第二章 《一元二次方程》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《一元二次方程》单元巩固练习，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖方程解法、根的判别式与系数关系、实际应用等核心知识，注重数学思维与模型意识培养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|配方法、根的判别式、增长率问题（如新能源汽车销售）|结合社会热点（汽车出口），考查数学眼光观察现实世界| |填空题|6题/18分|根与系数关系、新定义运算（※运算）、方程根的应用|通过新运算情境，发展符号意识与推理能力| |解答题|6题/72分|解方程（四种方法）、方程与几何综合（直角三角形边长）、利润问题（书店售书）、面积问题（矩形道路）、方案设计（纪念品进货）、材料阅读（根与系数关系迁移）|注重数学思维与语言表达，如方案设计题培养模型观念，材料阅读题提升创新意识|

第二章 《一元二次方程》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．用配方法解方程，配方后的方程可以是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．- 4 B．-1 C．1 D．4 3．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）． A．-1 B．-5 C．-6 D．6 4．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知关于x的一元二次方程x2+2x-1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1•x2的值为（　　） A．-3 B．-1 C．-2 D．0 6．已知是方程的两个根，则的值为（　　） A． B．3 C． D． 7．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．15 8．据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡56张，设该班有x人，根据题意可列方程得（　　） A． B． C． D． 10．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国.已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆.设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．57.5（1+x)2=65.2 B．57.5（1+2x)=65.2 C．65.2（1-x)2=57.5 D．57.5（1-2x)=65.2 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知是方程的两个实数根，则x1x2＝　 　． 12．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 13．如果一元二次方程有一个根为0，则的值为　 　． 14． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 15．关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　 　（写出一个即可）． 16．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价　 　元． 三、解答题（共6题，共72分） 17．解方程： （1）； （2）（用配方法）； （3）； （4）（用公式法）． 18．已知关于x的一元二次方程 （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积. 19．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 20．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？ 21．2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 A款纪念品 B款纪念品 进货价（元/件） 20 15 销售价（元/件） 35 27 （1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数； （2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少? （3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？ 22．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，，则______，______． （2）应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，其中且．求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【分析】根据配方法化简变形即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根 ∴，解得：a=1 故答案为： C 【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴ab=-3，a+b=2， ∴=ab(a+b)=−3×2=−6， 故选C． 【分析】一元二次方程根与系数的关系式可得ab=-3，a+b=2，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 抛物线顶点坐标为， 又关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ， 抛物线的顶点所在象限是第一象限． 故选：A． 【分析】 先根据一元二次方程无实根求出c的取值范围，再求出抛物线顶点坐标，最后根据坐标符号判断所在象限即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝-2，x1•x2＝-1， 所以x1+x2+x1•x2＝-2+（-1）＝-3， 故答案为：A． 【分析】若 是一元二次方程( 的两根时，先利用根与系数的关系分别得到 和 2的值，整体代入即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：，∵是方程的两个根， ∴，， ∴原式. 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可求出答案． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程 的两个根， 即 =-3a+5-3b-5+ab =-3(a+b)+ab =4， 故选： B. 【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-3，ab=-5；；再将a代入方程得到 最后将 进行化简，数值代入即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故答案为：B． 【分析】 设月平均增长率为，根据 该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆． 即可列出方程。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：设该班有x人，每个人要写张贺卡， ∵全班共送出贺卡56张， ∴根据题意可列方程得， 故答案为：A． 【分析】根据该班有x人，则每个人要写张贺卡，因为全班共送出贺卡56张，所以，即可求出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为x， 根据题意可得：57.5（1+x)2=65.2， 故答案为：A. 【分析】设7月至9月的平均增长率为x，利用“ 7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆 ”列出方程即可. 11．【答案】-2 【解析】【解答】解：∵x1、x2为一元二次方程x2-3x-2=0的两根， ∴x1x2=-2， 故答案为：-2． 【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，根据一元二次方程根与系数的关系得x1•x2=，据此结合题意求解即可. 12．【答案】且 【解析】【解答】由新定义的运算法则可得出：． ∵， ∴． ∵该方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【分析】根据新定义运算得到，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出取值范围。 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 【分析】将x=0代入方程，结合一元二次方程即可求出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零， 可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1， 则x+p=-5或-1， 那么在方程 中， x+p-1=-5或-1， 所以解为. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解. 15．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴a的值可以是2， 故答案为：2. 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再求出，最后求解即可。 16．【答案】3或4 【解析】【解答】设每箱降价x元，则有 (100+20x)(12-x)=1440，解得x=3或4 故答案：3或4. 【分析】设降价x元，其利用为12-x，销量为100+20x，列出方程求解方程即可. 17．【答案】（1）解：， 开平方，得， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【解析】【分析】（1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）利用公式法进行求解即可． （1）解：， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18．【答案】（1）解：∵在方程中， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解： 不妨设AB=k+1，AC=k+2， ①当BC=5为斜边时，有，即 解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4 则直角三角形的面积为： ②当AC=k+2为斜边时，有即 解得：k=11.此时AB=12，AC=13 则直角三角形的面积为： 综上， k=2时，△ABC面积为6； k=11时，△ABC面积为30 【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式代入a，b，c展开化简，算出Δ=1>0，依据判别式判定规则，得到方程有两个不相等实数根； (2)先因式分解求出方程两根k+1，k+2，作为三角形两条边长；再分两类讨论斜边：第一类BC=5是斜边，列勾股方程求解并舍去负根，算出面积6；第二类较长边k+2是斜边，再次列勾股方程求得k=11，算出面积30． 19．【答案】（1） （2）解：设每本书上涨了元（）， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．​​​​ 【解析】【解答】解：（1）∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书本， 故答案为：； 【分析】（1）设每本书上涨了元，根据 若每本涨价1元，则每天就会少售出10本， 可得出本； （2）设每本书上涨了元（），根据每天利润=每本书利润×每天的销量，可得出方程：， 解方程并取符合题意的解即可。 （1）解：∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书本， 故答案为：； （2）解：设每本书上涨了元（）， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 20．【答案】解：将路平移后如下图： 设道路宽为x米，则根据题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵， ∴， ∴舍去， ∴． ∴道路宽应为2米． 【解析】【分析】将路平移，设道路宽为x米，则平移后草坪部分可合成长米，宽米的矩形，由此利用矩形面积公式列出方程，化简求解得．根据题意舍去即得答案． 21．【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款纪念品分别购进20件和30件. （2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元. （3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元， 由题意可知：， 解出： ，， 当时，元；当时，元 故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元. 【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可； （2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答； （3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可. 22．【答案】（1）， （2）解：∵实数满足，，且， ∴是方程的两个根， ∴，， ∴； （3）解：把，两边同时除以得：， ∴实数和可看作方程的根， ∴，， ∴． 【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程两个根为，， ∴，， 故答案为：，. 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系进行求解； （2）根据题意可得是的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，然后把分解因式，最后代入求值即可； （3）把，两边同时除以可得实数和可看作方程的根，然后利用一元二次方程根与系数的关系得可得，，最后整体代入求值即可． 学科网（北京）股份有限公司 $