专题13证明的必要性与基本认识知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题13证明的必要性与基本认识知题通关讲义 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 禁止只看图凭直观写结论； 等量、等角转换标注 “等量代换”； 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 1. 依托观察特例，直接得出普遍性数学结论 提醒：视觉观察、有限测量、个别实例仅能形成数学猜想，无法替代严谨推理证明，不能作为通用结论。 2. 拆分命题结构，混淆条件与结论 提醒：所有命题均可改写为“如果……那么……”的标准形式，“如果”部分为条件，“那么”部分为结论，二者不可错位混淆。 3. 误将非判断性语句判定为数学命题 提醒：数学命题为可明确判断真假的陈述句，疑问句、感叹句、指令性语句均不属于命题。 4. 真假命题判定方法使用错误 提醒：证明真命题需完整逻辑推理过程；否定假命题只需构造一组符合条件、违背结论的反例即可。 5. 混淆定义、公理、定理的数学概念 提醒：公理为无需证明的原始基本事实；定理为经过严谨推理证实的真命题；定义为对数学名称、术语的规范界定。 6. 几何推理过程，误用非合规推理依据 提醒：证明步骤的依据仅限题干已知条件、数学定义、公理、已证定理，主观猜想不可作为推理依据。 7. 构造反例时，不满足原命题前提条件 提醒：有效反例必须完全贴合原命题的已知条件，同时违背原命题结论，无效示例无法推翻假命题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★ 题型九 定理与证明 ★★ 题型十 代数与几何背景下的推理与论证 ★★★★ 题型十一 逻辑推理与论证 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 观察与实验 1．如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 【答案】B 【分析】直接利用一张100元人民币的厚度进而可求解． 【详解】解：∵1张面值100元的人民币的厚度约为0．01cm， ∴总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有10000元． 故选：B． 【点睛】本题考查了数学常识，正确记忆一张100元人民币的厚度是解题的关键． 2．一个由不同数字组成的六位数含有数字2和7．将数字2和7的位置交换，得到的新六位数恰好是原六位数的3倍，那么原六位数是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是位值原则的应用，熟练掌握位值原则是解题的关键． 根据位值原则，找出符合要求的新六位数，然后找出原来六位数． 【详解】解：设原六位数为N，则新六位数为， ∴，即 根据题意可知，原六位数N的首位数字只能是1或2， 若首位为1，则的首位为3或4，与题中“交换2和7”条件不符， ∴原六位数N的首位必为2， 则交换后的首位为7， ∵2在最高位，则设7在较低位，为位，且， 又∵， ∴， 解得， ∵N为整数， ∴必须为偶数，故， ∴j的所有可能取值为1，2，3，4， ∵要求各数字不同， ∴可知，当时，， 经检验，j取1，3，4时会导致数字重复， 综上，该六位数为． 故答案为：． 3．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 题型二 归纳与类比 4．平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何连接起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实．这种研究方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．类比思想 C．特殊到一般思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题考查了数学思想与方法，弄清楚每种方法思想的定义是解题的关键．根据各种思想的定义即可判断． 【详解】解：数形结合是指把数字和图形结合起来，符合笛卡尔的方法，故A选项符合题意， 故选：A． 5．“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了转化思想， 求圆的面积转化为求长方形的面积，将小数乘法转化为求整数乘法，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，将除法计算转化为乘法运算，再判断即可． 【详解】解：①将圆分成若干份拼成长方形，可知求圆的面积转化为求长方形的面积； ②将小数乘法转化为求整数乘法； ③将阴影部分平移到右侧拼成长方形，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积； ④将除法运算转化为乘法运算， 所以选项中用到了转化思想的是①②③④． 故选：D． 6．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列代数式的相关知识，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，根据图形，找出规律，每剪1次，绳子数量增加4段，依此规律，将代入其中求值即可． 【详解】解：因为剪开次数（刀）为1，则绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，则绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，则绳子数量（段）为， 剪开次数（刀）为4，则绳子数量（段）为， ， 所以剪开次数（刀）为，则绳子数量（段）为， 当时，， 故答案为：． 题型三 猜想与证明 7．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【详解】解：通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 题型四 判断是否是命题 10．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 11．下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义． 命题是可以判断真假的陈述句，据此逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项是可判断真假的陈述句，属于命题； B选项是操作类指令，不是可判断真假的陈述句，不属于命题； C选项是可判断真假的陈述句，属于命题； D选项是可判断真假的陈述句，属于命题； 故选：B． 12．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 题型五 写出命题的题设与结论 13．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选D． 【点睛】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成． 14．命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 【答案】B 【分析】根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可． 【详解】解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等， 故选B． 【点睛】本题主要考查了命题的题设与结论，熟知定义是解题的关键． 15．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 题型六 判断命题真假 16．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是： C．“作线段”这句话是命题 D．“对顶角相等”是定义 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义、真命题与假命题的判断、反例的概念以及定义和定理的区别．关键在于明确相关核心概念：命题是能够判断真假的陈述句；真命题是正确的命题，假命题是错误的命题，举反例可证明假命题；定义是对概念本质属性的描述，定理是经过逻辑推理证明的真命题． 【详解】解：∵同旁内角互补的成立条件是两直线平行，无此前提时同旁内角不一定互补，∴命题“同旁内角互补”是假命题，故A错误； ∵，时，，满足题设，但，不满足结论， ∴该例子是说明原命题为假命题的反例，故B正确； ∵命题是可以判断真假的陈述句，“作线段”是操作指令，无法判断真假， ∴它不是命题，故C错误； ∵“对顶角相等”是经过推理证明的真命题，属于定理，而定义是对概念的本质描述， ∴D错误； 故选：B． 17．下列命题为真命题的是（   ） A． B．一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 【答案】D 【分析】利用二次根式的运算性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系、中位数和众数的概念，全等三角形的判定方法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若腰长为，则三边长分别为、、，，满足三角形三边关系，故该等腰三角形的周长为； 若腰长为，则三边长分别为、、，，不满足三角形三边关系，故此情况不存在， 故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、这组数据的中位数为第和个数据的平均数，即中位数为；出现次数最多，众数为； 故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如图，，，第三边上高，根据勾股定理可得：，，所以，即可得到第三边，故可得到，即有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等， 故原命题正确，是真命题，符合题意． 18．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 题型七 举例说明假（真）命题 19．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的，即可作为反例． 【详解】解：选项A：时，，满足，不满足，符合反例要求； 选项B：时，不满足，不符合反例要求； 选项C：时，，满足，，满足结论，不符合要求； 选项D：时，，满足，，满足结论，不符合要求； 20．说明命题“如果为实数，那么”是假命题的的值可以为__________．（写一个即可） 【答案】 （答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明命题为假命题，只需举出满足条件但不满足结论的反例，根据二次根式的性质，当时，，因此任取一个负实数即可． 【详解】解：取，，满足命题条件，不满足命题结论，可说明原命题是假命题． ∴的值可以为（答案不唯一，任意负数均可）． 21．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 题型八 举反例 22．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假命题的反例需满足命题的条件成立，但结论不成立，据此解答． 【详解】解：该命题的条件为，结论为，反例需满足且． A．当时，，不满足，不符合反例要求； B．当时，满足且，不符合反例要求； C．当时，满足且，不符合反例要求； D．当时，，且，符合反例要求． 23．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知，只需找到满足且不满足的即可． 【详解】解：当，时，，，满足， 又，，可得，不满足， ，可说明原命题是假命题． 24．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当，时， ，， 不满足条件，结论也不成立，不能作为反例，不合题意； B、当，时， ，， 满足条件但结论不成立，能作为反例，符合题意； C、当，时， ，又， 不满足条件，但结论成立，不能作为反例，不合题意； D、当，时， ∵，又， 满足条件，结论也成立，不能作为反例，不合题意． 题型九 定理与证明 25．“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 【答案】B 【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实． 【详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实； 故选B． 【点睛】此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题． 26．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 27．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型十 代数与几何背景下的推理与论证 28．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 29．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 30．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了________． 【答案】 【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论． 【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为； 由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了， 故答案为：． 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 题型十一 逻辑推理与论证 32．如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 【答案】531 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．根据题意分析推理即可，由①结合③可以确定最上边第一位数字为5，由①②可以确定后两位数为31，据此分析即可． 【详解】解：由③最上面的密码数字是10的因数且①密码数字均为奇数，且各不相同， ∴最上边第一位数字为5， ∵①密码数字均为奇数，且各不相同且②密码数字从上至下递减， ∴中间和下面两个数字分别为3和1， 则正确密码为531， 故答案为：531． 33．某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 【答案】10 【分析】本题主要考查了推理能力， 先从3个答案一样的选项入手，再从2个答案一样的分析，然后结合总成绩假设情况讨论，进而得出各题的得分，最后得出答案. 【详解】解：由三名同学2题的答案都是B，有两种可能： 当选项B错误，那么丙同学的答案全部正确，可知甲，乙两名同学不能得10分； 所以2题的选项B正确； 4题甲，乙的答案相同，有两种可能： 当选项D正确，丙选择A就不正确，那么丙的1,2,3题都要正确，可知此时甲也对了3道题，不符合题意； 所以4题选项D不正确； 当1题甲选择A正确时，乙选择B不正确，丙选择A正确；甲3题选择D就不正确，乙选择C正确，丙选择B不正确，所以4题选择A正确； 当1题甲选择A不正确时，乙选择B正确，丙选择A不正确；甲3题选择D就正确，乙选择C不正确，丙选择B不正确，则与C只错一个不符，所以不符合题意. 综上所述，1题选择A，2题选择B，3题选择C，4题选择A， 所以丁选对了2题，最终得分10分. 故答案为：10. 34．四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 【答案】小方 【分析】小方和小强的表述互相矛盾，两人必有一真一假，结合只有1人说谎的条件，剩余两人一定都说真话，可直接推出结果． 【详解】解：∵小方说“是小强打碎的”，小强说“不是我打碎的”，两人表述矛盾， ∴小方和小强必有一人说真话，一人说假话， ∵四人中只有1人说谎， ∴说谎者一定在小方和小强之中，小明和小林说的都是真话， ∵小明说“是小方打碎的”是真话， ∴打碎玻璃的是小方． 35．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 解答题 1．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 【答案】（1）①＜  ②＝  ③＞ （2）如果，那么； （3） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，通过与的大小关系，直接判断与的大小； （2）归纳出“作差法”比较两个数（或代数式）大小的通用方法； （3）运用作差法，对两个代数式作差并化简，根据差的符号判断大小． 【详解】解：（1）① 如果，那么； ② 略 ③ 如果，那么。 （2）比较，两数的大小，分三种情况： 如果与的差大于，那么大于； 如果与的差等于，那么等于； 如果与的差小于，那么小于． （3） ∵， ∴ 故： ． 【点睛】本题考查了作差法比较大小和不等式的基本性质，解题关键是掌握作差法的步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论，其中变形是核心，通常通过合并同类项、配方等方式简化差式． 2．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 【答案】(1) (2) ；该等式一定成立，理由如下： 左边右边， 所以此等式一定成立． 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题． 【详解】（1）解：因为； ； ； ； ； …， 所以第n个等式可表示为：； 当时， 第6个等式为：； 故答案为：； （2）略 3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 4．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 5．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【答案】甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13证明的必要性与基本认识知题通关讲义 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 禁止只看图凭直观写结论； 等量、等角转换标注 “等量代换”； 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 1. 依托观察特例，直接得出普遍性数学结论 提醒：视觉观察、有限测量、个别实例仅能形成数学猜想，无法替代严谨推理证明，不能作为通用结论。 2. 拆分命题结构，混淆条件与结论 提醒：所有命题均可改写为“如果……那么……”的标准形式，“如果”部分为条件，“那么”部分为结论，二者不可错位混淆。 3. 误将非判断性语句判定为数学命题 提醒：数学命题为可明确判断真假的陈述句，疑问句、感叹句、指令性语句均不属于命题。 4. 真假命题判定方法使用错误 提醒：证明真命题需完整逻辑推理过程；否定假命题只需构造一组符合条件、违背结论的反例即可。 5. 混淆定义、公理、定理的数学概念 提醒：公理为无需证明的原始基本事实；定理为经过严谨推理证实的真命题；定义为对数学名称、术语的规范界定。 6. 几何推理过程，误用非合规推理依据 提醒：证明步骤的依据仅限题干已知条件、数学定义、公理、已证定理，主观猜想不可作为推理依据。 7. 构造反例时，不满足原命题前提条件 提醒：有效反例必须完全贴合原命题的已知条件，同时违背原命题结论，无效示例无法推翻假命题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★ 题型九 定理与证明 ★★ 题型十 代数与几何背景下的推理与论证 ★★★★ 题型十一 逻辑推理与论证 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 观察与实验 1．如图，一扎面值100元的人民币，其总厚度接近1cm，则这扎人民币大约有（　　） A．1000元 B．10000元 C．10万元 D．50万元 2．一个由不同数字组成的六位数含有数字2和7．将数字2和7的位置交换，得到的新六位数恰好是原六位数的3倍，那么原六位数是_______． 3．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 题型二 归纳与类比 4．平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何连接起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实．这种研究方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．类比思想 C．特殊到一般思想 D．分类讨论思想 5．“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 题型三 猜想与证明 7．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 题型四 判断是否是命题 10．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 11．下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 12．下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 题型五 写出命题的题设与结论 13．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 14．命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 15．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 题型六 判断命题真假 16．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是： C．“作线段”这句话是命题 D．“对顶角相等”是定义 17．下列命题为真命题的是（   ） A． B．一个等腰三角形的两边长分别为8和4，则它的周长等于20或16 C．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间的情况，随机调查了30名学生，调查结果如表所示，则这30名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为， 锻炼时间 5 6 7 8 人数 7 10 7 6 D．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 18．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型七 举例说明假（真）命题 19．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 20．说明命题“如果为实数，那么”是假命题的的值可以为__________．（写一个即可） 21．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 题型八 举反例 22．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 23．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 24．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 题型九 定理与证明 25．“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 26．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 27．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 题型十 代数与几何背景下的推理与论证 28．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 29．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 30．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了________． 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 题型十一 逻辑推理与论证 32．如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 33．某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 34．四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 35．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 解答题 1．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 2．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 4．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 5．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $