第一章 空间向量与立体几何单元卷(培优版)-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元培优测试卷，覆盖空间向量运算、法向量、线面角等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|法向量（题1）、投影向量（题2）、线面角（题6）|多选结合基底判断（题9）与共面问题（题10），培养推理意识| |填空题|3题15分|点到线距离（题12）、外接球表面积（题13）|正方体动态问题（题14），发展空间观念| |解答题|5题77分|翻折体积（题19(1)）、二面角探究（题17(2)）|多问递进（如题19三问），融合数学建模与创新意识，适配高考真题趋势|

立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（培优篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 2．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先求出向量与的坐标，由向量与的夹角为锐角， 可以得到且与不平行，再计算求解即可. 【详解】，， ，向量与的夹角为锐角， 且向量与不平行， ，， 向量与不平行，， 的取值范围为且，选项B正确. 故选：B. 4．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【详解】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 5．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 6．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 7．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法结合与平面所成的角为求出平面的一个法向量，再利用空间向量法代入到点到面的距离公式即可. 【详解】如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，得：， 不妨令，解得：， 因为与平面所成的角为， 所以，即，又，解得：. 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为. 故选：A 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北邢台·阶段检测）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，A正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，B错误． 不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，D错误． 故选：AC. 10．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】由与同方向的单位向量为计算即可得A；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，计算可得D项. 【详解】对A：由向量， 则与其同方向的单位向量为，故A正确； 对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误； 对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时， 则这两个向量共线，故C正确； 对D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026·安徽池州·二模）如图，在棱长为1的正方体中，，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥的外接球球心，则（   ） A． B．S为五边形 C．S的面积为 D．S分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 【答案】AC 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，和，求得平面的法向量为，结合，列出方程，求得，可判定A正确；得到截面的形状为等腰梯形，可判定B不正确；结合梯形的面积公式，求得截面的面积，可判定C正确；结合棱台的体积公式，结合正方体的体积，可判定D不正确. 【详解】对于A，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为，所以点为中点，可得， 又因为，设，可得， 所以，可得，解得，所以， 由三棱锥的外接球即为为棱的长方体的外接球， 因为，可得对应长方体的对角线长为， 所以的外接球的半径为， 可得球心为长方体的对角线的中点，所以， 设平面的法向量为， 由，令，则，所以， 因为，所以向量与平面的法向量为垂直，则， 即，解得，所以A正确； 对于B，当时，可得，此时点为的中点， 因为点为中点，可得， 在正方体中，可得，所以， 此时过点的平面截正方体的截面为等腰梯形，所以B不正确； 因为正方体的棱长为，可得， 设等腰梯形的高为， 则， 所以等腰梯形的面积为，所以C正确； 对于D，因为正方体的棱长为，可得其体积为， 又因为分别为的中点， 根据棱台的定义，可得多面体为三棱台， 且，高， 可得三棱台体积为， 所以较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积比为，所以D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线l经过点，且向量为l的一个单位方向向量，则点到l的距离为________. 【答案】 【分析】根据已知条件可求得与直线所成的角的正弦值,则空间一点到直线的距离为，代入运算即可. 【详解】 ，故，， 设直线与直线所成的角为 ，则， 故 ， 点到直线 的距离为. 故答案为：． 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用向量法确定的位置，结合空间距离可求外接球球心坐标，从而可得外接球半径，故可求其表面积. 【详解】 根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ， 设平面的法向量为，则，取， 因为平面，故，故即，故 设三棱锥外接球的球心坐标为，由得： ，整理得：， 故，故外接球半径为 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 14．（23-24高三上·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可； （2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值. 【详解】（1）因为空间向量， 所以， 所以； （2）由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 16．（2025·湖南益阳·三模）如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且． (1)证明； (2)若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值． 【答案】(1)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，且． 平面，平面， ∴平面， ∵平面平面，平面， ∴． 又，，， 由余弦定理得， ∵， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴ (2) 【分析】（1）先得到平面，根据线面平行的性质得到线线平行，由余弦定理和勾股定理逆定理得到，进而，平面，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两个平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）略 （2）由题意，以A点为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ，，， 平面PCB中，，， 设为面PCB的一个法向量， 则，令，则， ∴， 平面ABE中，， ，， 设为面ABE的一个法向量， 则，解得，令，则， ∴ 设面PCB与面ABE所成角为θ， 则， 所以面PCB与面ABE所成夹角的余弦值为 17．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值. （2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得. 【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （2）在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（1）知，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴， 即， 整理得，，解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 18．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． (2)存在；或 【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到面，最后再由线面垂直的判定定理可得； （2）由几何关系建立如图所示空间直角坐标系，求出面的一个法向量，代入空间点到面的距离公式解一元二次方程可得. 【详解】（1）略 （2）面，，四边形为菱形， 取的中点为，连接，，为等边三角形． ．又，． 又平面，． 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设为面的一个法向量， 则  令，则． 设为点到面的距离， 则． ，即或． 故存在或，满足题意． 19．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 延长和交于点Q，连接， 则平面与平面的交线为直线.理由如下： 因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线. (3) 【分析】（1）取的中点G，通过证明平面可求四棱锥的体积. （2）延长和，设交点为Q，连接，根据点均在两个平面内可说明直线为平面与平面的交线； （3）分析得到，建立空间直角坐标系，表示平面PAM和平面的法向量，计算两平面夹角的余弦值，通过分析函数可求出余弦值的最小值. 【详解】（1）取的中点G，连接， 因为，所以，，. 因为三角形为等边三角形，所以， 所以，故， 因为平面，，所以平面， 因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2）略 （3）由（1）得，，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，且平面平面. 在平面中，过点D作，则平面， 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 过P作于点H， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，     设平面的法向量为， 因为 则， 令，则， 设平面PAM和平面PBC的夹角为， 则 令，则，所以， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值，最大值为， 此时有最小值，最小值为， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（培优篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．（2025·山西·三模）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北邢台·阶段检测）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 11．（2026·安徽池州·二模）如图，在棱长为1的正方体中，，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥的外接球球心，则（   ） A． B．S为五边形 C．S的面积为 D．S分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线l经过点，且向量为l的一个单位方向向量，则点到l的距离为________. 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 14．（23-24高三上·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 16．（2025·湖南益阳·三模）如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且． (1)证明； (2)若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值． 17．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 18．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $