3.3幂函数（分层作业，11大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.3 幂函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 幂函数的判断 题型02 求幂函数的解析式或函数值 题型03 幂函数的图象及应用 题型04 幂函数过定点 题型05 求幂函数的定义域与值域 B组 能力进阶 题型01 幂函数的单调性的判断及应用 题型02 根据幂函数求参 题型03 幂函数的奇偶性 C组 思维拔高 题型01 利用幂函数的单调性比较大小 题型02 利用幂函数的单调性解不等式 题型03 幂函数性质的综合 幂函数的判断题型01 1．（25-26高一上·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·河北·质检）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列所给出的函数中，是幂函数的是             A． B． C． D． 5．在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 求幂函数的解析式或函数值题型02 1．（25-26高一上·浙江·联考）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·期中）已知幂函数在区间上单调递减.则   ） A． B． C． D．4 3．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知幂函数过点，则__________． 4．幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式___________. 5．幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 幂函数的图象及应用题型03 1．（24-25高一上·湖北荆州·月考）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 2．下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的大致图像如图所示，则_______． 4．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 幂函数过定点题型04 1．函数，不论为何值的图象均过点，则实数的值为 A．-1 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·上海·月考）函数的图像恒过点________________． 3．幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 求幂函数的定义域与值域题型05 1．（25-26高三上·上海·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为__________. 4．（24-25高一上·北京·月考）已知幂函数在上单调递减. ①的值为______； ②记，，若，则的取值范围是______. 5．已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 幂函数的单调性的判断及应用题型01 1．下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 3．（25-26高一上·期末）函数的严格增区间是_______. 4．已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指出函数的定义域； (2)判断在的单调性，并根据定义证明你的结论． 根据幂函数求参题型02 1．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数    ） A．1 B．-1 C．0 D．1或-1 3．（26-27高三上·安徽·月考）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为______. 5．已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 幂函数的奇偶性题型03 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 2．（25-26高一上·天津·月考）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 3．已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 4．设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 利用幂函数的单调性比较大小题型01 1．若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·联考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 利用幂函数的单调性解不等式题型02 1．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则满足的实数的取值范围是__________. 3．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是________． 4．已知幂函数）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 幂函数性质的综合题型03 1．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 2．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 4．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 5．已知函数，若，则的最大值为__________. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 幂函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 幂函数的判断 题型02 求幂函数的解析式或函数值 题型03 幂函数的图象及应用 题型04 幂函数过定点 题型05 求幂函数的定义域与值域 B组 能力进阶 题型01 幂函数的单调性的判断及应用 题型02 根据幂函数求参 题型03 幂函数的奇偶性 C组 思维拔高 题型01 利用幂函数的单调性比较大小 题型02 利用幂函数的单调性解不等式 题型03 幂函数性质的综合 幂函数的判断题型01 1．（25-26高一上·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义判定选项即可. 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 3．（25-26高一上·河北·质检）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可求解. 【详解】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 4．下列所给出的函数中，是幂函数的是             A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论． 【详解】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确； 故选B． 【点睛】本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题． 5．在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义即可求解． 【详解】∵幂函数y＝xa， ∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数， 不是幂函数，比幂函数的图象多一个点， ∴幂函数的个数为1． 故选：B. 求幂函数的解析式或函数值题型02 1．（25-26高一上·浙江·联考）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【详解】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 2．（25-26高一上·湖北·期中）已知幂函数在区间上单调递减.则   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及单调性，结合可求解参数，即可判断选项. 【详解】由幂函数可得：， 此时幂函数，在区间上单调递减，可得， 由代入可得：， 因为，所以， 即，所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知幂函数过点，则__________． 【答案】 【分析】先求出幂函数的解析式，然后代入求值即可. 【详解】设幂函数为 幂函数的图像过点，即，求出；幂函数的解析式为：,则. 故答案为： 4．幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数满足的性质，即可写出答案. 【详解】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有， 则函数为偶函数； 又函数满足对中任意的，都有， 可知函数为上的单调递减函数， 故满足题目中要求， 故答案为： 5．幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. （2）由（1）知， 由得. 所以. 幂函数的图象及应用题型03 1．（24-25高一上·湖北荆州·月考）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定图象，利用常见幂函数的图象判断得答案. 【详解】图中4个函数图象对应的幂函数分别为：①表示，②表示，③表示，④表示. 故选：B 2．下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 3．已知函数的大致图像如图所示，则_______． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 幂函数过定点题型04 1．函数，不论为何值的图象均过点，则实数的值为 A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由幂函数的图象过定点,可得的图象过点,从而可得结果. 【详解】因为不论为何值幂函数的图象均过点, 不论为何值的图象均过点, 又因为不论为何值的图象均过点， 所以且，即，故选A. 【点睛】本题主要考查幂函函数的几何性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 2．（25-26高一下·上海·月考）函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 3．幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 【答案】 【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点. 【详解】因为幂函数过点，可解得， 所以， 故， 当时，， 故恒过定点. 故答案为 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题. 求幂函数的定义域与值域题型05 1．（25-26高三上·上海·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 3．函数的值域为__________. 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 4．（24-25高一上·北京·月考）已知幂函数在上单调递减. ①的值为______； ②记，，若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及单调性得到，求出，即可得到函数解析式，由函数的单调性求出集合，再根据，得到或，即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得； 因为在上单调递减， 又，， 则， 因为，所以或，解得或， 即的取值范围是. 故答案为：； 5．已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 幂函数的单调性的判断及应用题型01 1．下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故答案为：C. 2．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数是幂函数， ∴，解得：m= -2或m=3． ∵对任意，，且，满足， ∴函数为增函数， ∴， ∴m=3（m= -2舍去） ∴为增函数． 对任意，，且， 则，∴ ∴． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． 3．（25-26高一上·期末）函数的严格增区间是_______. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性即可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 由幂函数性质可知函数的严格增区间是. 故答案为：. 4．已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指出函数的定义域； (2)判断在的单调性，并根据定义证明你的结论． 【答案】(1)；定义域为 (2) 在上为减函数． 证明：设，则， 因为，所以，，又， 所以，即， 故在上为减函数． 【分析】(1)结合已知条件，利用幂函数定义求解即可；(2)根据(1)中解析式直接判断在的单调性，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1）设，则，所以， 故，且的定义域为． （2）略 根据幂函数求参题型02 1．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 2．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数    ） A．1 B．-1 C．0 D．1或-1 【答案】A 【分析】利用幂函数求出的值，将的值代入幂函数得到具体函数，判断此函数是否为单调函数，从而得解. 【详解】是幂函数，，， 当，，在上是增函数，符合题意； 当，，的定义域为， 在上不是单调函数，不符合题意； 故选：A. 3．（26-27高三上·安徽·月考）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）若函数是幂函数，则实数的值为______. 【答案】3或0 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数，则，解得或. 故答案为：3或0. 5．已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 幂函数的奇偶性题型03 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可； 【详解】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 2．（25-26高一上·天津·月考）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 3．已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据已知求出，从而函数，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案． 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得， ∴函数，定义域为，关于原点对称， ∴， ∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减． 故选：A． 4．设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系. 【详解】∵的图象经过点，， ∴ 又∵ ∴ ∵为奇函数， ∴ ∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 5．设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的图象经过点，即， 对任意的，则， 对任意的，则， 此时函数为偶函数， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”； 若函数为偶函数，又因为，则， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”. 所以，“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的充要条件. 故答案为：充要. 利用幂函数的单调性比较大小题型01 1．若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 2．（25-26高一上·四川·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·联考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 4．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A 5．已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质进行求解； （2）分成，两种情况，再结合幂函数的单调性得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，的图象不经过原点，符合题意， 当时，的图象经过原点，不符合题意， 所以． （2）由（1）得，易得在上单调递减． 当时，由，可得． 因为在上为减函数，所以． 当时，，由，可得． 因为，且在上为减函数， 所以． 综上，． 利用幂函数的单调性解不等式题型02 1．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得， 故a的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则满足的实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】由在上单调递增，而，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 4．已知幂函数）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，证明略； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 幂函数性质的综合题型03 1．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【详解】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 2．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 【答案】D 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，进而得到函数的图象，利用图象分别判断四个选项即可. 【详解】定义域， 在同一坐标系中分别作出函数的图象，取与的图象中较高的曲线段，再与的图象对比取较低的曲线段，得到函数的图象，如图所示， 因为图象不关于坐标原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 因为在上有最大值，所以，故D正确，且在上最大值是1，故B错误；由图象知的值域是，故C错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：在研究函数和函数的性质时，通常先画出函数图象，利用数形结合分析函数性质. 4．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可. 【详解】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 5．已知函数，若，则的最大值为__________. 【答案】2 【分析】应用为增函数，化简，再分异号和同号或中有一个为0，结合基本不等式计算求解. 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $