精品解析：山东聊城第二中学2026-2027学年高二上学期第1次学情调研数学试题

2025级高二上学期第一次学情调研 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 给出下列四个命题，其中正确的有 （1）若空间向量，满足，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于（1），取，，此时，， 但是，故（1）为假命题； 对于（2），取单位向量和， 此时，故（2）为假命题； 对于（3），若空间向量 取，， 取为零向量，此时，满足，但是 ，故（3）为假命题； 对于（4），取，，， 则，，所以， 故（4）为假命题. 故选：A. 2. 欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用列举法解决古典概型. 【详解】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为、、、、、共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为、、共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：. 故选：A. 3. 从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 至少有一个是奇数和两个都是奇数 B. 至少有一个是奇数和两个都是偶数 C. 至少有一个奇数和至少一个偶数 D. 恰有一个偶数和没有偶数 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可. 【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数 对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误; 对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误; 对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误. 对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确. 综上可知,D为正确选项 故选:D 【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题. 4. 在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，再结合空间向量共线的坐标运算，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则，所以存在唯一实数，使得， 即，所以，消去可得. 故选：D 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 6. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 7. 两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（ ） A. B. C. 1或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，根据向量的线性运算结合向量的数量积运算，结合题意已知可得即可算出线段的长. 【详解】由题意如图所示： 由， 则， 即，① 因为，， 所以， 又异面直线所成的角为， 所以或， 当时， ①化为：， 解得， 同理当时， ①化为：， 解得， 故选：D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，为随机事件．以下说法正确的有（ ） A. 若，对立，则 B. 若，则，对立 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对立事件的性质判断A；举反例判断B；由互斥事件的性质判断C；由独立事件的性质判断D. 【详解】对于A，因为，对立，所以，不同时发生，则，故A正确； 对于B，由，不能得出，对立，如投掷一枚质地均匀的骰子， “出现的点数为1，2”，“出现的点数为3，4”，显然，但，不对立，故B错误； 对于C，因为，互斥，，则，故C正确； 对于D，因为，相互独立，，则，故D正确. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 向量，若，则 B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 任意向量，满足 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可． 【详解】对于A，因，，则，A正确； 对于B，因，则＝，即，即A、B、C三点共线，B正确； 对于C，，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，，即， 由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C错误； 对于D，是的共线向量，而是的共线向量，故D错误， 故选：AB 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算（点积求夹角、法向量）和体积公式，逐一分析判断命题的正确性. 【详解】以点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，； ，设（其中，）； 选项A：因为，以为底面，点到平面的距离为高， 因为，所以， 点在上底面内，到平面的距离恒为， 则， 故为定值，A正确； 选项B：，取其方向向量为，； ， 若，则，代入得：， 由于，，故，， 则，方程无解，B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 由线面角的正弦值公式得：； 令（），则： 当时，，， 令，则， 因，故，即在上严格单调递增， ；，故； 当时，，则：， 因此：，同时 恒成立； 综上，，C正确； 选项D：，， 设平面的法向量为，则：， 即：，令，则，，可得平面的一个法向量为：， 若直线与平面平行，则，即， 由于点在上底面内（不含边界），即，，方程 在此区域内有解（例如取，则）， 此时，且不在平面内，故平面，选项D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】记“甲攻克该题”为事件，“乙攻克该题”为事件，由题意知与相互独立，，， “该题至少被一人攻克”的对立事件为“甲、乙两人都未攻克该题”，即事件， 又、为独立事件，与也相互独立， 可得，， 则， 故该题至少被一人攻克的概率为． 13. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【答案】## 【解析】 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 16. —只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【小问1详解】 将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； 【小问2详解】 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球 第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 17. 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【小问1详解】 由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. 【小问2详解】 设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 18. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，根据古典概型即可求解； （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”，事件“质点移动2次后移动到顶点”，利用事件的独立性即可求解； （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”，事件“质点移动3次后移动到顶点”，先求，再利用即可求解. 【小问1详解】 设事件“质点移动一次移动到顶点”，因为质点从顶点出发， 且每次等可能地沿棱移动到顶点，，处，所以； 【小问2详解】 设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 事件包括下列两种情况：；， 所以， 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； 【小问3详解】 设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，， 则； 事件包含下列7种情况：，，；，，，， 所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． （1）求； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）先证明为直线与所成角，再由定义去求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）由，，设，，得，即可求解． 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， . 【小问2详解】 因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得 所以， 因为 所以平面的法向量可取， 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 由， 得 ， 所以 ， ， 由（1）知， 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次学情调研 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 给出下列四个命题，其中正确的有 （1）若空间向量，满足，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 2. 欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 至少有一个是奇数和两个都是奇数 B. 至少有一个是奇数和两个都是偶数 C. 至少有一个奇数和至少一个偶数 D. 恰有一个偶数和没有偶数 4. 在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 7. 两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（ ） A. B. C. 1或 D. 1或 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，为随机事件．以下说法正确的有（ ） A. 若，对立，则 B. 若，则，对立 C. 若，互斥，则 D. 若，相互独立，则 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 向量，若，则 B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 任意向量，满足 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____． 13. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16. —只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 17. 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 18. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． （1）求； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $