专题02 空间向量的应用（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期

专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（       ） A. 直线与直线平行 B. 直线与平面平行 C. 直线与底面所成角的正切值为 D. 平面与底面夹角的正弦值为 3．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知，，则点到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 7．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河北·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在体积为，正四棱锥中，为的中点，过直线作平面，分别与侧棱、相交于点、，当时，记四棱锥的体积为，则（） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为　　　　　. 12．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．        （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 13．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 14．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 . （1）求证: 平面 ; （2）求点 到平面 的距离; （3）求平面 和平面 夹角的余弦值. 15．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）长方体中，，，E、F分别为，中点，.    （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 20．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 21．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 22．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 23．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 24．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 25．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，.    （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 26．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 27．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在正三棱柱中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　；点到直线的距离为　　　　　． 28．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，．    （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）如果是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 29．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 30．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 31．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 32．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到面的距离. 33．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 34．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 35．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 36．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在长方体中，已知，，点在线段上．    （1）求证：： （2）当是中点时，求点到直线的距离； （3）若平面与平面的夹角为60°，求线段的长． 37．（25-26学年高二上·河北·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　；点A到直线的距离为　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·河北·期中）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 39．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点.    （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 40．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 41．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上．        （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求四面体的体积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 1大高频考点概览 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】 依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（       ） A. 直线与直线平行 B. 直线与平面平行 C. 直线与底面所成角的正切值为 D. 平面与底面夹角的正弦值为 【答案】D 【分析】 利用空间向量共线来判断线线平行，利用线向量与平面的法向量数量积为零来判断线面平行，利用空间向量法来求线面角和面面角来判断CD. 【详解】 在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，   则， ， 对A，，则， 又因为不重合，所以，故A正确； 对B，由 设平面的法向量为， 则 ，即 ， 令，则，， 由，则， 因为平面， 所以直线与平面平行，故B正确； 对C，，平面的法向量为， 则， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，即， 则，故C正确； 对D，由B知平面的法向量为，， 设平面与底面ABCD的夹角， 则， ，， 所以平面与底面的夹角的正弦值为，故D错误. 故选：D 3．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】 因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知，，则点到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】 因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 5．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由线面垂直关系可得出，结合空间向量共线的坐标表示可得出结果. 【详解】 因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且，则，所以，，解得，，故. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 【答案】A 【分析】 根据空间位置关系的向量法判断，再根据向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】 由题意可知，， 所以，即 ，解得：. 故选：A 7．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】 解：以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： ，则，，，， 所以，， 所以， 故与所成角的余弦值为． 故选：C 8．（25-26学年高二上·河北·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 由题意可得，， 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 因此异面直线与所成角的余弦值等于. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在体积为，正四棱锥中，为的中点，过直线作平面，分别与侧棱、相交于点、，当时，记四棱锥的体积为，则（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题目条件设在底面射影为与交点是重心，过作，确定平面为平面，得、是三等分点，把四棱锥体积转化为，再转化为，逐步将三棱体积转化，与、建立联系，计算得出，从而得到的值. 【详解】 如图，设在底面的射影为，设，则为三角形的重心，    所以为的靠近的三等分点，过作， 则过直线作平面为平面， 所以分别为靠近的三等分点， 所以四棱锥的体积为 故选：B 10．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，证明是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值． 【详解】 连接，在长方体中，，， 平面， 是直线与平面所成角， 直线与平面所成角的余弦值： ． 故答案为． 【点睛】 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 11．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．        （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. (1) 小问详解： 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； (2) 小问详解： 由上易知， 设面的一个法向量为，则有 ， 取，即， 所以点到平面的距离为； (3) 小问详解： 由上可知， 设面的一个法向量为，则有 ， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 13．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以．     （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出、，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的法向量，，， 则 ，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 因为，， 设平面为法向量为，则 ，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 14．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 . （1）求证: 平面 ; （2）求点 到平面 的距离; （3）求平面 和平面 夹角的余弦值. 【答案】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ，， 则有 ， 显然，因此 平面 ；     （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面向量的法向量，结合空间向量数量积的运算性质进行证明即可； （2）利用空间点到面距离公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合面面夹角定义进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 设点 到平面 的距离为，则有 (3) 小问详解： 平面的法向量为， ， 则有 ， 设平面 和平面 夹角为， 则有. 15．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，     则 设平面的法向量为， 则 ， 故可取， 因，因平面，故平面. 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）方法一：利用勾股定理证，建系，求出平面的法向量，由即可证得；方法二：连结，交于点，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）根据（1）的方法一建系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 仿照（1）方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 所以 ，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则， 即直线与平面所成角的大小为． 16．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是　　　　　　　　　　　． 【答案】平行 【分析】 根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系. 【详解】 由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 17．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面.     （2）;     （3）.      【分析】 （1）利用空间垂直关系可证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，利用线向量与法向量的数量积为零来证明线面平行即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值即可； （3）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由向量，， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】 由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）长方体中，，，E、F分别为，中点，.    （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面.     （2）     （3）6      【分析】 （1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，        可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 20．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.     （2） ；     （3） .      【分析】 （1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有 ， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. (3) 小问详解： 解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 21．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面， 平面， 平面， 平面 平面；     （2）      【分析】 （1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线与平面所成的角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， 则有 ， 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 22．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面.；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则 ，即 ，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则 ，即 ，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. (3) 小问详解： 设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 【点睛】 23．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接，由，得， 由侧面底面，平面，侧面底面，则底面， 以为原点，过平行于的直线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因此，所以.     （2）     （3）       【分析】 （1）取的中点，利用面面垂直的性质可得底面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）由（1）利用异面直线夹角的向量求法求解. （3）求出平面的法向量再利用点到平面距离的向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 所以点到平面的距离. 24．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面．     （2）     （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或．      【分析】 （1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设平面的法向量，，， 则 ，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； (3) 小问详解： 略 25．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，.    （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 【答案】（1） 方法一：取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面.    方法二：由已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 是的中点，所以，， 设是平面的一个法向量， 则 ，故可取， 因，则，所以平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一：取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，得，由线线垂直证明平面，再由线线垂直的性质证明平面；方法二：利用条件建系，写出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. （2）由（1）方法二建系，分别求出两平面的法向量，利用两向量夹角的计算公式计算即得； （3）方法一：由点到平面的距离的向量公式求出点到平面的距离，再求的面积，代入棱锥的体积公式计算即得；方法二：通过等体积转化计算即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）方法二建系，则，， 设是平面的一个法向量， 则 ，故可取， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. (3) 小问详解： 方法一：由（2）已知平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离， 又，，，， 所以. 方法二：由（1）知为点到面的距离，，， 故. 26．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为为正方形， 所以， 因为，且，平面AND，平面BMC， 所以平面平面BMC， 又平面AND， 所以平面.     （2）     （3）存在，.      【分析】 （1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证. （2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，，即可求得BN长，根据勾股定理，可证，如图建系，求得各点坐标，即可坐标，进而可求得平面CDM的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案. （3）设点，即可求得E点坐标，进而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，， 所以在中，， 所以，又， 所以， 所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以， 则， 设平面CDM的法向量， 则 ，令，可得， 所以一条法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 (3) 小问详解： 假设存在点E，设点， 所以， 所以点，则， 设平面的法向量， 则 ，令，可得， 所以一条法向量， 因为平面， 所以即为平面的法向量， 所以， 即，解得或-1（舍）， 所以，则， 所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时 27．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在正三棱柱中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　；点到直线的距离为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据正三棱柱的性质，取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，根据异面直线的夹角公式即可求出直线与所成角的余弦值，根据空间中点到直线的距离公式即可求解点到直线的距离. 【详解】 如图所示，正三棱柱中，底面为等边三角形，取中点，则， 取中点，根据正三棱柱的性质可得：，， 故取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，    ，等边三角形高，则，， ，则，，， 为的中点，则， ， 设异面直线与所成角为，则； 由可得，， 则点到直线的距离， 故答案为： 28．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，．    （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）如果是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 底面，底面，则，由底面是平行四边形， 得，，则， 又，平面，所以平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为原点建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）求直线的方向向量，由（2）可知平面的法向量，利用线面角的向量法求出直线与平面所成角的正弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，底面， 以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    ， 设平面法向量，为中点，， ， ，取，得， 即为平面的法向量，设平面与平面的夹角为， ，则， 故平面与平面的夹角为. (3) 小问详解： 为中点，，， 平面法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 29．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因平面，平面，所以. 又因，所以，且，平面， 所以平面.     （2）；     （3） 存在，.      【分析】 （1）直接根据线面垂直的判定定理可得； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量求线面角可得； （3）构造过D点且与平面平行的平面，进而可得平面. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因，取的中点为O， 所以，分别以所在直线为轴， 以过O点平行的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 由（1）知平面，平面，所以， 而三棱柱中， 所以，所以三角形是等腰直角三角形，得. 再由平面，平面， 所以，且， 所以也是等腰直角三角形，所以. 所以，，， . ， . 设为平面的一个法向量， 且，， 由 ，得 ， 令，得,所以. 所以. 所以与平面夹角的正弦值为. (3) 小问详解： 存在F点为的中点，则平面. 如图： 因为O为的中点，D是的中点，所以. 由，平面，平面，所以平面. 再由，，所以， 平面，平面，所以平面. 因平面，平面，且，平面. 所以平面平面，且平面，得平面. 故存在F点为的中点，则平面，且. 30．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． (3) 小问详解： ，所以，所以， 则． 31．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】（1） 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则 ，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用空间向量的方法证明线面平行； （2）根据二面角的定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后求余弦值； （3）根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后根据求线段. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 32．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到面的距离. 【答案】（1） 在三棱柱中，平面，， 建立如图所示空间直角坐标系： 因为，，且，为棱的中点， 所以， 所以， 则， 所以，即；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用空间向量法，由证明即可； （2）求得平面的一个法向量为，易得，设直线与平面所成角，由求解； （3）易知，由求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，得，则， 又， 设直线与平面所成角， 则； (3) 小问详解： 易知， 所以点到平面的距离为：． 33．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面;     （2）     （3）      【分析】 （1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则 ，即 ， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 34．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 【答案】（1） 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得； （3）可得，利用空间向量求点到面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 因为， 所以点B到平面AEF的距离为. 35．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 由题设得，，，，，. 向量，，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 因，且平面，故平面.      （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，通过证明直线方向向量与平面法向量垂直，证得线面平行； （2）利用直线与平面所成角的向量公式，计算方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，得到所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 向量. 设直线与平面所成角为，则. ，， . 故. 36．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在长方体中，已知，，点在线段上．    （1）求证：： （2）当是中点时，求点到直线的距离； （3）若平面与平面的夹角为60°，求线段的长． 【答案】（1）        依题意，可建立以为原点，分别以为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得． 设，则． 依题意，，又， 因，则， 故.     （2）.     （3）.      【分析】 （1）如图建系，分别求出的坐标，由即可证明； （2）求出及与同方向的单位向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式计算即可； （3）由空间向量夹角公式列出方程求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因点是中点，则于是， 与同方向的单位向量为， 则到的距离为. (3) 小问详解： 依题意，是平面的一个法向量. 由（1）设点，则 设为平面的法向量， 则 ，故可取. 由题意，有， 解得，又因，则. 即线段的长为. 37．（25-26学年高二上·河北·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　；点A到直线的距离为　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据给定条件，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解；利用点到直线距离公式求解. 【详解】 依题意，， 设平面的法向量，则 ，取，得， 设直线与平面所成角为，则； 点A到直线的距离. 故答案为：； 38．（25-26学年高二上·河北·期中）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 39．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点.    （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，可得， 因为平面，所以平面.     （2）     （3）       【分析】 （1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为. (3) 小问详解： 由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 40．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 41．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上．        （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求四面体的体积． 【答案】（1） 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，. 因是的中点，故. 向量，，. 因为，故； 因为，故. 因且平面，故平面.         （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用平面与平面夹角的余弦值以及确定的位置，进而求得四面体的体积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设， 则， 即. 设（），由， 得， 所以，故. 平面的点为、、，其法向量. 平面的向量，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 由平面与平面夹角的余弦值为，得， 解得，平方得，即，故（）. 此时，. 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 考点01 空间向量的应用 1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．【答案】 【分析】 连接，证明是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值． 【详解】 连接，在长方体中，，， 平面， 是直线与平面所成角， 直线与平面所成角的余弦值： ． 故答案为． 【点睛】 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 11．【答案】 【分析】 建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 12．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. (1) 小问详解： 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； (2) 小问详解： 由上易知， 设面的一个法向量为，则有 ， 取，即， 所以点到平面的距离为； (3) 小问详解： 由上可知， 设面的一个法向量为，则有 ， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 13．【答案】（1） 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以．     （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出、，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的法向量，，， 则 ，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 因为，， 设平面为法向量为，则 ，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 14．【答案】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ，， 则有 ， 显然，因此 平面 ；     （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出平面向量的法向量，结合空间向量数量积的运算性质进行证明即可； （2）利用空间点到面距离公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合面面夹角定义进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 设点 到平面 的距离为，则有 (3) 小问详解： 平面的法向量为， ， 则有 ， 设平面 和平面 夹角为， 则有. 15．【答案】（1） 方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，     则 设平面的法向量为， 则 ， 故可取， 因，因平面，故平面. 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面， 所以平面；     （2）      【分析】 （1）方法一：利用勾股定理证，建系，求出平面的法向量，由即可证得；方法二：连结，交于点，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）根据（1）的方法一建系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 仿照（1）方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 所以 ，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则， 即直线与平面所成角的大小为． 16．【答案】平行 【分析】 根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系. 【详解】 由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 17．【答案】（1）取中点H，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为，中位线，所以， 则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以可得，，，，，，，， 向量，且平面的法向量为， 则，所以，又因为平面， 所以平面.     （2）;     （3）.      【分析】 （1）利用空间垂直关系可证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，利用线向量与法向量的数量积为零来证明线面平行即可； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值即可； （3）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由向量，， 设平面的法向量为， 则 ，令，得， 所以，又因为平面的法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 由，，， 则向量， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】 由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 19．【答案】（1） 因为为 中点，且 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 又因为分别为的中点，可得，所以 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面.     （2）     （3）6      【分析】 （1）根据题意，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以D为坐标原点，建立坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到，求得，结合向量的距离公式，求得到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，        可得， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知：平面，且平面，所以， 在直角中，， 可得， 又由， 可得， 由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 20．【答案】（1） 连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.     （2） ；     （3） .      【分析】 （1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有 ， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. (3) 小问详解： 解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 21．【答案】（1）证明：侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面， 平面， 平面， 平面 平面；     （2）      【分析】 （1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线与平面所成的角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， 则有 ， 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 22．【答案】（1）证明：连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面.；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则 ，即 ，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则 ，即 ，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. (3) 小问详解： 设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 【点睛】 23．【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接，由，得， 由侧面底面，平面，侧面底面，则底面， 以为原点，过平行于的直线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因此，所以.     （2）     （3）       【分析】 （1）取的中点，利用面面垂直的性质可得底面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）由（1）利用异面直线夹角的向量求法求解. （3）求出平面的法向量再利用点到平面距离的向量法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. (3) 小问详解： 由（1）知，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 所以点到平面的距离. 24．【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面．     （2）     （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或．      【分析】 （1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设平面的法向量，，， 则 ，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； (3) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 方法一：取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面.    方法二：由已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 是的中点，所以，， 设是平面的一个法向量， 则 ，故可取， 因，则，所以平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一：取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，得，由线线垂直证明平面，再由线线垂直的性质证明平面；方法二：利用条件建系，写出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. （2）由（1）方法二建系，分别求出两平面的法向量，利用两向量夹角的计算公式计算即得； （3）方法一：由点到平面的距离的向量公式求出点到平面的距离，再求的面积，代入棱锥的体积公式计算即得；方法二：通过等体积转化计算即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）方法二建系，则，， 设是平面的一个法向量， 则 ，故可取， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. (3) 小问详解： 方法一：由（2）已知平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离， 又，，，， 所以. 方法二：由（1）知为点到面的距离，，， 故. 26．【答案】（1）证明：因为为正方形， 所以， 因为，且，平面AND，平面BMC， 所以平面平面BMC， 又平面AND， 所以平面.     （2）     （3）存在，.      【分析】 （1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证. （2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，，即可求得BN长，根据勾股定理，可证，如图建系，求得各点坐标，即可坐标，进而可求得平面CDM的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案. （3）设点，即可求得E点坐标，进而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，， 所以在中，， 所以，又， 所以， 所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以， 则， 设平面CDM的法向量， 则 ，令，可得， 所以一条法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 (3) 小问详解： 假设存在点E，设点， 所以， 所以点，则， 设平面的法向量， 则 ，令，可得， 所以一条法向量， 因为平面， 所以即为平面的法向量， 所以， 即，解得或-1（舍）， 所以，则， 所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时 27．【答案】①     ② 【分析】 根据正三棱柱的性质，取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，根据异面直线的夹角公式即可求出直线与所成角的余弦值，根据空间中点到直线的距离公式即可求解点到直线的距离. 【详解】 如图所示，正三棱柱中，底面为等边三角形，取中点，则， 取中点，根据正三棱柱的性质可得：，， 故取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，    ，等边三角形高，则，， ，则，，， 为的中点，则， ， 设异面直线与所成角为，则； 由可得，， 则点到直线的距离， 故答案为： 28．【答案】（1） 底面，底面，则，由底面是平行四边形， 得，，则， 又，平面，所以平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为原点建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）求直线的方向向量，由（2）可知平面的法向量，利用线面角的向量法求出直线与平面所成角的正弦值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，底面， 以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    ， 设平面法向量，为中点，， ， ，取，得， 即为平面的法向量，设平面与平面的夹角为， ，则， 故平面与平面的夹角为. (3) 小问详解： 为中点，，， 平面法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 29．【答案】（1） 因平面，平面，所以. 又因，所以，且，平面， 所以平面.     （2）；     （3） 存在，.      【分析】 （1）直接根据线面垂直的判定定理可得； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量求线面角可得； （3）构造过D点且与平面平行的平面，进而可得平面. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因，取的中点为O， 所以，分别以所在直线为轴， 以过O点平行的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 由（1）知平面，平面，所以， 而三棱柱中， 所以，所以三角形是等腰直角三角形，得. 再由平面，平面， 所以，且， 所以也是等腰直角三角形，所以. 所以，，， . ， . 设为平面的一个法向量， 且，， 由 ，得 ， 令，得,所以. 所以. 所以与平面夹角的正弦值为. (3) 小问详解： 存在F点为的中点，则平面. 如图： 因为O为的中点，D是的中点，所以. 由，平面，平面，所以平面. 再由，，所以， 平面，平面，所以平面. 因平面，平面，且，平面. 所以平面平面，且平面，得平面. 故存在F点为的中点，则平面，且. 30．【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． (3) 小问详解： ，所以，所以， 则． 31．【答案】（1） 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则 ，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用空间向量的方法证明线面平行； （2）根据二面角的定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后求余弦值； （3）根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后根据求线段. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 32．【答案】（1） 在三棱柱中，平面，， 建立如图所示空间直角坐标系： 因为，，且，为棱的中点， 所以， 所以， 则， 所以，即；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用空间向量法，由证明即可； （2）求得平面的一个法向量为，易得，设直线与平面所成角，由求解； （3）易知，由求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，得，则， 又， 设直线与平面所成角， 则； (3) 小问详解： 易知， 所以点到平面的距离为：． 33．【答案】（1）证明：连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面;     （2）     （3）      【分析】 （1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则 ，即 ， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； (3) 小问详解： 由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 34．【答案】（1） 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面．     （2）     （3）      【分析】 （1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得； （3）可得，利用空间向量求点到面的距离. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 因为， 所以点B到平面AEF的距离为. 35．【答案】（1）证明：依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 由题设得，，，，，. 向量，，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 因，且平面，故平面.      （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，通过证明直线方向向量与平面法向量垂直，证得线面平行； （2）利用直线与平面所成角的向量公式，计算方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，得到所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 向量. 设直线与平面所成角为，则. ，， . 故. 36．【答案】（1）        依题意，可建立以为原点，分别以为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得． 设，则． 依题意，，又， 因，则， 故.     （2）.     （3）.      【分析】 （1）如图建系，分别求出的坐标，由即可证明； （2）求出及与同方向的单位向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式计算即可； （3）由空间向量夹角公式列出方程求解即得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因点是中点，则于是， 与同方向的单位向量为， 则到的距离为. (3) 小问详解： 依题意，是平面的一个法向量. 由（1）设点，则 设为平面的法向量， 则 ，故可取. 由题意，有， 解得，又因，则. 即线段的长为. 37．【答案】①     ② 【分析】 根据给定条件，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解；利用点到直线距离公式求解. 【详解】 依题意，， 设平面的法向量，则 ，取，得， 设直线与平面所成角为，则； 点A到直线的距离. 故答案为：； 38．【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 39．【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，可得， 因为平面，所以平面.     （2）     （3）       【分析】 （1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为. (3) 小问详解： 由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 40．【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面．     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即 ，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． (3) 小问详解： 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故 ，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 41．【答案】（1） 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，. 因是的中点，故. 向量，，. 因为，故； 因为，故. 因且平面，故平面.         （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用平面与平面夹角的余弦值以及确定的位置，进而求得四面体的体积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设， 则， 即. 设（），由， 得， 所以，故. 平面的点为、、，其法向量. 平面的向量，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 由平面与平面夹角的余弦值为，得， 解得，平方得，即，故（）. 此时，. 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $