精品解析：河南平顶山市鲁山县第五教研区2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，，都不是正整数，不符合题意，故A错误； 对于选项B：，符合题意，故B正确； 对于选项C：不是正整数，不符合题意，故C错误； 对于选项D：，不符合题意，故D错误． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：长为5的边是斜边和长为5的边是直角边，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当长为5的边是斜边时，则第三边长； 当长为5的边是直角边时，则第三边长 ∴该直角三角形的第三边长为或． 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵， ∴， ∴能判断是直角三角形； B、∵， ∴设，，， ∴， ∴能判断是直角三角形； C、∵，，， ∴，， ∴， ∴不能判断是直角三角形； D、∵，，， ∴， ∴能判断是直角三角形． 5. 关于代数式的说法正确的是（ ） A. 有最大值2 B. 有最小值2 C. 有最大值3 D. 有最小值3 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 6. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（ ） A. 40 B. 45 C. 47 D. 50 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 7. 数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，且， ∴， ∵点C在数轴正半轴上，到原点的距离等于的长度， ∴点C表示的数为. 8. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤l3 【答案】A 【解析】 【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答． 【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13． 即a的取值范围是12≤a≤13． 故选：A． 10. 如图所示，数轴直线，O是数轴上表示数0的点，点A在直线上，于点B，且，直线与之间的距离为1，以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点D，交于点C；以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点F，交于点E；再以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点G．则在数轴上的四个点B，D，F，G中，表示的是点（ ） A. F B. B C. D D. G 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 由题意得， ∴表示的是点F． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____5．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，可将5转化为 ，然后比较被开方数的大小本题考查实数的大小比较． 【详解】解：∵，且， ， 即． 故答案为：． 12. 在中，若，，，则∠________． 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理解答即可； 【详解】解：∵，，，， 即， ∵是最长边，它的对角是， ∴． 13. 观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图示流程进行计算，并判断是否无理数． 【详解】解：输入， 则， 取算术平方根为，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 故输出的值为． 15. 如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：，  ， 由折叠得，，，，，  ∴， 设，则， 在中，，  ， 解得，  ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛ ｝； 无理数：｛ ｝； 整数：｛ ｝； 负实数：｛ ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【解析】 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 17. 已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】（1）9 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 则， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 18. 某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． （1）大正方形的边长是 ； （2）请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】（1）6 （2） 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【解析】 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； 【小问2详解】 略． 19. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 由（1）知， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在直角中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【小问1详解】 解： ， ， 在 中，， 在 中，； 【小问2详解】 略． 20. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【解析】 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 21. 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【小问1详解】 解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 22. 阅读下面的材料，解答问题． 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： 即 所以的整数部分为2，小数部分为 请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值； （3）已知 其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）7； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意方法，则，进而求出整数部分和小数部分即可； （2）根据题意方法，分别求的小数部分和的整数部分，然后代入计算即可； （3）根据题意方法，先求出的取值范围，再求出的取值范围，得到，的值，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵其中是整数，且， ∴， ∴， ∴， ∴的相反数为：． 23. 我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明，汉末三国初的数学家赵爽利用如图1所示的“勾股圆方图”（赵爽弦图）直观地论证了勾股定理．在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中c是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边． （1）请利用图1证明勾股定理； （2）图2是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为 正方形的面积为正方形 的面积为．若正方形的边长为4，求 的值； （3）如图3，若正方形的边长为，，．连接，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． （2）48 （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 5. 关于代数式的说法正确的是（ ） A. 有最大值2 B. 有最小值2 C. 有最大值3 D. 有最小值3 6. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（ ） A. 40 B. 45 C. 47 D. 50 7. 数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 或 8. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤l3 10. 如图所示，数轴直线，O是数轴上表示数0的点，点A在直线上，于点B，且，直线与之间的距离为1，以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点D，交于点C；以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点F，交于点E；再以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点G．则在数轴上的四个点B，D，F，G中，表示的是点（ ） A. F B. B C. D D. G 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____5．（填“＞”“＜”或“＝”） 12. 在中，若，，，则∠________． 13. 观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 14. 如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 15. 如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛ ｝； 无理数：｛ ｝； 整数：｛ ｝； 负实数：｛ ｝． 17. 已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 18. 某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． （1）大正方形的边长是 ； （2）请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 19. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）请判断的形状，并说明理由． 20. 某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 21. 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少． 22. 阅读下面的材料，解答问题． 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： 即 所以的整数部分为2，小数部分为 请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值； （3）已知 其中x是整数，且，求的相反数． 23. 我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明，汉末三国初的数学家赵爽利用如图1所示的“勾股圆方图”（赵爽弦图）直观地论证了勾股定理．在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中c是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边． （1）请利用图1证明勾股定理； （2）图2是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为 正方形的面积为正方形 的面积为．若正方形的边长为4，求 的值； （3）如图3，若正方形的边长为，，．连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $