学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（天津专用，范围：人教A版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 9．在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．双曲线的离心率为__________． 11．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 12．过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 13．已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 14．已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 15．已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（15分） 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（15分） 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 19．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 20．（16分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B B B D D C C D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．（1） ； （2） 12．/0.6 13． 14． 15．（1）2 ；（2） 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （7分） （2）联立得． 由题可得， 解得，． （14分） 17．（15分） 【详解】（1）由正方体可知，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． （5分） （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设的长为，则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以点到平面的距离，解得． 所以，设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （15分） 18．（15分） 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （5分） （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （10分） （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． （15分） 19．（15分） 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以． （5分） （2）（i）如图：过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （10分） （ii）由（i）知，所以，设，则， 过点作轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以随着的增大而增大， 当时，，当时，， 所以，平面与平面夹角正弦值的取值范围为． （15分） 20．（16分） 【详解】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （5分） （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （10分） （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. （16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 9．在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．双曲线的离心率为__________． 11．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 12．过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 13．已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 14．已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 15．已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（15分） 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（15分） 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 19．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 20．（16分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 5[A]B][C]D] 8[A][B][C]D] 4 3[A][B][C][D] 6[A]B][C]D] 9[A][B][C]D] 阙 ■ 二、填空题（每小题5分，共30分) 10. 11 12 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D C A ⊙ D A E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) D D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以共面，不能构成基底，A错误； 对于B，，所以共面，不能构成基底，B错误； 对于C，，所以共面，不能构成基底，C错误； 对于D，设，则，无解，所以不共面，能构成基底，D正确. 2．圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 3．在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 , 又因为 所以. 4．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 5．已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 6．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 7．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 8．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 9．在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【分析】选项A：由题意可得动点的轨迹是直线，即可判断；建立空间坐标系，利用空间向量逐一判断B，C，D. 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．双曲线的离心率为__________． 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 11．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围. 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 . 因为 （），当 时，； 当 时，； 当 时，直线 与线段 无公共点， 所以 的取值范围是 . 12．过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质及二倍角的余弦公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径，点到直线的距离， 连接，由切圆于点，得，， 则， 所以的最小值为. 13．已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性转化成焦点到渐近线的距离求解即可. 【详解】由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即， 点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称， ，从而，得 从而C的离心率为. 14．已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】 【分析】设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解，进而求出线段AB的中垂线所在直线方程，求出和，利用得，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则， ，， 则， 设线段AB的中点，则，，即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. 15．已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 【答案】 2 【分析】设，结合已知可得动点P的轨迹方程，进而可求的最小值；先求得切点弦的方程，进而求得弦长与点到直线的距离，进而计算可求得面积的取值范围. 【详解】设，因为，，， 所以， 两边平方， 所以，整理得， 所以，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为， 又，所以最小值为； 设，过与抛物线相切的直线斜率显然存在且不为0， 设切线方程为，与抛物线方程联立可得， 即，所以， 即，即， 所以，所以， 所以，即，所以， 直线过切点，， 所以切点弦方程为， 与抛物线方程联立可得，所以， ， 所以. 点到直线的距离为， 所以， 又，所以， 令， 又，所以，所以， 当时，，当，， 所以.    三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 17．（15分） 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由正方体可知，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． （2） 【分析】（1）通过证明平面，从而得到； （2）建立空间直角坐标系，设的长为，利用点到平面的距离公式，建立关于的方程，最后利用线面角的公式求解得答案 【详解】（1）略 （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设的长为，则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以点到平面的距离，解得． 所以，设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．（15分） 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）；或 （3）存在，或 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 19．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以． （2）（i）如图：过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （ii） 【分析】（1）在中利用余弦定理求得，由勾股定理逆定理得关系，由线面垂直的性质得到线线垂直，由线面垂直的判定得证； （2）（i）由面面垂直的性质得到线面垂直，由此得到线线垂直，再由线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线面垂直； （ii）由三线两两垂直，即可建立空间直角坐标系，设线段长即可写出点坐标，由空间向量的数量积求得平面和平面的法向量，再由空间向量的数量积求得平面和平面夹角的正弦值，由函数的单调性求得平面与平面夹角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略. （2）（i）略. （ii）由（i）知，所以，设，则， 过点作轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以随着的增大而增大， 当时，，当时，， 所以，平面与平面夹角正弦值的取值范围为． 20．（16分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 【分析】（1）根据焦距和离心率联立方程组求解即可； （2）（ⅰ）设出直线方程和点坐标，根据对称性可知恒过定点位于轴，再令，结合韦达定理即可求出点坐标； （ⅱ）根据题意列出面积表达式，再结合韦达定理即可求出，从而求出直线方程. 【详解】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. / 学科网（北京）股份有限公司 $