第二章一元二次方程 素养巩固-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027北师大版数学九年级上册素养巩固 第二章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程配方后可化为  (    ) A. B. C. D. 3.若关于的一元二次方程中，有，则该方程必有一根是(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是  (    ) A. 无法确定 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 5.观察下列表格中关于的代数式的值与的对应值． 你认为方程为常数的一个解最接近于下面的  (    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 7.扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上画出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.小影与小冬一起写作业，在解同一道一元二次方程二次项系数为时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 9.已知是方程的一个根，则的值是  (    ) A. B. C. D. 10.若关于的一元二次方程的两个实数根为和，那么方程的解为． A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.将一元二次方程化成一般形式是          ． 12.写出有一个实数根是的一元二次方程：          写出一个即可． 13.陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”眉县某猕猴桃果园年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，年猕猴桃单位面积产量达到了这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为          ． 14.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如若为实数是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是          ． 15.阅读材料：如果，分别是一元二次方程的两个实数根，那么有，创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.本小题分用适当的方法解下列方程： ； ． 17.本小题分 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． 下面方程是“完美方程”的是          填序号；；． 已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 18.本小题分 自从“南方小土豆”成网络热词后，哈尔滨中央大街惊现小土豆挂件，圆圆乎乎超级可爱．若这款挂件的价格经历了两次增长，每次增长的百分率相同，且原来每个元，现在每个元，求每次增长的百分率是多少． 19.本小题分 【阅读材料】若，求，的值． 解：， ，即， ，，，． 【解决问题】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围． 20.本小题分 根据要求，解答下列问题： 方程的解为          ； 方程的解为          ； 方程的解为          ； 根据以上方程的特征及其解的特征，猜想： 方程的解为________； 请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性； 应用：关于的方程          的解为，． 21.本小题分 综合与实践 素材 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，月份制作泥塑件，同年月份制作泥塑件 素材 泥塑的制作成本为元件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量件与每件售价元之间符合一次函数关系 问题解决 任务 求该泥塑作坊月份到月份制作泥塑数量的月平均增长率 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件的售价应定为多少元 22.本小题12分 如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，设运动时间是． 当时，求的面积． 经过多少秒，的面积是面积的一半？ 23.本小题13分 实验与探究： 三角点阵前行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点 容易发现，是三角点阵中前行的点数之和，你能发现是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现得知是前行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前行的点数的和与的数量关系 前行的点数的和是，可以发现． 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加第项相加，上式等号的后边变形为这个小括号都等于，整个式子等于，于是得到 这就是说，三角点阵中前项的点数的和是 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前行的点数的和为，则有 整理这个方程，得： 解方程得：， 根据问题中未知数的意义确定，即三角点阵中前行的点数的和是． 请你根据上述材料回答下列问题： 三角点阵中前行的点数的和能是吗？如果能，求出；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成、、、、、，你能探究处前行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数的和能使吗？如果能，求出；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.  12.答案不唯一  13.  14.或  15.  16.（1） 解：，，，  （2），，，   17.（1） （2）是关于的“完美方程”， ， ， 原方程为， 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得或．   18.解：设每次增长的百分率是根据题意，得解得，舍去答：每次增长的百分率是．  19.【解】，，，，，，，是中最长的边，．  20.（1） ，  ， ， （2），  ，移项，得，配方，得，即，开平方，得，解得，，所以猜想结论正确  （3）   21.解：任务：设月份到月份制作泥塑数量的月平均增长率为根据题意，得，解得，不符合题意，舍去答：月份到月份制作泥塑数量的月平均增长率为． 任务：该泥塑每件的售价为元，则每件的销售利润为元．根据题意，得整理，得，解得，又尽可能让顾客得到实惠，答：该泥塑的售价应定为元件．  22.（1） 解：点的速度是，点的速度是， 当时，，， ，， 又， ． （2）解：根据题意得：， ，， 当时，如图， ，， ， 整理得， 解得舍去或； 当时，如图， ，， ， 整理得， 方程无实数解； 当时，如图， ，， ， 整理得， 解得或舍去； 综上所述，经过或，的面积是面积的一半．   23.（1） 解：由题意可得：， 整理得， 此方程无正整数解， 三角点阵中前行的点数的和不可能是． （2）解： 由题意可得：， 依题意，得， 整理得，， ，． 为正整数，． 的值是．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $