精品解析：河南南阳市镇平县2026-2027学年上学期八年级数学10月阶段性作业训练

2026年秋期八年级数学阶段性作业训练 2026.10 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的算术平方根用符号表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确算术平方根的定义，因为若一个非负数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，所以2的算术平方根是平方后等于2的非负实数．再对应根式的表示规则，因为非负数a的算术平方根用符号表示，所以对应2的算术平方根的符号形式．最后区分算术平方根和平方根、立方根、乘方的符号差异，排除不符合的选项． 【详解】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫做的算术平方根，记作． 选项A：​符合2的算术平方根的符号表示，正确； 选项B：表示的是2的平方根，包含正负两个值，不符合算术平方根“非负”的要求； 选项C：是2的立方根，和算术平方根的概念无关； 选项D：表示的是2的平方，结果为4，完全不符合题意． 2. 我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】由，且，由此得到67在4的立方和5的立方之间，从而求得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，即67的立方根的大小在4和5之间． 3. 下列各式的计算结果不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别运用幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，不符合题意； C． 和不是同类项，不能合并，符合题意； D． ，不符合题意． 4. 若a和b都是6的平方根（），则的值为（ ） A. 36 B. 6 C. 0 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义，并结合之间大小关系，确定的值，代入求解即可． 【详解】解：∵a和b都是6的平方根，且， ∴， ∴． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法的意义求出底数，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对代数式展开，得到与已知方程左边相关的形式．因为已知，所以可变形得到的值．将的值代入展开后的代数式，即可求出结果． 【详解】我们先对已知条件变形： 由 ， 移项可得 ． 再化简所求代数式： ， 把 整体代入， 得到原式 ． 7. 小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（ ） A. 张 B. 张 C. 张 D. 张 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要三种砖的数量即可求解． 【详解】解：根据题意得：破损的总面积， 计算每一块三种砖的面积为：砖的面积；砖的面积；砖的面积， ∴需要三种砖的数量分别为：0，6，2块． 8. 某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先运用整式的加减运算求出这个多项式，然后运用多项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式是， 则． 9. 在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题干两个图可知，涉及的公式为平方差公式，判断符合的选项即可． 【详解】解：图1中长方形的面积为，图2中图形的面积为， ∴对应的简便计算公式为， 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，不符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，符合题意． 10. 学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于（ ） A. 32 B. 64 C. 30 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别表示出三只袋中篮球的个数，由题意列式进行变形，计算出，的值即可． 【详解】解：取完后甲袋中篮球的数量为， 乙袋中篮球的数量为 丙袋中篮球的数量为 由题意知 ， ， ， ． 二、填空（每小题3分，共15分．） 11. 请写出一个小于的无理数：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：任意写出一个小于的无理数为（答案不唯一）． 12. 光在真空及空气中的传播速度约为，太阳光射到地球上的时间约为，则地球与太阳的距离约为__________千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（米）， ． 13. 如图，依据其呈现的运算关系，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，与互为相反数，求解出后再计算出． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 解得， ∴． 14. 意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将，代入，即可求解． 【详解】解：将，代入，得， ∴， ∴，（舍去）， ∴铁球的落地时间t为． 15. 若不论x取何值，关于x的整式和的值都相等，则k的值为__________． 【答案】11或 【解析】 【分析】由可得，进而可得，即得，再根据的值分情况解答即可． 【详解】解：∵关于x的整式和的值都相等， ∴， ∴ ∴， ∵不论x取何值，关于x的整式和的值都相等， ∴，， ∴，解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为11或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）（用简便方法计算）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 小聪同学在学习整式乘法运算时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，他有一道题是这样做的，请认真阅读，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 当，时， 原式 第三步 第四步 任务： （1）小聪在此题的计算中运用了哪些乘法公式，请用字母表示出来： _________________________________________________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，请你帮助小聪完成此题的正确解答过程． 【答案】（1）， （2） 以上步骤从第一步开始出现了错误， 原式 ， 当，时， 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式即可得答案； （2）先判断步骤的错误所在，再根据完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，最后代入已知字母的值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． （1）计算：①； ②； （2）若，直接写出n的值． 【答案】（1）①1；② （2）2 【解析】 【分析】（1）①根据积的乘方运算求解即可；②根据积的乘方运算及有理数的乘方运算求解即可； （2）根据幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法的运算建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 19. 若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“智慧数”，b为a的“智慧点”．例如：，称36为“智慧数”，6为36的“智慧点”． （1）若是一个“智慧数”的“智慧点”，则这个“智慧数”________； （2）m的“智慧点”为p，n的“智慧点”为q，若，且，求p和q的值． 【答案】（1）66 （2）p和q的值分别为8，6 【解析】 【分析】（1）根据“智慧数”的定义计算即可得出结果； （2）由题意得，，再结合，，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得； 【小问2详解】 解：由题意得，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴p和q的值分别为8，6． 20. 学校劳动基地有一个长方形菜地，其长和宽分别为和（x，y均为大于2的正整数）．如果先将该长方形的长和宽各增加4m得到一个新的长方形，将其面积记为，再将原长方形的长和宽各减少2m得到另一个新的长方形，将其面积记为． （1）列式并计算（结果用含x，y的代数式表示）： _________________________________________________； _________________________________________________； （2）请说明与的差一定是6的倍数． （3）若比大，直接写出原长方形的周长． 【答案】（1），；， （2）解： ； ∴与的差一定是6的倍数． （3）原长方形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式进行计算即可； （2）求出与的差，利用因式分解即可得出结论； （3）根据比大，求出的值，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题意， ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∵比大， ∴， ∴， ∴原长方形的周长为. 21. 配方法是代数变形的重要工具．对于一个二次三项式，我们可以通过配凑，将其化为含完全平方式的形式，再利用非负数的性质解决问题． 例如：求的最小值． 解：． ∵，∴．∴当（即）时，代数式有最小值2． 请根据上述材料，解答下列问题： 【知识再现】 （1）填空： 若是一个完全平方式，则_____； 若是一个完全平方式，则_____； 【知识运用】 （2）已知实数x，y满足，求的值． 【知识拓展】 （3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足．直接写出周长的最小值． 【答案】（1）16， （2）1 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此求得x，y的值，即可求得原式的结果； （3）将配凑成，求得a，b的值，再利用三角形三边关系得出当周长最小值时c的值，从而求得周长的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 【小问3详解】 解：， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即， ∴， 当时，周长有最小值， ∴周长的最小值为． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．某数学小组在探究实数与数轴时，进行了如下操作： 【基础尝试】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，大正方形的面积是________，边长是________； 【方法迁移】 （2）如图2，在数轴上，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________，点B表示的数为________，这两数的绝对值的和为________； 【问题解决】 （3）如图3，小明用长为5、宽为1的长方形纸片剪拼成了一个面积为5的正方形．则拼成的正方形的边长为________； 如图4，小明将这个正方形平放在数轴上（正方形的一条边恰好落在数轴上）．已知正方形在数轴上的一个顶点A落在表示数的位置．请借鉴（2）中的方法在图4的数轴上画出这个正方形可能出现的位置示意图（不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长），并直接写出此时正方形在数轴上的另一个顶点B表示的实数． 【答案】（1）2， （2），，4 （3） 如图所示，点B表示的实数为 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，求出大正方形的面积，根据面积公式求出大正方形的边长即可； （2）求出正方形的对角线的长，根据两点间的距离公式求出点和点表示的数，再求出这两数的绝对值的和即可； （3）根据正方形的面积公式，求出正方形的边长，仿照（2）的画法，画图即可. 【小问1详解】 解：由题意，大正方形的面积为， 故大正方形的边长为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长为， 故点和点表示的数到数的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴这两数的绝对值的和为； 【小问3详解】 解：∵正方形的面积为5， ∴正方形的边长为； 略. 23. 在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． （1）【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； （2）【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 【答案】（1）①；②；；③ （2）和的长度分别为2，4 【解析】 【分析】（1）①根据图形即可得出结果；②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积；利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积；③根据阴影部分的面积相等即可得出结果； （2）设，，结合题意可得，，由（1）可知，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 ①由图形可得，图2的阴影部分的正方形的边长是； ②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积为； 利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积为； ③根据阴影部分的面积相等可得； 【小问2详解】 解：设，， 根据题意得， ∴，， 由（1）可知，即， ∴， ∵， ∴． 则， 解得， ∴和的长度分别为2，4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期八年级数学阶段性作业训练 2026.10 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的算术平方根用符号表示为（ ） A. B. C. D. 2. 我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 3. 下列各式的计算结果不等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 若a和b都是6的平方根（），则的值为（ ） A. 36 B. 6 C. 0 D. 以上都不对 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 7. 小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（ ） A. 张 B. 张 C. 张 D. 张 8. 某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 9. 在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（ ） A. B. C. D. 10. 学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于（ ） A. 32 B. 64 C. 30 D. 26 二、填空（每小题3分，共15分．） 11. 请写出一个小于的无理数：__________． 12. 光在真空及空气中的传播速度约为，太阳光射到地球上的时间约为，则地球与太阳的距离约为__________千米． 13. 如图，依据其呈现的运算关系，则的值为__________． 14. 意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 15. 若不论x取何值，关于x的整式和的值都相等，则k的值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）（用简便方法计算）． 17. 小聪同学在学习整式乘法运算时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，他有一道题是这样做的，请认真阅读，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 当，时， 原式 第三步 第四步 任务： （1）小聪在此题的计算中运用了哪些乘法公式，请用字母表示出来： _________________________________________________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，请你帮助小聪完成此题的正确解答过程． 18. 下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． （1）计算：①； ②； （2）若，直接写出n的值． 19. 若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“智慧数”，b为a的“智慧点”．例如：，称36为“智慧数”，6为36的“智慧点”． （1）若是一个“智慧数”的“智慧点”，则这个“智慧数”________； （2）m的“智慧点”为p，n的“智慧点”为q，若，且，求p和q的值． 20. 学校劳动基地有一个长方形菜地，其长和宽分别为和（x，y均为大于2的正整数）．如果先将该长方形的长和宽各增加4m得到一个新的长方形，将其面积记为，再将原长方形的长和宽各减少2m得到另一个新的长方形，将其面积记为． （1）列式并计算（结果用含x，y的代数式表示）： _________________________________________________； _________________________________________________； （2）请说明与的差一定是6的倍数． （3）若比大，直接写出原长方形的周长． 21. 配方法是代数变形的重要工具．对于一个二次三项式，我们可以通过配凑，将其化为含完全平方式的形式，再利用非负数的性质解决问题． 例如：求的最小值． 解：． ∵，∴．∴当（即）时，代数式有最小值2． 请根据上述材料，解答下列问题： 【知识再现】 （1）填空： 若是一个完全平方式，则_____； 若是一个完全平方式，则_____； 【知识运用】 （2）已知实数x，y满足，求的值． 【知识拓展】 （3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足．直接写出周长的最小值． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．某数学小组在探究实数与数轴时，进行了如下操作： 【基础尝试】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，大正方形的面积是________，边长是________； 【方法迁移】 （2）如图2，在数轴上，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________，点B表示的数为________，这两数的绝对值的和为________； 【问题解决】 （3）如图3，小明用长为5、宽为1的长方形纸片剪拼成了一个面积为5的正方形．则拼成的正方形的边长为________； 如图4，小明将这个正方形平放在数轴上（正方形的一条边恰好落在数轴上）．已知正方形在数轴上的一个顶点A落在表示数的位置．请借鉴（2）中的方法在图4的数轴上画出这个正方形可能出现的位置示意图（不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长），并直接写出此时正方形在数轴上的另一个顶点B表示的实数． 23. 在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． （1）【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； （2）【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $