精品解析：辽宁葫芦岛市第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月练习数学试题

2026-2027学年（上）高二年级10月练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，设是不共线的向量，若A，C，D三点共线，则实数k为______． 13. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 14. 在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及向量与夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． （1）证明：E为的中点； （2）已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）高二年级10月练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 已知四面体ABCD如图所示，其中点为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助重心的性质及空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由点为的重心，故， 则，即， 则. 故选：D. 4. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 5. 如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 7. 在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【详解】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，， 得，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为，则由，得 取，则， 设与平面所成角为，则. 8. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确； 故选：ACD. 11. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，设是不共线的向量，若A，C，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 因为三点共线，所以， 即存在实数，使， 由不共线，对应系数相等： 可得，解得. 13. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【解析】 【详解】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【分析】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 14. 在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【详解】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． 【小问2详解】 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱柱中，，故四边形是平行四边形 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 即 令，则， 设直线与平面所成角为， . 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． （1）证明：E为的中点； （2）已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 【答案】（1）证：因为平面，平面平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 四边形为平行四边形，故且， ，所以为中点. （2）(i)因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (ii) 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直证明为平行四边形，并利用相似三角形证明中点. （2）(i)利用线面垂直证明面面垂直. (ii)通过建立空间直角坐标系求解轨迹，并利用法向量求解二面角范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (i)略 (ii) 建立如图空间直角坐标系. 设，所以为等边三角形. ，，，，，. 设，，，因为，所以. 在以为圆心，的半圆上， 因为直线为，所以与半圆交， 同理直线与半圆交， 故. 因为，，所以平面法向量且， 设，则且， 解得. 平面法向量. 所以二面角余弦值. 因为，所以，. 所以，所以. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，. ①求证：； ②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【解析】 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； 【小问2详解】 ①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为， 所以平面，平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $