山西太原市第五中学校2026--2027学年度第一学期10月学情自测九年级数学试卷

九年级数学阶段知识落实 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C D B A C A B 0 A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.(x-3)2=15 12.1.2<x<1.3 13.16v5 14.2 15.16v2 5 三、解答题（共7小题，共55分） 16.(8分)解方程 (1)xx-4)=2x-8。 去括号、移项：x2-4x=2x-8,整理得x2-6x+8=0。 因式分解得（区-2）x-4)=0,∴.x1=2,x2=4。 (2)4x2+2x-1=0。 :a=4,b=2,c=-1,4=22-4×4×(-1)=4+16=20>0。 x=装=2，即x1=其，x2=1: 2×4 8 4 17.(6分) 证明：连接BD,交AC于点O。 ,四边形ABCD是正方形，.AC上BD,且AO=CO,BO=DO。 AE=CF,∴.AO-AE=CO-CF,即OE=OF。 .又BO=DO,OE=OF,且EF⊥BD, .四边形BEDF是平行四边形；又EF⊥BD, .四边形BEDF是菱形。 18.(7分) 解：设草坪的宽度为x米。 由题意，每个花圃的高为(24-2x)米，每个花圃的宽为30,3x米。 依题意得2×(24-2x)×30,3丞=480，即(24-2x)30-3x=480。 整理得6x2-132x+240=0,即x2-22x+40=0。 解得x1=2,x2=20。 花圃的高24-2x>0,∴.X<12,故x2=20舍去。 答：两个花圃之间的草坪宽度为2米。 19.(8分) (I)作图（略）：连接BD,作线段BD的垂直平分线，分别交AD于点E、交BC于点F,连接 BE、DF,则EF即为所求折痕。 (2)四边形BEDF是菱形。 (3)DE的长为百（即9.375）。 简析(3)：由折叠知BE=DE,设DE=x,则AE=12-x。在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2, 即92+12-刘2=x2,解得x=日 20.(9分)项目式学习一一探索销售中的定价问题 （1)每套的利润为(20+x)元；此时平均每天可卖出(100-2.5x)套。 说明：成本40元/套，售价(60+x)元/套，故每套利润=60+x-40=20+x;每涨价2元少卖5 套，则涨价x元少卖x套。 (2)依题意得(20+x)(100-2.5x)=2210。 整理得x2-20x+84=0,解得x1=6,X2=14。 ,售价不得超过70元/套，∴.60+x≤70，即x≤10，故x2=14舍去。 .x=6,此时售价为60+6=66（元/套)。 答：应将售价定为66元/套（即涨价6元）。 21.(9分)阅读材料，并完成相应任务 任务一：B(数形结合思想) 任务二（1)：作图（略）。将方程x2+4x=32变形为x区+4)=32(x>0),画四个长为 (区+④、宽为x的矩形，按“空心”正方形的方式拼成一个大正方形（大正方形的边长为x+(区+4） =2x+4),中间留出一个边长为4的小正方形。 任务二(2)：由拼图可知，大正方形的面积=四个矩形的面积之和+中间小正方形的面积，即 (2x+4)2=4x(K+4)+42=4×32+16=144,.2x+4=12(x>0),解得正数 解为x=4。 任务三：8。 简析（任务三）：设矩形的长、宽分别为a、b(a>b)。由“大正方形面积+小正方形面积=104”，弦图中 (a2+b2)+(a-b)2=104,得a2+b2-ab=52:由“长宽各增加2后面积增加24"， (a+2)b+2)-ab=24,得a+b=10。联立解得b=16,∴.a、b是方程t2-10t+16=0的两根， 即a=8,b=2。故原矩形最长边的长度为8。 22.(8分)综合与探究一一探究折叠中的数学问题 (1)四边形ABEF是菱形。 理由：由折叠可知AF=AB,EF=EB。,四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,.AF∥BE, .∠FAE=∠AEB。 又∠FAE=∠BAE(折叠)，∴.∠BAE=∠AEB,∴.AB=BE。 ∴AB=BE=EF=FA,∴.四边形ABEF是菱形。 (2)GD的长为3。 简析(2)：以B为原点，BC所在直线为x轴、BA所在直线为y轴建立坐标系，则A(O,4)、B(0,0)、C(6,0) D(6,4)。E是BC中点，∴E3,0)。直线AE的解析式为4x+3y=12,B关于AE的对称点为F(3.84,2.88)。 由C、F两点可得直线CF,延长交AD(y=4)于点G3,4),故GD=6-3=3。 (3)配的长为12-8V2或5， 简析3)：设E60)0≤t≤6》，则B关于A证的对称点为F(,G,6).当△CDF是以DP为胺 的等腰三角形时.分两种情况：①DP=D=6,解得t=12-8V2,②DP=CP.解得t=,故 BE=12-8V2或BE-w5。 3。太原五中2026一2027学年度第一学期 九年级数学阶段知识落实 (2026.10) 一.选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.一元二次方程22-5=x的二次项系数和一次项系数分别是( 新 A.2,-5 B.2,1 C.2,-1 D.2,0 2.如图，□4BCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件能使□ABCD成为菱形 的是( A.AB=AC B.AC=BD B 却 C.∠ABC=90° D.AC⊥BD 第2题 3.关于一元二次方程入2-3x+2=0的根的情况，下列结论正确的是( 啡 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 杯 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 飞 4.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH 是中点四边形，若对角线AC=BD,则中点四边形EFGH是( 默 A.平行四边形 B.菱形 森 C.矩形 D.正方形 第4题 年 5.我们解一元二次方程2x2-8x=0时，可以运用因式分解法，将其化为2x（x-4)=0, ..… 从而得到2x=0或x-4=0,进而得到原方程的根为x1=0,2=4.这种解法体现的 都 数学思想是( A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分线段BO,垂足 Q 为点E,若BD=8,则线段AE的长为() A.2 B.3 E C.2V3 D.4 第6题 初三数学第1页，共6项 7.设，是一元二次方程3x242x-1=0的两个根，则代数式+的值为（) A.2 B.-2 C. D.-月 8.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB=E, 若∠BAE=50°·连接DE,则∠BED的度数为() A.50° B.45 C.43 D.55° 第8题 9.1月8日至1月10日某市举行了图书订货会，活动期间，入场观众超过10万人次.在 活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次， 若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率，设进馆人次的每天减少率为 x,依题意可列方程为() A.4(1-x)2=10 B.4（1-x)+4(1-x)2=10 C.4(1-x-x2)=10 D.4+4(1-x)+4(1-x)2=10 10.如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边CD上，且DM=4, 点N是对角线AC上一点，则DN4MN的最小值为() A.20 B.18 C.25 D.4V5 第10题 二.填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.将一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为(x+m)2=n的形式为 12.根据下表的对应值，可估算方程x2+2x-4=0的一个根x的范围是 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x-4 -1 -0.59 -0.16 0.29 0.76 13.如图，口ABCD对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边 A 三角形，若AB=4,则口ABCD的面积为 第13题 初三数学第2页，共6页 14.今年某小区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到 了很大改善.某小区规划在如图长为32m,宽为20m的矩形地 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草 坪.要使草坪的面积为540m2,则道路的宽是 第14题 15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边CD上的一点，且DE=1 把△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△CDF,延长BE交DF 于点G,连接AG,则AG的长为 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 第15题 16.解方程：(1)x(x-4)=2x-8.(2)4x2+2x-1=0. 17.已知：如图，点E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF 求证：四边形BEDF是菱形. 18.如图，在一块长是30m、宽24m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩 形花圃，其余的铺设草坪，两个花圃的面积之和为480m2,且花圃四周以及两个花 圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度、 花圃 花圃 初三数学第3页，共6页 19.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=9cm,BC=12cm,将矩形纸片折叠，使点B与点 D重合，折痕与边AD,BC分别交于点E,F (1)尺规作图：画出折痕EF.(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BE,DF,则四边形BEDF是 (填写菱形，矩形或者正方形) (3)直接写出边长DE的长为 时 学 0.项目式学习 席 项目主题 探索销售中的定价问题 母 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误， 意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感迅速走红，两 习 项目背景 款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台.某商场店铺老板（店 主)瞄准商机，准备购进“哭哭马+笑笑马”组合套装进行售 茄 卖 啥 该老板（店主)以40元/套的成本购进一批“哭哭马+笑笑马”，现按60元 套的价格进行销售，平均每天可以卖出100套，为了提高利润，经市场调 市场调研 研发现，组合套装每涨价2元，每天会少卖出5套，且商场规定组合套装 的价格不得高于0元/套，设老板（店主）准备将每个套装涨价x元.： (1)当涨价x元时，每个套装“哭哭马+笑笑马”的利润为 元， 分析问题 此时平均每天可卖出 套 （2)若老板（店主）想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应 解决问题 该如何定价？ 初三数学第4页，共6页 21.阅读材料，并完成相应的任务 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x- 35=0(x>0)为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2+2x-35=0(x>0)变形为x(x+2)=35 +2 (x>0): x+2 舒 第二步：画四个长为x+2,宽为x的矩形，按如图1所示的方式 x+2 拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 (x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面 1x+2 北 积之和，即4x（x+2)+22=4×35+4: 图1 第三步：得新方程(x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12, 即x=5. 景 任务一： 这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 (填字母序号即可) 数 A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.公理化思想 对 任务二： 长 根据上述材料请你用几何方法求方程x2+4x=32的正数解，要求如下： (1)在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度. 区 画出图形： 函 弃 Q 年 (2)根据(1)所画图形直接写出方程x2+4x=32的正数解为 任务三： 如图2，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形， 内部围成一个小正方形.已知大正方形面积与内部小正方形面 积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形 的面积比原来增加24.则原矩形最长边的长度为 图2 初三数学第5页，共6页 22.综合与探究一探究折叠中的数学问题 问题情境：在矩形ABCD纸片中，AB=4,BC=6,E在BC边上. 猜想证明： (1)如图（1)，将矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点B落在AD边上的点F 处，展平后得到折痕AE,判断四边形ABEF的形状，并说明理由： (2)如图(2)，点E为BC中点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为点F, 连接CF并延长，交AD于点G,求GD的长； 拓展延伸： (3)如图(3)，点E变为BC边上一动点，仍将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为点F, 连接CF、DF.当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，直接写出BE的长， A F D A G B E E 图(1) 图(2) 图(3) 初三数学第6页，共6页