2.4抛物线（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.4抛物线 题型一抛物线的定义 题型二轨迹方程问题 基础达标题 题型三求抛物线的方程 题型四根据抛物线求参数 题型五抛物线与其他曲线结合 抛物线 题型一抛物线的点到定点最值问题 题型二和差最值问题 能力提升题 题型三抛物线解答题 题型四抛物线与实际应用 拓展培优题 A 基础达标题 题型一抛物线的定义 1.方程2x+2P+4y-2乎=R2x+2y-3所表示的曲线为（） A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 2.(24-25高二下，上海吴淞中学·期中)抛物线y2=2x上一点P(xo,yo)到准线的距离与到x轴的距离相等， 则x=式 3.(24-25高三下·上海普陀区·调研)设m>2,抛物线C:x2=2my上的点P到C的焦点的距离为5，点P到y 轴的距离为3，则m的值为 4.(24-25高三下·上海华东师范大学第二附属中学，调研)己知抛物线y=2x上有一点P到焦点的距离为3， 则P到y轴的距离为 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二轨迹方程问题 1.在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离相等，则动点的轨迹是() A.抛物线 B.直线 C.抛物线或直线 D.以上结论均不正确 2.已知点M(2,2),直线：x-y-1=0,若动点P到l的距离等于PM,则点P的轨迹是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 3.若点P到点0,2的距离比它到直线y=-1的距离大1，则点P的轨迹方程为一 4.若动点Mx,y到点F2,0的距离和动点M到直线x=-2的距离相等，则点M的轨迹方程是 5.(22-23高二上·上海新川中学期末)已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离， (1)求点P的轨迹方程； (2)若A(2,2,求△PAF周长的最小值. 题型三求抛物线的方程 1.(25-26高三上.上海大同中学月考)若抛物线的准线方程为y=一1，则该抛物线的标准方程为一 2.(24-25高二下·上海普陀区长征中学.期末)顶点在坐标原点，以x轴为对称轴的抛物线过点一2,3)，则它的 方程是 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A是抛物线C上一点，AD⊥1于D.若AF=2, ∠DAF=60°，则抛物线C的方程为一· 题型四根据抛物线求参数 1.(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)若抛物线C:y2=2pxp>0的焦点在直线 x+2y-2=0上，则p等于() A.8 B.4 C.2 D.1 2.(24-25高二下·上海金山中学·期中)在抛物线y2=2pxp>0上点P的纵坐标比横坐标大4，且P点到焦点 的距离为8，则p=(一 3.24-25高二下上海曹杨第二中学·月考1已知p>0,若双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=2px 3 的焦点，则p=(一 4.23,24高=上旷东汕尾期未)已知抛物线y=2pxp>01与椭圆+若=1有公共的焦点，则p=。 43 5.若抛物线x=my的顶点到它的准线距离为号，则正实数m=(一 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五抛物线与其他曲线结合 1.2425高二下-上海曹杨第二中学已知抛物线y=8x的焦点F为双曲线：-广=1a>0,b>0的 'db 个焦点，若T过点2,3，则Γ的标准方程为一 2.(24-25高二下.上海青浦区·调研)已知A,B,C是抛物线y=2px上三点，其中A2,2,直线AB,AC是圆 x-2+y=2的两条切线，则直线BC的方程为一 24巧高下上海图区率中学期中已知双向线X芳1b>0的左、右焦点为F)R 顶点，F2为焦点作抛物线交双曲线于P,且∠PF1F2=45°，则双曲线的离心率为一 4.抛物线x2=4y的准线与圆x2+y2=r2相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何 体的表面积为 5.(24-25高三·上海华东师范大学第三附属中学三模)过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-3)2+y2=4 的两条切线，切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为一 B 能力提升题 题型一抛物线的点到定点最值问题 1.2425高二下上海进才中学和背杨三中)已知点p是抛物线y=2 x上的动点，点Q是圆X-4+y=1 上的动点，则P,Q两点间的最短距离为一 2.(24-25高二下.上海进才中学.月考)抛物线y2=X上动点P和圆M:(x-3)2+y2=1上动点Q间的距离PQ 的最小值是」 3.(24-25高三下.上海青浦区·调研)已知点P是抛物线y2=8x上一动点，点Q在圆(X-52+y2=1上运动， 则P与Q两点间最短距离为 4.2425高=下-上海嘉定区第一中学等四校期中已知PX,.是抛物线y=4x上 上一点，则 2x+x,-y,+3的最小值为一， 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知抛物线X=8y圆cX+y-m=r产m>0若m=3则圆心C到抛物线上任意一点距商的最 小值是 题型二和差最值问题 1.(24-25高三下.上海实验学校月考)已知抛物线C:y2=4x的准线为，直线1：V3x+y+53=0,动点 M在C上运动，记点M到直线l与1的距离分别为d1,d2,则d1+d的最小值为() A.23 B.33 c.43 D.63 2.(25-26高三上.上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C:y=4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲 线x2+y2-10x-2y+25=0上一动点，则PF+PQ的最小值为 3.(24-25高二下·上海吴淞中学.期未)已知点A的坐标为3,2，点F为抛物线y=2x的焦点，若点P在此抛 物线上移动，求PA+PF取得最小值时点P的坐标是· 4.(24-25高二下.上海师范大学附属中学宝山分校月考)设P是以F为焦点的抛物线y2=4x上的动点，Q是 x-4+y2=1上的动点，则PF+|PQ的最小值为一 圆 5.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学期中)已知P为抛物线y2=4x上一点，点P到直线 1:4x-3y+6=0的距离为d1,点P到直线2：x+4=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 题型三抛物线解答题 1.(24-25高二下.上海吴淞中学.期末)己知抛物线C:y2=4x (1)倾斜角为的直线过C的焦点，且与C交于M、N两点，求MN: 3 2)设P是C上一点，A、B是C的淮线上两个不同的点，且圆x+y2=1是△PAB的内切圆.AB=25,求 点P的横坐标； 2.(25-26高二上·上海交通大学附属中学嘉定分校)已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛 物线C于A,B两点，当直线AB的斜率不存在时，AB=2. (1)求抛物线C的方程： (2)已知点D2,0,且直线AB,AD,BD的斜率都存在，若直线AD,BD与C的另一个交点分别为M,N, 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AB的斜率为k,直线MN的斜率为k,求大，的值 k2 3.24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学期末)已知双曲线C:X_y =1,其右顶点为P,右焦点为F 43 (1)求以F为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点T4,0,设点Q是双曲线C上任一点，求QT的最小值： (3)设直线过点P,其法向量为n=1,-1,若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3到直线的距离均为d,求 d的值. 4.(24-25高二下：上海长征中学期中)已知抛物线C:y'=2px,斜率为子的直线交抛物线于M,N两点， 3 且M1,-2. (1)求抛物线C的方程； (2)若动点P在抛物线C上，F为抛物线的焦点，线段PF的中点为Q,求点Q的轨迹方程： (3)试探究：抛物线C上是否存在点P使得PM⊥PN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由， 题型四抛物线与实际应用 1.(25-26高二上·上海西中学开学考)有一块正方形菜地EFGH.EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可 送到F点或河边运走，于是，菜地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近，S,中的蔬菜运到 F点较近，而菜地内S,和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中 原点O为EF的中点，点F的坐标为1,0，如图所示 (1)直接写出菜地内的分界线C的方程 M,N,P是分界线C上纵坐标分别为，L号的点，求六边形OMNPGFT面积占正方形EFGH面 分比（结果精确到1%）. H G S S2 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高二上·上海七宝中学.期中)如图，A点是东西和南北走向两条相互垂直的道路CD和MN的交点， 假设一段铁路从A点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点B到A点正东0.5公里处的一车站F 与其到道路MN的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）. (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线AB的方程； (2)若在道路CD上位于A点正东t公里处有一仓库T(t为常数，t>0),B为铁路上任意一点，其到点T的 距离为BT=d,求d的最小值，并求此时点B到道路MN的距离（单位：公里）. M B C A F N 3.有一正方形景区EFGH,EH所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F点的垃圾回收站或公路 EH上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域S和S2,其中S中的垃圾送到流动垃圾回收车较近， S,中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内S,和S,的分界线为曲线C,现如图所示建立平面直角坐标系，其 中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0) (1)求景区内的分界线C的方程： (2)为了证明S,与S,的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C在点G处的切 线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明：思路②：设直线L:y=x+b,分 界线C恒在直线L的下方（可以接触），求b的最小值，借助于直线L与坐标轴及景区边界所围成的封闭图 形面积来证明.请选择一个思路，证明上述结论. S S, 4.(22-23高二上，上海七宝中学.期末)如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQS、内部的抛物线以及水 平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A,B,A,B分别是PS和OR的中点.梯形的高和 CD的长度都是4米. 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求杠杆AB的长度： (2)求等腰梯形的周长. POO B DR 拓展培优题 1.(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)如图，己知Rt△SAB是圆锥SO的轴截 面，C,D分别为SA,SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线T是抛物线的一部分. DP 若P在T上，则 的取值范围是 DC C D B 2.(24-25高二上·上海实验学校期末)在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点均位于抛物线 T:y2=2pxp>0上，点F为T的焦点，若sinA:sinB:sinC=3:1:1,直线BC的斜率为3，则使 OB·OF+OC·OF=λOF成立的实数1的值为一· 3.(24-25高二上·上海进才中学.期中)已知抛物线T:y=axa≠0与直线y=bx-c相交于不同的A、B两 点.记点A、B的横坐标分别为a、b且a<b,若存在以a、b、c为边长的三角形，则a的取值范围是. 4.(24-25高二下.上海曹杨第二中学.月考)已知抛物线T:y2=8x和圆2：x2+y2-4x=0,抛物线T的焦 点为F. (1)求2的圆心到抛物线T的准线的距离： (2)设点Tx,y在抛物线T上，且满足x∈1,3，过点T作圆2的两条切线，切点分别为A、B,求四边形 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 TAFB的面积的取值范围： (3)如图，若直线1与抛物线r和圆Q依次交于M、P、Q、N四点，证明：“MP=QN=|PQ”的充要 条件是“直线1的方程为x=2”. 4 M D 4 2 .4 5.(2425高=上~上海华东师范大学第二附属中学期未)设F为椭圆E:×+少 =1(b>0)的右焦点，点 9b2 M1,22在椭圆E上， 3 (1)求椭圆E的方程： (2)设P,Q分别为⊙C:x2+(y-4)2=3和椭圆E上的点，求P,Q两点间的最大距离： (3)斜率为k的直线l过抛物线G:y=8V2x的焦点与G交于C,D,与E交于A,B,是否存在常数入，使得 AB十CD为常数？若存在，求出入的值：若不存在，请说明理由。 1 入 6.(24-25高二上·上海七宝中学·期中)已知Fp,0（p>0),若点N到点F的距离和它到y轴的距离之比为 常数入入>0，记点N的轨迹为曲线T. (1)若p=2,入=1，求曲线T的方程： (2)若p=1,试根据入的不同取值，讨论曲线T的形状： (3)若p=1,入=2，过点F且不与x轴垂直的直线1与T交于A,B两点，若点A关于x轴的对称点为点C, 求证：直线BC恒过定点 7.已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆x2+y2-2x=0于M、N两点，其 中PM位于第一象限，求1十 PMQN的最小值 4 8/8 2.4抛物线 题型一 抛物线的定义 1．方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 【答案】A 【分析】将已知方程化简，再结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义作答即可； 【详解】化简得， 即动点到定点的距离与到直线的距离相等， 且点不在直线上， 故方程表示的曲线为抛物线． 故选：A. 2．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 【答案】/ 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 3．(24-25高三下·上海普陀区·调研)设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 4．(24-25高三下·上海华东师范大学第二附属中学·调研)已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ， 则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得. 故答案为：. 题型二 轨迹方程问题 1．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A．抛物线 B．直线 C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确 【答案】C 【详解】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解. 【分析】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1， 可得该动点到定点和到定直线距离相等， 当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线； 当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线. 故选C． 2．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线. 故选：C 3．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 4．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 5．(22-23高二上·上海新川中学·期末)已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）根据抛物线的定义可将问题转化成的最小值，根据三点共线即可求解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）由题意知，焦点为,, 当的值最小时，的周长最小. 设点在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ， 因此的最小值即的最小值. 根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于, 与抛物线交于,此时 三点共线， 此时， 所以周长的最小值为 题型三 求抛物线的方程 1．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案. 【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：， ∵抛物线的准线方程为， ∴，∴， ∴抛物线的标准方程为：， 故答案为： 2．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是 . 【答案】 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案． 【详解】根据抛物线的定义可得， 又，所以，得， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 题型四 根据抛物线求参数 1．(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 2．(24-25高二下·上海金山中学·期中)在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 3．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·月考)已知，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 ． 【答案】4 【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据抛物线焦点坐标求的值. 【详解】对双曲线：焦点在轴上，且，，所以， 所以，所以双曲线的焦点为：，. 所以抛物线的焦点坐标为：. 由 . 故答案为：4 4．(23-24高二上·广东汕尾·期末)已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点即可求解. 【详解】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得. 故答案为：2. 5．若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 【答案】2 【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为为正实数，则，则， 故答案为：2. 题型五 抛物线与其他曲线结合 1．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据焦点坐标和双曲线上的点可构造方程组求得结果. 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海青浦区·调研)已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线上的点，求出抛物线解析式，根据点到直线的距离公式，求出切线方程，联立抛物线，求出点的坐标，写出直线方程. 【详解】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 3．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得抛物线方程为，直线的方程为，联立方程组可求得，结合，可求得，可求离心率. 【详解】由双曲线，可得左、右焦点为，， 可得以为焦点的抛物线方程为， 因为，不妨设点P在第一象限，所以直线的方程为， 联立方程可得，消去，可得，解得，所以， 所以， 又，. 故答案为：. 4．抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 5．(24-25高三·上海华东师范大学第三附属中学·三模)过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由题意可确定当最小时，最小，则最小，继而设，表示出，结合二次函数性质求最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知的圆心为，半径为2， 如图，，则，    而，当最小时，最小，则最小； 由于P在抛物线上，设， 则， 当时，取最小值8，即取到最小值， 则取最小值2，故的最小值为4， 故答案为：4 题型一 抛物线的点到定点最值问题 1．(24-25高二下·上海进才中学和曹杨二中·)已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 2．(24-25高二下·上海进才中学·月考)抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 3．(24-25高三下·上海青浦区·调研)已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 4．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    5．已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据即可求解. 【详解】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 故答案为：. 题型二 和差最值问题 1．(24-25高三下·上海实验学校·月考)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 2．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海师范大学附属中学宝山分校·月考)设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值. 【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则， 设圆心为点，则点到准线的距离为5， 结合图象可知，则 当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立. 故答案为：4. 5．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据抛物线定义，利用数形结合，即可求解. 【详解】依题意知抛物线的焦点，连接， 则点到直线的距离，所以， 其中的最小值，即点F到直线的距离，即， 当且仅当点P在F到直线的垂线上且P在F和之间时，等号成立，即的最小值为5． 故答案为：5 题型三 抛物线解答题 1．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）设，，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标； 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则设直线为，    设点， 联立直线与抛物线方程可得， 因此，所以； （2）设，于是有，的准线方程为，    设，过的直线的方程可设为， 根据题意，两直线均与圆相切，因此， 化简得， 设的斜率为， 因此， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 因此点的横坐标为3. 2．(25-26高二上·上海交通大学附属中学嘉定分校·)已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AB的斜率不存在时，． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，且直线AB，AD，BD的斜率都存在，若直线AD，BD与C的另一个交点分别为M，N，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设直线，，与抛物线方程联立求出，即可得解； （2）设，直线，求出，，，，得，即得解. 【详解】（1）易知焦点，当直线AB的斜率不存在时，直线，设， 由可得，所以， 所以，所以，所以C的方程为； （2）设， 直线，由，可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以，所以． 3．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【详解】（1）由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； （2）设，则有， =，由， 当时，. （3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 4．(24-25高二下·上海长征中学·期中)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 题型四 抛物线与实际应用 1．(25-26高二上·上海西中学·开学考)有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．   (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可； （2）利用割补法结合梯形的面积计算即可. 【详解】（1）易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以； （2）    如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为 2．(24-25高二上·上海七宝中学·期中)如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.   (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 3．有一正方形景区，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为． (1)求景区内的分界线的方程； (2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F与直线EH距离相等，再列出方程化简作答. （2）选①，求出分界线在点处的切线方程，再求出该切线与y轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b的最小值得直线L，再求出直线L与y轴分正方形所成两部分面积差即可. 【详解】（1）分界线C上任意点到点F与直线EH距离相等，直线EH：，点，设分界线C上任意一点为， 于是得，整理得， 所以景区内的分界线的方程：. （2）选①：点的坐标为，显然切线斜率存在，设切线方程为，， 由，得，由，得， 因此分界线在点处的切线方程为，设切线交轴于点，则， 梯形面积，显然，因此， 所以． 选②：依题意，对恒成立，即， 而，当且仅当时取等号，则， 即的最小值为1，直线方程为，设直线交轴于点，则， 梯形面积，显然，因此， 所以． 4．(22-23高二上·上海七宝中学·期末)如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米. (1)求杠杆AB的长度； (2)求等腰梯形的周长. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设分别与轴的交点为点，根据已知条件求出 坐标，设抛物线的解析式为，代入求出抛物线方程，令解得可得答案； （2）由（1）米，设，直线的解析式为，把代入解得，利用直线的解析式与抛物线方程联立，再由解得，可得， A，B分别是PS和QR的中点得，从而得出答案. 【详解】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴， 且，，米，， 所以，设抛物线的解析式为， 代入得解得，所以， 当时，解得，所以， 所以（米）， 所以杠杆AB的长度为米； （2）由（1）米，，设，且， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得， 因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B， 所以，， 所以，解得， 经检验，是分式方程的根，符合题意， 所以，由勾股定理得米， 因为A，B分别是PS和QR的中点，所以米， 所以米， 即等腰梯形的周长为米. 1．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】勾股得到，从而得到，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当范围，，再结合截面得到的范围，从而得到的最大值. 【详解】    过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 如图为截面的平面图，    以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求范围. 2．(24-25高二上·上海实验学校·期末)在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 【答案】 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值. 3．(24-25高二上·上海进才中学·期中)已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线方程与抛物线的方程联立，可得出，可得出，由以及，，可求出实数的取值范围. 【详解】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·月考)已知抛物线：和圆：，抛物线的焦点为． (1)求的圆心到抛物线的准线的距离； (2)设点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的取值范围； (3)如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，证明：“”的充要条件是“直线的方程为”．    【答案】(1)4 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可求解. （2）根据条件可表示出四边形的面积，利用二次函数的单调性可得解. （3）从充分性和必要性两个方面进行证明即可. 【详解】（1）由 . 所以圆的圆心为. 抛物线：的准线为：. 所以的圆心到抛物线的准线的距离为：4 （2）由题意：四边形的面积为： ， 所以当，四边形面积的取值范围为：. （3）先证充分性：若直线的方程为，将分别代入，， 可得，，，. 所以， 所以. 再证必要性：若，则线段与线段的中点重合， 设直线的方程为，，，，， 则， 将代入得：， 所以， . 同理可得：. 所以 或. 当时，将其代入得不可能成立； 当时，由得：，， 将代入，得，， 所以 或（舍去）. 所以直线的方程为：. 综上可知：“”的充要条件是“直线的方程为”． 5．(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期末)设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将代入椭圆方程求解即可； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）设直线，，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程为：； （2） 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； （3） 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解. 6．(24-25高二上·上海七宝中学·期中)已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，化简即可； （2）由题意可得，进而分类讨论可得结论； （3）设直线的方程为，设，则，联立方程组可得，可得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【详解】（1）当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； （2）若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； （3）若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 7．已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆于M、N两点，其中P、M位于第一象限，求的最小值. 【答案】4 【分析】设，，则，.再利用几何关系得到 ，得到，再求出然后利用基本不等式求解最小值. 【详解】如图，分别过P、Q作准线的垂线，垂足分别为G、H，过Q作，分别交OF、PG于A、B.    可设，，则，.因为，所以， 易知，即， 则，， 所以. 又因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， ∴的最小值为4. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $