第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷（培优）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 2．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由且，得． 因为为的中点，所以． 因此． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 5．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 6．（26-27高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 7．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体中三点的关系将问题转化. 【详解】由题意知为边长为的等边三角形，取E为的中点，则. 连接,由题意知，,则. ,当且仅当三点共线时取得最大值． 8．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）下面四个结论中，正确的是（     ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是钝角 C．已知，，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】对于A，点关于平面对称的点，横坐标、竖坐标不变，纵坐标变成原来的相反数；对于B，根据数量积的定义即可求解；对于C，根据投影向量的计算公式即可求解；对于D，根据空间基底的定义即可求解. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面， 不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，，其中向量,, 所以,选项A正确. 选项B，，选项B正确. 选项C，,其中,, 所以，选项C是错误的. 选项D，,其中,,, 所以,选项D正确. 11．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．存在点P，使得 C．若，则P点运动轨迹的长度为 D．若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出正方体外接球半径计算判断A；利用空间位置的向量证明判断B；求出轨迹并求出其长度判断C；利用线线角的向量法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图： 则，设， 对于A，正方体的外接球半径，表面积，A正确； 对于B，，当P与B重合时，，，则，B正确； 对于C，，，由，得， 即，点P运动的轨迹为线段，其长度为，C错误； 对于D，，由，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 13．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______. 【答案】/ 【分析】设底面中心为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据列方程组解出球心的坐标，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求出平面与平面夹角的正弦值. 【详解】在四棱锥中，底面为正方形，且， 则该四棱锥为正四棱锥，设底面中心为，则平面，且， 因为平面，所以， 由勾股定理可得， 易知为的中点，所以，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设三棱锥的外接球球心的坐标为， 由得， 解得，即球心为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 故， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三·新疆内蒙古·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 【答案】(1)因为四边形为菱形，所以. 因为平面，平面， 所以平面.又平面， 且平面平面，由线面平行的性质定理知. (2) 【分析】（1）通过平面，结合线面平行的性质定理即可求证； （2）建系，求得直线的方向向量的和平面的法向量，结合线面角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，交线为，为等边三角形， 所以点在平面上的投影为的中点，且到平面的距离为. 以为原点，所在直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 于是，，. 设平面的法向量为， 由，，得，. 取，得, 得平面的一个法向量. 设直线和平面所成的角为， 则. 16．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；线段的长为； (2). 【详解】（1）由题意知 ， ， 即线段的长为. （2）因为， 所以 ， 又 . 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 17．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 【答案】(1)如图取的中点，连接， 由题意不妨设， 则，且， 可知， 由中位线的性质可知，所以， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的特征判定底面中，再借助中位线判定线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量法计算即可；利用点到面的距离公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）（i）取中点G，由上可知， 因为平面，平面，故， 可以以为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面所成角为，则， 则； （ii）点到平面的距离. 18．（25-26高二上·北京·期末）如图，三棱柱中，平面，，．过的平面交于点，交棱于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若为中点，求二面角的余弦值； (3)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明： 在三棱柱中，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 因此，四边形为平行四边形． (2) (3)存在点使得直线与平面所成的角为，且 理由如下： 由（2）建立的空间直角坐标系可知，，，，， 设，，则，所以， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为， 于是得，解得或（舍去） 当时，，即点与点重合． 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质可得，根据面面平行的性质可得，从而得四边形为平行四边形； （2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，可知平面的法向量为，求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，平面 所以，，所以以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，，，． 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则 即 令，则，，所以 ， 所以 ， 由图知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为； （3）略 19．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面， 在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面． (2)①② 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解；②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【详解】（1）略. （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面，， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故，直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即， 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立， 所以，即的最大值为. 此时， ，， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 所以. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 2．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）下面四个结论中，正确的是（     ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是钝角 C．已知，，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．存在点P，使得 C．若，则P点运动轨迹的长度为 D．若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 13．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 14．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三·新疆内蒙古·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 16．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 17．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 18．（25-26高二上·北京·期末）如图，三棱柱中，平面，，．过的平面交于点，交棱于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若为中点，求二面角的余弦值； (3)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $