精品解析：上海市徐汇区中国中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

2026学年第一学期高一数学第一次阶段测试 2026.10.08 限时90分钟 满分100分 一，填空题（16每题3分，7-12每题4分，共42分） 1. 用适当的符号填空：1_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为1是集合中的元素，所以. 2. 命题：空集是任何集合的真子集，此命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据空集的性质判断. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以命题：空集是任何集合的真子集为假命题. 故答案为：假. 3. 已知集合，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，， 所以 . 4. 用反证法证明命题“已知为正数，为正整数，求证：如果，那么”时，应当作出的假设为：“假设___________________”. 【答案】 【解析】 【详解】反证法的核心逻辑是：先否定原命题的结论，再通过推导引出矛盾，从而反证原结论成立. 本题中原命题的结论是“”，对这个结论的全盘否定就是“不大于”，即，故应假设. 5. 用列举法表示集合：_________. 【答案】 【解析】 【详解】，故或1， 当时，，当时，，所以集合为. 6. 某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 【答案】41 【解析】 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 7. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解. 【详解】因为不等式的解集是， 在上恒成立， ，即． 故答案为: . 8. 已知关于x的方程的两个实数根分别为，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理得出两根和与积，把变形为，结合已知条件构造方程求m，再结合题意用判别式验证求实数． 【详解】方程的两个实数根满足： ， 则，整理得， 解得或， 当时，，无实根，舍去； 当时，，符合题意， 故实数． 9. 已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，结合两个条件联立求解实数 的取值范围 【详解】当时，需满足，即，解得， 当时，需满足，即， 且 ，因此实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由已知不等式的解集确定、的关系与符号，再代入目标不等式化简，最后解二次不等式得到结果. 【详解】由不等式的解集为，得且，即. 将代入不等式，得. 因，不等式等价于. 二次不等式的零点为和， 结合二次函数开口向上的性质，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为： 11. 已知实数满足，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的意义，方程共有个根，但仅有个不同的值，说明存在一个重根.为使5个数的和最大，选取最大数作为重根，计算可得和的最大值. 【详解】由集合可知： 5个实数​的不同取值只有，即这5个数均从中选取. 集合有4个元素，说明每个数至少出现一次，因此恰好有一个数重复出现两次，其余三个数各出现一次. 要让5个数的总和最大，应让重复出现两次的数取集合中的最大值4，此时5个数为，总和为，即所求最大值为14. 12. 定义集合运算“”：，称为，两个集合的“卡氏积”，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由，，得；再根据“卡氏积”的定义分别求得，，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以，又因为，所以. 由“卡氏积”的定义可知， 所以 二､选择题（13､14每题3分，15､16每题4分，共14分） 13. “⫋”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】⫋，充分性成立， 时，不能推出⫋，必要性不成立， 故“⫋”是“”的充分不必要条件. 14. 已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及作差法判断不等式的大小，即可判断选项. 【详解】对于A选项，若，则，当时等号成立，故A错误； 对于B选项，，因为，则， 当、同号时，，则，即， 当、异号时，，则，即，故B错误； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，若，则，，故D正确. 15. 以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式判断每个代数式，验证等号能否成立，统计最小值等于2的代数式个数． 【详解】（1）仅当同号时，，由基本不等式得； 若异号，，故，此时最小值不是2； （2）中，，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2； （3）令，则，函数化为，对勾函数在上单调递增， 最小值为，等号成立条件无法取到，故最小值不是2； 综上，最小值为2的代数式有1个． 16. 已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】B 【解析】 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 三､解答题（17､18题题各6分，19､20题各10分，21题12分，共44分） 17. 解下列关于的不等式组：. 【答案】 【解析】 【分析】分别求解绝对值不等式与分式不等式，再取解集的交集即为不等式组的解集. 【详解】根据绝对值不等式的性质解得：，解得：. 分式不等式等价于，解得：或. 取两个解集的交集得不等式组的解集为. 18. 比较多项式与的大小. 【答案】当或时，；当或时，；当时，. 【解析】 【详解】作差： 令，得，. 当或时，，即； 当或时，，即； 当时，，即. 19. 已知集合，集合为实常数； （1）若，若全集为实数集，求集合（用区间形式表示）； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将代入不等式，移项通分后解分式不等式得到集合，再求其补集； （2）由按与的大小关系分三种情况讨论集合，结合分别求出的范围. 【小问1详解】 由题意，，, 将不等式化简： 即： 因为，不等式为： 解得，所以 因此：，即. 【小问2详解】 因为，由，分情况讨论： ①当，即时：， 要使，需，即，与矛盾，舍去； ②当，即时： 要使，需，即，所以 ③当，即时：，满足， 综上，实数的取值范围为. 20. 某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. （1）当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； （2）在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】（1）140万元 （2）每本不低于30元且不高于45元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）设杂志的定价为每本元，由题意得，进而解不等式即可. 【小问1详解】 当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. 【小问2详解】 设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 21. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：，则， 故； ， 故； 故，即. 【解析】 【分析】（1）利用题目给的定义，注意到，所以可分两种情况：或，分别代入B集合中即可求解. （2）利用题目给的定义，m，n的取值可分3种情况：或或m与n分别取2和a，分别代入B集合中，根据集合的子集个数确定集合的元素个数，进而列方程确定a的取值. （3）根据A集合的范围和B集合的定义，利用不等式的性质分别证明和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 的子集个数为4个，故集合的元素有2个. 当时，； 当时，； 当m与n分别取2和a时，； ①，解得（舍）或； ②，解得（舍）； ③，解得（舍）或，或， 综上所述：，，或，即. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高一数学第一次阶段测试 2026.10.08 限时90分钟 满分100分 一，填空题（16每题3分，7-12每题4分，共42分） 1. 用适当的符号填空：1_________. 2. 命题：空集是任何集合的真子集，此命题是______命题（填“真”或“假”） 3. 已知集合，则_________. 4. 用反证法证明命题“已知为正数，为正整数，求证：如果，那么”时，应当作出的假设为：“假设___________________”. 5. 用列举法表示集合：_________. 6. 某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 7. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________． 8. 已知关于x的方程的两个实数根分别为，若，则实数_________． 9. 已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 10. 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 11. 已知实数满足，则的最大值为_________. 12. 定义集合运算“”：，称为，两个集合的“卡氏积”，若，则_________. 二､选择题（13､14每题3分，15､16每题4分，共14分） 13. “⫋”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三､解答题（17､18题题各6分，19､20题各10分，21题12分，共44分） 17. 解下列关于的不等式组：. 18. 比较多项式与的大小. 19. 已知集合，集合为实常数； （1）若，若全集为实数集，求集合（用区间形式表示）； （2）若，求的取值范围. 20. 某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. （1）当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； （2）在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 21. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $