河南南阳市内乡县2026-2027学年上学期九年级第一学月自我诊断数学学科练习

2026秋期九年级第一学月自我诊断数学学科练习 一、单选题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．0，4，0 B．，4，0 C．1，1，4 D．1，4，0 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．把方程配方成的形式，则、的值分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．要使等式成立，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．若，则的值为（ ） A．0 B． C．8 D． 8．用换元法解方程时，设，原方程可化为（ ） A． B． C． D． 9．如果一个三角形两边的长分别是一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（ ） A．13 B．18 C．22 D．26 10．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，则满足的条件为________ 12．据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小：________ 13．已知m、n是方程的两个实数根，则代数式________． 14．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________ 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 三、解答题（共75分） 16．（8分）计算 （1） （2） 17．（8分）解方程 （1） （4） 18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程 （1）________的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：________； （3）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意的正实数m和n，我们定义新运算：，求的值． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 21．（12分）商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周销售量的平均增长率． 22．（10分）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）直接写答案：________ （2）计算：； （3）若，求的值． 23．（12分）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：；因此有最小值是1，只有当时，才能得到这个式子的最小值1． （1）代数式有最小值还是最大值，这个最值是多少？此时x为何值？ （2）小明爸爸计划用高1.5米、总长的木栅栏围成一个矩形自行车场地，如图，一边靠墙（墙长），在和边各开一个1米宽的小门（不用木板）． ①围成的自行车场地面积能否等于？若能，请说明如何搭建？若不能，请说明理由． ②当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 附加题： 1．（15分）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； （1）请你仿照小明的方法化简． （2）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 2．（15分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法． 以解方程为例：将原方程整理可得：，可视边长为和的矩形面积为35，用四个这样的矩形构造如图1所示的图形，根据大正方形的面积可得，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】（1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________，解得原方程的一个正根为________； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $