精品解析：山东济南山东大学实验学校2026-2027学年八年级上学期第一次检测数学试题

八年级数学阶段调研 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 任何数都有算术平方根 C. 立方根等于本身的数只有 D. 的立方根是 4. 在中，，，，则正方形的面积为（ ） A. 81 B. 144 C. 225 D. 169 5. 若实数x、y、z满足，则的算术平方根是（　　） A. 36 B. C. 6 D. 6. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A. 5m B. 6m C. 3m D. 7m 7. 有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 第二部分 非选择题 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在答题卡的横线上） 11. 请用“>，=，<”符号比较大小：________； 12. 的平方根是_______． 13. 已知点到x轴的距离是3，则______． 14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱． 15. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 16. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为________． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为_______． 18. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 22. 如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）按此方式继续画下去：根据图中所标数据． （1）填空：＝______，＝______； （2）记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 24. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 25. 如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的长； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段调研 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可． 【详解】在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有，，0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）共3个. 故选C. 【点睛】此题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的定义，属于基础题，要熟练掌握无理数的三种形式，难度一般． 2. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 3. 下列说法正确的是（ ） A. B. 任何数都有算术平方根 C. 立方根等于本身的数只有 D. 的立方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 在中，，，，则正方形的面积为（ ） A. 81 B. 144 C. 225 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 5. 若实数x、y、z满足，则的算术平方根是（　　） A. 36 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，， 所以，的算术平方根是6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查非负性的运用，平方根，能够利用非负性求出数值是解题关键． 6. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A. 5m B. 6m C. 3m D. 7m 【答案】A 【解析】 【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度． 【详解】解：设BO＝xm， 由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2， ∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2， 解得：x＝3， ， 即梯子AB的长为5m， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 7. 有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 8. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接， ，， ∴， 故选：C． 9. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 10. 已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… , ， ， ， 故选: C． 第二部分 非选择题 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在答题卡的横线上） 11. 请用“>，=，<”符号比较大小：________； 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 12. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 已知点到x轴的距离是3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】到轴的距离为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱． 【答案】612 【解析】 【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案． 【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m， ∴BC==12m， ∴（元）． 故填：612. 【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积． 15. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标． 【详解】解：长方形对角线的长：=， ∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为． 【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及算术平方根，熟练掌握实数与数轴及算术平方根是解题的关键；由数轴可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为． 18. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、平方根． （1）直接根据平方根的定义即可得出结论； （2）先移项，再由立方根的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 开方得或， 解得或； 【小问2详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）44 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【解析】 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 22. 如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）按此方式继续画下去：根据图中所标数据． （1）填空：＝______，＝______； （2）记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，，，得出规律，即可得出，； （2）由三角形面积公式求出，，得出规律即可． 【小问1详解】 由勾股定理的：， ， ， ， ， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意可得：， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法和二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理，并且通过计算得出规律． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据，结合题意即可获得答案； （2）先证明四边形是矩形，得到，，，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知， 则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，可有 ， 即， 解得， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高为． 24. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：①； ② ． 25. 如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的长； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2）秒钟 （3）11秒或12秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，用时间t表示出相应线段的长并根据题意列出方程成为解题的关键． （1）根据点P、Q的运动速度求出和，进而求得，然后运用勾股定理求解即可； （2）设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，列方程求解即可； （3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当时，则，可证明，则，则，从而求得t；②当时，则，易求得t；③当时，过B点作于点E，则求出，即可得出t． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：当点Q在边上运动时，， ∵为等腰三角形， ∴，解得：， ∴出发秒钟后，能形成等腰三角形． 【小问3详解】 解：①当时，如图1所示： 则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒． ②当时，如图2所示， 则， ∴秒． ③当时，如图3所示， 过B点作于点E，则， ∴， ∴， ∴， ∴秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $