精品解析：山西省大同市第七中学校2024-2025学年上学期九年级第二次阶段测试数学试题

2024～2025学年大同七中第一学期 九年级数学第二次阶段性检测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 3. 四张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3、4，从中随机一次抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，把绕点顺时针旋转35°得到，，交于点，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 6. 点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的面积为，点E在上，点G在的延长线上，四边形是正方形，以B为圆心，长为半径画弧，连接，则图中阴影部分面积为　　． A. B. C. D. 8. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为_____． 12. 点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 13. 如图，直线l与⊙O相切于点C，A、B、D均在⊙O上，OA∥l，∠BDC=85°，则∠BAO的度数为_____． 14. 已知A，B，C是反比例函数图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积总和是________.（用含π的代数式表示） 15. 如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 17. 为了进一步贯彻落实习近平总书记关于弘扬中华优秀传统文化的指示精神，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如中国谜语大会、中国成语大会、中国汉字听写大会、中国诗词大会，节目受到了广大观众的普遍欢迎，我市某校拟举行语文学科节，校语文组打算模拟其中一个节目开展一次竞赛活动，在全校范围内随机抽取了部分学生就“在这四个节目中，你最喜欢的节目是哪一个？”的问题进行了调查，要求只能从“A：中国谜语大赛，B：中国成语大会，C：中国汉字听写大会，D：中国诗词大会”中选择一个选项，他们根据调查结果，绘制成了如下两幅不完整的统计图： 请你根据图中信息，解答下列问题： 扇形统计图中，______，D选项所对应的圆心角度数为______； 请你补全条形统计图； 若该校共有2000名学生，请你估计其中选择D选项的学生有多少名？ 若九年级一班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择2名同学代表班级参加学校的比赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率． 18. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时自变量的取值范围． 19. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 20. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 21. 阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中即为弦切角．同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，点A是优弧BC上任意一点，DB切于点B，求证：． 证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴________ ∴． ∵是直径， ∴_____________（依据）． ∴． ∴________________（依据）． 又∵________________（依据）， ∴． （1）将上述证明过程及依据补充完整． （2）如图3，的顶点C在上，AC和相交于点D，且AB是的切线，切点为B，连接BD．若，求BC的长． 22. 足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点处，面对高度为的足球球门，守门员位于点处，的延长线与球门线交于点，足球飞行路线可看成抛物线，点，均在抛物线下方．已知，，足球飞行的水平速度为．水平距离（）与离地高度（）的数据如下表： （） （） （1）求关于的函数解析式，不需要写自变量取值范围； （2）在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； （3）守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于视为防守成功，已知守门员运动速度为，问守门员能否成功防守？请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年大同七中第一学期 九年级数学第二次阶段性检测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：第1个图形既是轴对称又是中心对称图形，第2个图形既不是轴对称又不是中心对称图形，第3个图形是轴对称但不是中心对称图形，第4个图形既是轴对称又是中心对称图形， 综上可知，共有2个图形既是轴对称又是中心对称图形． 故选：B． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，再根据方程有实数根，利用判别式列不等式求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程， ∴， 又∵该方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的取值范围是且． 3. 四张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3、4，从中随机一次抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵共有4张外观相同的卡片，随机抽出一张，所有等可能的结果共4种，其中卡片上的数字是偶数的结果共2种， ∴这张卡片上的数字是偶数的概率是． 4. 如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键． 5. 如图，把绕点顺时针旋转35°得到，，交于点，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的定义和性质可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】由旋转的定义和性质得： 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 6. 点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵， 点在第二象限，B、点在第四象限， ∴，， ． 故选：B． 7. 如图，正方形的面积为，点E在上，点G在的延长线上，四边形是正方形，以B为圆心，长为半径画弧，连接，则图中阴影部分面积为　　． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积． 根据正方形的性质得出，，，设，则阴影部分的面积，代入求出即可． 【详解】解：四边形和四边形是正方形，且正方形的面积为， ，，， 设， 则阴影部分的面积 ， 故选C． 8. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过作于，设，得，，可得，即得，，进而根据矩形的面积列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绕点A逆时针旋转得到可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， 点A的坐标为， ， 设则， ， 解得：， ， 过点D作轴如图： ，， 点D坐标为， 点D在反比例函数上， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣1的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点A（a，b）在反比例函数y＝，可以求得ab的值，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上， ∴b＝，得ab＝3， ∴ab﹣1＝3﹣1＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 12. 点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 13. 如图，直线l与⊙O相切于点C，A、B、D均在⊙O上，OA∥l，∠BDC=85°，则∠BAO的度数为_____． 【答案】50° 【解析】 【分析】连接OC, 由OA//l, 可知∠AOC=∠OCE=,根据等腰直角三角形的性质可知∠OAC=, 又∠BDC=, 可知∠BAC的度数, ∠BAC-∠OAC即为所求. 【详解】解：连接OC， OA//1,直线1与圆0相切于点C, ∠AOC=∠OCE=,OA=OC, ∠OAC=, ∠BAC+∠BDC=, ∠BDC=, ∠BAC=, ∠BAO=∠BAC-∠OAC=-=. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查切线的性质及角度间的计算. 14. 已知A，B，C是反比例函数图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积总和是________.（用含π的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，根据题意得出三个整点的坐标分别为，然后结合图形分别求出每个图形的面积求和即可 【详解】解：∵A，B，C是反比例函数图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点）， ∴三个整点的坐标分别为， ∴三个正方形的边长分别为1，2，1， ∴它们的阴影部分面积分别为、、， ∴阴影面积总和为， 故答案为： 15. 如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长GE交BC的延长线于点H，易得△GDE≌△HCE，由全等三角形的性质可得HE=GE，CH=DG，则由垂直平分线的性质定理得GF=HF；由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠BCD=90°，CD=6， ∴∠D=∠ECH=90°， ∵E为DC的中点， ∴， 在Rt△GDE中，由勾股定理得：， 如图，延长GE交BC的延长线于点H， 在△GDE和△HCE中， ， ∴△GDE≌△HCE， ∴，CH=DG=2， 即点E是GH的中点， ∵ ∴由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2， 在Rt△HEF中，由勾股定理得：， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：， 由上可得方程：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【小问1详解】 解：   代入求根公式得  ∴， 【小问2详解】 解： 整理得   因式分解得  ∴或  解得， 17. 为了进一步贯彻落实习近平总书记关于弘扬中华优秀传统文化的指示精神，央视推出了一系列爱过益智竞赛节目，如中国谜语大会、中国成语大会、中国汉字听写大会、中国诗词大会，节目受到了广大观众的普遍欢迎，我市某校拟举行语文学科节，校语文组打算模拟其中一个节目开展一次竞赛活动，在全校范围内随机抽取了部分学生就“在这四个节目中，你最喜欢的节目是哪一个？”的问题进行了调查，要求只能从“A：中国谜语大赛，B：中国成语大会，C：中国汉字听写大会，D：中国诗词大会”中选择一个选项，他们根据调查结果，绘制成了如下两幅不完整的统计图： 请你根据图中信息，解答下列问题： 扇形统计图中，______，D选项所对应的圆心角度数为______； 请你补全条形统计图； 若该校共有2000名学生，请你估计其中选择D选项的学生有多少名？ 若九年级一班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择2名同学代表班级参加学校的比赛，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）12，129.6（2）见解析（3）720（4） 【解析】 【分析】（1）求出D类所占的百分比即可求出m的值；由D类的人数即可求出D选项所对应的圆心角度数； （2）求出C选项的人数即可补全条形统计图； （3）由样本中D选项所占的百分比即可求出该校共有2000名学生，选择D选项的学生数； （4）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解． 【详解】解： （1）总人数=44÷22%=200人，所以D选项的百分比=×100%=36%， 所以m=1-36%-22%-30%=12%；，D选项所对应的圆心角度数=×360°=129.6° 故答案为：12，129.6； （2）补全图形如图所示： 因此，全校选择D选项的学生共有720人. （4）画树形图得： 由表知，共有12种等可能的结果，而甲、乙同时被选中的结果有2种， 所以，甲和乙同学同时被选中的概率为P = 18. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）6 （3）或者 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求出反比例函数解析式；根据点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点，求出点坐标为，再利用待定系数法即可作答； （2）联立，求出的坐标． 再利用即可作答； （3）根据图象，数形结合即可作答． 【小问1详解】 将代入， 得：， 解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点， ∴点坐标为， 将、代入一次函数， 得：， 解得：， 即一次函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 联立， 解得，， 即的坐标． 又∵， 则的面积是， 即所求面积为6； 【小问3详解】 时自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，如图， 结合图象可得：或者． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图像解不等式．熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出点C的坐标是解（2）（3）的关键． 19. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时， ， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 20. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 21. 阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中即为弦切角．同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，点A是优弧BC上任意一点，DB切于点B，求证：． 证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴________ ∴． ∵是直径， ∴_____________（依据）． ∴． ∴________________（依据）． 又∵________________（依据）， ∴． （1）将上述证明过程及依据补充完整． （2）如图3，的顶点C在上，AC和相交于点D，且AB是的切线，切点为B，连接BD．若，求BC的长． 【答案】（1）90°；直径所对的圆周角是直角；同角的余角相等；同弧所对的圆周角相等 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质以及圆周角的性质以及同角的余角相等的性质解决问题即可；、 （2）利用第一问的结论，证明出，得到，代入数值，先求出AB的值，再求出BC的值即可． 【小问1详解】 证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴ 90° ∴． ∵是直径， ∴（直径所对的圆周角是直角） ∴． ∴（同角的余角相等）． 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴． 故答案为：90°；直径所对的圆周角是直角；同角的余角相等；同弧所对的圆周角相等． 【小问2详解】 解：由题意，可知． ∵， ∴． ∴， ∴ ∴，（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质，还考查了相似，同时善于运用已经证明的结论解决问题是解题的关键． 22. 足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点处，面对高度为的足球球门，守门员位于点处，的延长线与球门线交于点，足球飞行路线可看成抛物线，点，均在抛物线下方．已知，，足球飞行的水平速度为．水平距离（）与离地高度（）的数据如下表： （） （） （1）求关于的函数解析式，不需要写自变量取值范围； （2）在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； （3）守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于视为防守成功，已知守门员运动速度为，问守门员能否成功防守？请说明理由． 【答案】（1）； （2）能把球踢进，理由见解析； （3）不会防守成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，用顶点式假设出抛物线的解析式，再把代入计算即可求解； （）能把球踢进．求出时的值，与比较即可求解； （）不会防守成功．设守门员后退到足球正下方所需时间为秒，根据，求得，可得守门员后退到足球正下方距离原点为，求出时的值，与最大防守高度为比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：能把球踢进，理由如下： 当时，， ∴在守门员不防守的情况下，进攻球员能把球踢进； 【小问3详解】 解：不会防守成功，理由如下： 设守门员后退到足球正下方所需时间为秒，则， 解得， ∴守门员后退到足球正下方距离原点为， 当时，， ∵最大防守高度为，. ∴这次守门员不会防守成功． 23. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】 （1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $