精品解析：辽宁省葫芦岛市第一高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

2023—2024学年度（上）市一高中高二月考 数学试题 考试范围：【空间向量与立体几何、部分平面解析几何】 命题人：曾婧 校对：李文举 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线AB的斜率， 设直线AB的倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用两次勾股定理求解. 【详解】连接， 在中，， 在中，. 故选：D. 3. 已知的顶点，AC边上的高所在直线方程为，则AC所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由AC边与其上的高垂直的关系求得AC边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出AC所在直线的方程. 【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为，则 设AC边所在直线的斜率为， 因为AC边上的高与AC边垂直， 所以， 所以 又 所以AC所在直线的方程为， 整理为一般式得. 故选：D. 4. 在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系，写出相关点的坐标，根据向量求解. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，则， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故重合，舍去； 当时，，满足条件， 所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 6. 在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用表示出. 【详解】因为为中点， 所以， 因为为靠近的三等分点， 所以， 所以 ， ∴. 故选：A. 7. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C. 点P的纵坐标为 D. 内切圆的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出. 【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分． 9. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点P在线段上 C. 平面 D. 直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由面面平行说明； 对B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C，P三点共线； 对C，由向量法证，再由线线垂直证平面； 对D，由向量法求线面角，进而讨论范围. 【详解】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长， 所以，A错误； 对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，且，， 所以，，． 因为，所以，所以，即，所以， 所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确； 对于C，，，，，， 由， 因为，，平面，所以平面，C正确； 对于D，，，平面的一个法向量为． 设与平面的夹角为，为锐角， 其正弦值为． 由，得，D错误． 故选：BC． 12. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，点D到直线PQ的距离为 B. 线段PQ的最小值为 C. 平面平面BCD D. 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】易知，从而平面，进而有平面平面，即可判断C；建立坐标系，利用向量法可判断ACD 【详解】取的中点，连接，由题意可知：， 因为，所以， 又易知， 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故C正确； 以为原点，分别为轴建立坐标系， 则， 当，时，，， ，， 所以点D到直线PQ的距离为，故A错误； 设，，由得，， ， 当时，，故B正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ，，，， 设PQ与AD所成的角为， 则， 所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分． 13. 过点且与直线平行的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由平行线的特点直接写出直线方程，化简即可. 【详解】过点且与直线平行的直线方程是，即. 故答案为：. 14. 已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点E在直线上，可得，然后利用，即可求解E的坐标. 【详解】由题意可得：， ∵点E在直线上， ∴， 又∵，则， ∴，故点E的坐标为. 故答案为： 15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知，，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则动点的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据动点与点和点的距离关系列方程得到，化简即可得到轨迹方程. 【详解】解：设，又因为，，依题有 ，得， 化简，得，即M的轨迹方程为：． 故答案为：. 16. 如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，记，则，利用空间数量积的运算性质可得出，即可求得的最小值. 【详解】过点在平面内作直线，垂足为点， 过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示： ，， 记，则，，则，， 因为二面角的大小为，则、的夹角为， ， 且， 所以， ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 四、解答题：本题共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知向量，，.求： （1）； （2）. 【答案】（1）5；（2）. 【解析】 【分析】(1)根据空间向量的坐标运算可得答案. （2）先由空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再由模长公式可得答案. 【详解】（1）由，， 得. （2）因为， 所以. 18. 点P在椭圆：上，的右焦点为F，点Q在圆：上，求： （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）算出即可得解； （2）记椭圆的左焦点为，由椭圆定义，得到，再由圆的方程，得到圆的圆心为，半径为，画出图形，结合图形，得到，即可求出结果. 【小问1详解】 由题意， 所以，焦距为，离心率为； 【小问2详解】 记椭圆的左焦点为， 由椭圆的定义可得，，所以， 由得， 即圆的圆心为，半径为， 作出图形如下： 由圆的性质可得，， （当且仅当四点共线时，等号成立.） 19. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出点P关于的对称点即可求出反射光线所在的直线方程. （2）分切线斜率是否存在进行讨论即可. 【小问1详解】 设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. 【小问2详解】 圆C：即圆C：的圆心为，半径为， 过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意； 设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切， 则，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，满足题意的切线方程为或. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是顶角. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面平面，， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是等腰直角三角形，是顶角， 所以,又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形得，再由平面平面， ，可得，进而平面，可证平面平面. （2）建立空间直角坐标系后，利用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为是等腰直角三角形，是顶角， 所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 在四边形中，，，又， 所以， 故如图以为中心，分别以，，为方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则，，， 分别设平面和平面的法向量为，， 则，， 即， 令得，，故 令得，，故 设二面角的一个平面角为， 则， 所以二面角的余弦值为. 21. 如图，在四棱锥中，，，，，，为中点，. （1）求点到平面的距离； （2）点为棱上一点，求与平面所成角最大时，的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，证明出平面，分析出为等边三角形，以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （2）设，可得出，设与平面所成角为，利用空间向量法可得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当取得最大值时对应的的值，即可得出结论. 【详解】（1）取中点，连接、， 为等腰直角三角形，， 因为，，则， 由余弦定理可得， ，故， 又为等腰直角三角形，，为的中点，则. 、分别为、的中点，则，故， 又，平面， 又，，，所以，为等边三角形， 以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、、、、， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，，得， 所以，点到平面的距离； （2）设，则， 则， 设与平面所成角为， 则. 所以，当时，最大，即最大. 22. 已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． （1）求公共弦AB的长度； （2）求圆E的方程； （3）过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值17，最小值 【解析】 【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可； （2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程； （3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值． 【小问1详解】 圆，所以圆的圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 公共弦； 【小问2详解】 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，，即，到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； 【小问3详解】 当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，四边形的面积； 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：， 则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设， 当或1时，正好是轴及垂直轴， 面积， 当时，最大且，或1时，最小， 四边形面积的最大值17，最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（上）市一高中高二月考 数学试题 考试范围：【空间向量与立体几何、部分平面解析几何】 命题人：曾婧 校对：李文举 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 2. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知的顶点，AC边上的高所在直线方程为，则AC所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（ ） A. B. C. D. 7. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C. 点P的纵坐标为 D. 内切圆的面积为 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分． 9. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11. 如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点P在线段上 C. 平面 D. 直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为 12. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，点D到直线PQ的距离为 B. 线段PQ的最小值为 C. 平面平面BCD D. 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分． 13. 过点且与直线平行的直线方程是______． 14. 已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为________． 15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知，，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则动点的轨迹方程为________． 16. 如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为________． 四、解答题：本题共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知向量，，.求： （1）； （2）. 18. 点P在椭圆：上，的右焦点为F，点Q在圆：上，求： （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）的最小值． 19. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是顶角. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 21. 如图，在四棱锥中，，，，，，为中点，. （1）求点到平面的距离； （2）点为棱上一点，求与平面所成角最大时，的值. 22. 已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． （1）求公共弦AB的长度； （2）求圆E的方程； （3）过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $