湖北省襄阳市第四中学2026-2027学年高一上学期8月素养测试数学试题

**基本信息** 襄阳四中高一8月数学素养测试，聚焦函数、三角函数、不等式等核心知识，通过信号处理情境题（19题）和矩形面积实际应用（16题），考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配新生入学素养评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合（1题）、函数单调性（2题）、三角函数（4题）|基础巩固，梯度合理| |多选题|3|函数性质（9题）、不等式应用（10题）|多维度辨析，考查思维严谨性| |填空题|3|幂函数（12题）、集合与函数奇偶性（13题）|聚焦易错点，强化概念理解| |解答题|5|二次函数（15题）、实际应用（16题）、信号处理模型（19题）|综合应用与创新，体现数学建模与运算能力|

襄阳四中2026级高一年级8月素养测试 数学试题 一、单选题 1．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（     ） A．． B．在上单调递增 C． D． 7．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．设，，，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（   ） A．单调递减 B． C．在上无零点 D． 10．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 三、填空题 12．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 13．已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 14．已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题 15．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 16．如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 17．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18．已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 19．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦型函数，现有某种信号的波形的数学模型为，其中，是待定系数．经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即是一个周期函数． (1)当，，时，写出的一个周期并求出函数在上的零点； (2)当，时，令函数，，若的图象关于直线对称，且在区间上恰有三个零点，，，求的取值范围； (3)当时，对于任意的恒成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《襄阳四中2026级高一年级8月素养测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A A D B B BC ACD 题号 11 答案 ACD 7．B 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 8．B 【详解】由正弦函数、余弦函数的图像可知，当时，余弦函数的图像在正弦函数图像的上方，所以， ， 故当时，，因为，所以， 所以，所以， 又因为单调递减， 所以，即，因为， 所以，又因为单调递减， 所以，即，所以.故选：B. 11．ACD 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ，所以，故D正确. 12． 13．3 14． 【详解】因为函数,与均不大于1.5， 得到, 先考虑，整理得, 设，因为， 所以判别式，即,解得：， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到或， 结合，得到或； 再考虑，整理得， 设， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到， 综上可知：，故答案为： 15． (1)(2) 16．(1)(2)，；的最小值为. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. （2）因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 17．(1)(2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为，所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，，由，解得. 综上，实数的取值范围是． 18．(1)2(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． （2）（ⅰ）由，或，即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2，所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，，所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即，解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得，； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 19．(1)；(2)(3)3 【详解】（1）由可知，当，，时， ， 因为； ； 代入可得； 因为的周期为，的周期为，最小公倍数为， 故的一个周期为； 令，则或； 解得，故函数在上的零点为． （2）当，时，，则； 因为的图象关于直线对称，故， 解得，因为，故； 故； 当，则； 因为在区间上恰有三个零点，，， 则方程有三个根，故函数与有三个交点； 令，则的图象如图所示， 则，设，则，； 由可得，； 则，因为，故； 则，故的取值范围为． （3）设，则 则，则求的最大值； ； ； 则 因为，； 则，根据不等式的线性运算可知； 取，则 ； ， 因为，则，，故； 此时，故的最大值为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $