∴在运动过程中，点C表示的数是．故答案为：，． （2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14，∴点A表示，点C表示，∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， ∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠，∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始有重叠部分； ∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分；∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分．故答案为：5，． （3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上，∴，， ∵，∴，解得：，∴当点C在线段上，且时，t的值为． （4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时，∴，解得：， ∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时， ∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动， ∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为； 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：或不合题意舍弃； 当点B与点D相遇后，点C表示的数为 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：符合题意或不合题意舍弃； 综上，当时，或． 10．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)，(2)或；(3)长方形的运动的时间为8秒或11秒． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则，所以点A表示的数为：，故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得，解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒， 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得； 综上，长方形的运动的时间为8秒或11秒． 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $