2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册期中模拟卷（上海专用）

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （上海专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版五四制九年级第27章~第29章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：顶点式的顶点是， 故抛物线的顶点坐标是． 2．若点都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：将代入， 得； 将代入， 得； ∵， ∴． 3．若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为， ∴对应边与的比为． 4．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 5．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 6．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，并延长交于点，且，过作于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，设正方形的边长为，容易判断，则．由结合勾股定理可计算出，．容易证明，则，，使用勾股定理计算出，再求比值即可． 【详解】解：如图，作于点，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7．跨江大桥的造型形似抛物线，部分桥体截面如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为4米的、两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为________米． 【答案】 【分析】首先利用对称性得到点D的横坐标为2，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，点C和点D关于y轴对称，米， ∴点D的横坐标为2， 将代入得，， 答：警示灯离水面的距离为米． 8．将二次函数化成顶点式的形式后________． 【答案】 【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到的值． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴． 9．已知，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，设，，代入即可求得的值． 【详解】解：由题意，设，， ． 10．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 11．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 12．2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】70 【分析】过点E作于点F，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l，车轮半径约为， ∴， ∴单车车座E到地面的高度为． 13．在中，，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握“ 在中，，是的对边，是的对边，是的对边，正切函数就是，即”是解题的关键. 【详解】解：在中， ， 故答案为：. 14．如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 16．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，为了台阶的安全，下方安装了支撑钢梁，且，，则钢梁的长为______． 【答案】 【分析】根据题意得出的长度，利用勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得：， 钢梁的长为． 17．如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 18．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、解答题：本题共7小题，共78分。 19．已知二次函数． (1)当时，求函数y的值． (2)当x取何值时，函数y的值是8？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的函数值，已知二次函数的函数值求自变量的值．熟练掌握已知二次函数的函数值求自变量的值是解题的关键． （1）当时，，计算求解即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴函数y的值为． （2）解：当时，，整理得， ， ∴或， 解得，， ∴当x取或时，函数y的值是8． 20．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先化简分式，再根据特殊角的三角函数值求出的值，最后代入化简结果计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 22．如图，已知，直线与相交于点O，点C、D分别在线段、上，且，，． (1)求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式求解即可； （2）设，分别证明和得方程组，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：设， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，解得：． 23．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)求的面积． (3)点是抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． 【答案】(1)、、 (2) (3)，最大面积为 【分析】（1）令，，解得的值，即可得到答案． （2）根据，计算即可得到答案． （3）根据，得到当为抛物线的顶点时，取得面积的最大值，继而得到答案． 【详解】（1）解：令，，即，解得：， ∴、， 令，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，是定值， ∴当取最大值时，即为抛物线的顶点时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴即当时，此时，即的最大面积为． 24．如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 【答案】(1)米 (2)甲同学距离还有米 【分析】（1）作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． （2）确定甲乙位置，连结，作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图， 作， 根据题意大象馆位于熊猫馆的东北方向， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设， ∴， 根据勾股定理， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． （2）解：如图 根据题意当甲乙之间距离是米时，甲在点，乙在点，， 连结，作， 设乙的路程为即，则甲的路程为，即， 在中，根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，，由（1）可知， ∴， 根据勾股定理， ∴， （舍去），（米）， （米）， 答：甲同学距离还有米． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （上海专用）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版五四制九年级第27章~第29章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若点都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，并延长交于点，且，过作于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7．跨江大桥的造型形似抛物线，部分桥体截面如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为4米的、两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为________米． 8．将二次函数化成顶点式的形式后________． 9．已知，则_________． 10．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 11．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 12．2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 13．在中，，且，则_______． 14．如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 15．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 16．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，为了台阶的安全，下方安装了支撑钢梁，且，，则钢梁的长为______． 17．如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 18．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。 19．已知二次函数． (1)当时，求函数y的值． (2)当x取何值时，函数y的值是8？ 20．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 21．先化简，再求值：，其中． 22．如图，已知，直线与相交于点O，点C、D分别在线段、上，且，，． (1)求的长； (2)若，，求的长． 23．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)求的面积． (3)点是抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． 24．如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $