山西省2026-2027学年北师大版数学九年级上册月考自测(范围：第一章、第二章)

山西省2026——2027学年第一学期月考自测 九年级数学(北师版) (范围：九上第一章、第二章) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) A.2x+1=3 C. x+y=5 2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,则AC的长为 ( ) A.6 D.3 3.如图是一座房屋的侧面示意图，房屋主体BDEC为矩形，屋顶AF，AG架在墙体的点B，点C处,且AB=AC.若∠FBD=55°,则∠A的度数为( ) A.110° B.120° C.130° D.145° 4.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) 5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E.若∠A=35°,则∠DCE的度数为 ( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 6.若x₁，x₂是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则下列结论成立的是 ( ) A. B. C. D. 7.如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=4,点E在BC边上,连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F落在BC的延长线上，则CF的长为 ( ) A.2 B. C. D. 8.某市教育局举办青少年科创大赛，5月份收到的投稿数量为350份，7月份收到的投稿数量为504份.若6月份和7月份收到投稿数量的月增长率相同，设6月份和7月份收到投稿数量的月增长率为x，则可列方程为 ( ) A. B.350(1+x)=504 C.350(1+2x)=504 D. 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B在y轴正半轴上，顶点C，D均在第一象限内，且点D的坐标为(7，3)，则点C的坐标为 ( ) A.(3,7) B.(4,7) C.(3,4) D.(4,3) 10.已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程： 的根，则这个三角形的周长为 ( ) A.10 B.12 C.9或11 D.10或12 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为 . 12.如图，以正方形ABCD的边CD为边，在右侧作等边三角形CDE，连接BD，则∠BDE的度数为 °. 13.如图是由若干个完全相同的小圆按一定的规律组成的一组图案，其中第1个图案中有4个小圆，第2个图案中有8个小圆，第3个图案中有14个小圆，第4个图案中有22个小圆，……按此规律排列下去，第n个图案中有158个小圆，则n的值为 . 14.如图,在菱形ABCD中,连接BD.点P为线段BD上一点,过点P分别作PE⊥BC于点E,作PF⊥CD于点F.若AB=5. BD=4 ,则PE+PF的值为 . 15.如图,在矩形ABCD中,AD=9,点E,F分别是AB,AD边上的点,连接EF,将△AEF沿EF折叠得到△GEF，点A的对应点G落在BC上，延长FE与CB的延长线交于点H.若DF=BH=2,则AB的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)解方程. 17.(本题7分)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为BC,CD边上的点,连接AE,AF,且∠AEC=∠AFC.求证:AE=AF. 18.(本题7分)下面是小李同学用因式分解法解一元二次方程的过程，请认真阅读，并回答下列问题. 解:原方程可化为2x(3x-1)=-(3x-1). …第一步 两边同时除以(3x-1),得2x=-1. …第二步 系数化为1，得 …第三步 任务： (1)小李的解法中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 . (2)请写出解这个方程的正确步骤. 19.(本题7分)2026年端午节期间，为提升游客的游玩体验，晋阳湖公园内设置了一块矩形露营区域.已知该露营区域的长比宽多12m，面积为364m²，求该露营区域的长和宽分别为多少米. 20.(本题10分)如图,在矩形ABCD中,点E为BC上一点,连接AE,DE,过点D作DF⊥AE于点F,AB=DF. (1)求证:AE=AD. (2)若AD=10,AB=6,求DE的长. 21.(本题10分)阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务. 直角等邻对补四边形 【概念理解】 若在一个四边形中，有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，则称该四边形为“直角等邻对补四边形”.例如，如图1，在四边形ABCD中，AB=BC,∠B+∠D=180°,∠B=90°,则四边形ABCD为直角等邻对补四边形. 【问题解决】 如图2,已知四边形ABCD为直角等邻对补四边形,AB=BC,AD>AB>CD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥BE于点F,求证:BF+CD=DE. 证明:∵四边形ABCD为直角等邻对补四边形,AB=BC,AD>AB>CD, ∴∠ABC=90°,∠ABC+∠D=180°. ∴∠D=90°. ∵BE⊥AD,CF⊥BE, ∴∠AEB=∠BED=90°,∠BFC=∠CFE=90°. ∴四边形CFED是矩形(依据). …… 任务： (1)上述材料中的“依据”指的是 . (2)请将【问题解决】中的证明过程补充完整. (3)如图3，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，作直角等邻对补四边形BEFC，使得点F在CD边上(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母). 22.(本题11分)旅行有助于缓解压力，是当下很受欢迎的户外休闲方式.某旅行用品专卖店销售一款多功能旅行背包，该款背包的进价为50元/个，当售价定为80元/个时，平均每月可售出120个.为尽快减少库存，该专卖店决定降价促销.经市场调研发现，若该款背包每个的售价每降低2元，月平均销售量就相应增加10个. (1)若该专卖店想通过销售这款背包每月获得3400元的利润，则该款背包的售价应定为多少? (2)该专卖店销售这款背包每月能够获得3700元的利润吗?若能，请求出此时的售价；若不能，请说明理由. 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：如图，正方形ABCD与正方形AEFG的点A重合，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，连接DG，BE.已知正方形ABCD的边长为4，正方形AEFG的边长为2 推理证明:(1)利用图1求证:△ADG≌△ABE. (2)如图2，当点G在正方形ABCD内部，且DA=DG时，连接EG.将线段EB绕点B逆时针旋转90°得到线段EB',连接DB'.求证:四边形DB'EG为菱形. 拓展延伸：(3)在正方形AEFG旋转的过程中，连接CF，当C，F，E在同一条直线上时，直接写出CF的长. 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A A C D B B 二、填空题 11.-7 12.105 13.12 14.4 15.3 三、解答题 16.解:(1)移项,得 配方，得 即 两边开平方，得. 或 即 (2)这里a=2,b=3,c=-3. 即 17.证明:∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. ∵∠AEC=∠AFC, ,即∠AEB=∠AFD. 在△ABE和△ADF中,∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AB=AD,. ∴△ABE≌△ADF. ∴AE=AF. 18.解:(1)二 方程两边同时除以了值可能为0的式子 (2)原方程可化为2x(3x-1)=-(3x-1). ∴2x(3x-1)+(3x-1)=0. ∴(2x+1)(3x-1)=0. ∴2x+1=0,或3x-1=0. 19.解:设该露营区域的宽为 xm,则长为(x+12)m. 根据题意,得x(x+12)=364. 解得 (舍去). 14+12=26(m). 答：该露营区域的长为26m，宽为14m. 20.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形, ∴∠B=90°,AD∥BC. ∴∠AEB=∠DAF. ∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°. ∴∠B=∠AFD. 又∵AB=DF,∴△AEB≌△DAF. ∴AE=AD. (2)∵四边形ABCD为矩形, ∴AD=BC=10,AB=CD=6,∠B=∠C=90°. 由(1)知,AE=AD=10. 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 ∴CE=BC-BE=10-8=2, 在Rt△DCE中，根据勾股定理，得 21.解：(1)有三个角是直角的四边形是矩形 (2)∴CD=EF,DE=CF. ∵∠ABC=90°,∠AEB=90°, ∴∠ABE+∠CBF=90°,∠ABE+∠A=90°. ∴∠A=∠CBF. 又∵∠AEB=∠BFC,AB=BC, ∴△ABE≌△BCF(AAS). ∴BE=CF. ∴BE=DE. ∵BE=BF+EF=BF+CD, ∴DE=BF+CD. (3)作法不唯一，如答图，四边形BEFC即为所作. 22.解：(1)设该款背包的售价定为x元/个. 根据题意，得 化简，得 解得 ∵要尽快减少库存,∴x=70. 答：该款背包的售价应定为70元/个. (2)不能. 理由如下：设该款背包的售价为m元/个时，该专卖店销售这款背包每月能够获得3700元的利润. 则( 化简，得 这里a=1,b=-154,c=5940. ∴原方程没有实数根. ∴该专卖店销售这款背包每月不能获得3700元的利润. 23.解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形, ∴AD=AB,AG=AE,∠DAB=∠GAE=90°. ∴∠DAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB,即∠DAG=∠BAE. ∴△ADG≌△ABE(SAS). (2)由(1)得△ADG≌△ABE, ∴DG=BE,∠DGA=∠BEA. 由旋转可得B'E=BE,∠BEB'=90°. ∴DG=B'E,∠DGA+∠AEB'=∠BEA+∠AEB'=∠BEB'=90°. ∵四边形AEFG为正方形， ∴∠DGE+∠B'EG=∠DGA+∠AGE+∠AEG+∠AEB'=180°. ∴DG∥B'E. 又∵DG=B'E, ∴四边形DB'EG为平行四边形. ∵DG=AD=EG=4, ∴▱DB'EG为菱形. 月考自测(一)数学(北师版)第8页(共8页) 学科网（北京）股份有限公司 $