第二十六章、第二十七章 综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章、第二十七综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列关于二次函数的说法中，正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最小值是 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将二次函数的图象向右平移个单位后经过点，则的值是（） A．2 B．2或4 C．6 D．4 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 7．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 12．（2026·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 13．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 14．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 15．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 16．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当 时，求函数的最大值和最小值． 18.（本题满分8分）（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 19.（本题满分8分）（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21.（本题满分10分）（2026·河南商丘·模拟预测）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间（分）的函数关系描述．如图，2~12分钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 22.（本题满分10分）（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 23.（本题满分10分）（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 24.（本题满分12分）（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点” （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章、第二十七综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列关于二次函数的说法中，正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及抛物线开口方向、一般式与顶点式互化、顶点坐标、对称轴、增减性和最值，数形结合，通过抛物线解析式中各个常数与图像的关系，得到相应性质，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 解：A、由二次函数中，则抛物线的开口向上，该选项错误； B、将二次函数化为顶点式为，则抛物线的顶点坐标是，该选项错误； C、将二次函数化为顶点式为，且对称轴为，则抛物线的开口向上，当时，随的增大而增大，该选项错误； D、将二次函数化为顶点式为，且对称轴为，则抛物线的开口向上，当时，函数的最小值是，该选项正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将二次函数的图象向右平移个单位后经过点，则的值是（） A．2 B．2或4 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移以及点与函数图象的关系，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律． 先根据二次函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入平移后的解析式，进而求解的值． 解：． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为 因为平移后的图象经过点， 把代入中， 可得，即． 则或． 当时，解得，因为，所以舍去． 当时，解得． 综上，的值为4， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 解：∵在反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：A． 4．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大；故，该函数为二次函数，求出其对称轴，利用二次函数性质解决即可． 解：当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大； 故，为二次函数， 对称轴为直线， ∵时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，且， 解得． 故选：D． 6．（2026·重庆·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点拨】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 7．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 8．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 9．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． 12．（2026·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 13．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 【答案】或 【分析】先求出点A，点B坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数的解析式，进而求出点C的坐标，根据坐标求出三角形面积，从而求出点P坐标． 解：因为， 在反比例函数的图象上， 所以，， 解得，， 所以， ， 将， 代入得：， 解得：， 所以一次函数解析式为：， 因为一次函数的图象与 y 轴交于点 C， 所以点C坐标为， ， 因为， 所以， 设点P坐标为， 所以， 解得，， 所以点P坐标为或． 14．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 15．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 16．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 或 或 【分析】本题考查二次函数，反比例函数，根据反比例函数图象上的点，二次函数图象上点的坐标特点的特征结合新定义，利用数形结合和分类讨论思想逐一进行判断即可． 解：设函数的“和谐点”坐标为， 根据“和谐点”定义，， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，， 所以，函数的“和谐点”坐标为或； （2）二次函数，其顶点坐标为， 因为该二次函数是“和谐二次函数”，所以顶点是“和谐点”，即， 解得， 所以二次函数的表达式为 对于二次函数，其对称轴为直线， 当时，； 当时，， 因为线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点，所以有两种情况：如图， ①当时，点Q在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有两个公共点，； 当时，点P在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 所以，当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． ②当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 综上，线段与二次函数图象有且只有一个公共点满足的条件是或． 故答案为：或；或 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）开口向上，对称轴， 顶点坐标；（3）最大值，最小值 解：（1） ； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 18.（本题满分8分）（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）抛物线与轴的交点坐标为和 【分析】（1）因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围； （2）由（1）可知，又因为是正整数，所以或，分情况求解即可． （1）解：抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知， 又是正整数， 或， 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和； 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点的横坐标都是整数， 不符合题意； 综上所述，该抛物线与轴交点坐标为和． 19.（本题满分8分）（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． （1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为；（2）该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． （1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 21.（本题满分10分）（2026·河南商丘·模拟预测）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间（分）的函数关系描述．如图，2~12分钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】（1）；；（2）每天至少需要执勤的时间为分钟． 【分析】本题考查了函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据二次函数的顶点坐标设顶点式，再将点代入二次函数的表达式求出的值即可；将点代入反比例函数函数表达式，求出的值即可； （2）求出当函数值为时，两段函数的自变量取值，再结合图象作差即可． （1）解：由图象可知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 将点代入二次函数的表达式得：， 解得：， 二次函数表达式为； 将点代入反比例函数函数表达式得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：由， 解得：或（舍）， 由， 解得：， ， 每天至少需要执勤的时间为分钟． 22.（本题满分10分）（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）；（3）的面积的最大值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． （1）解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； （3）解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 23.（本题满分10分）（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 【答案】（1），；（2）；（3）点或 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，进行求解即可； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． （1）解：把代入，得， ∴点A坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， ∵，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得，解得：， ∴点． 综上所述，点或 【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 24.（本题满分12分）（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点” （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 根据定义可知的k级变换点为， 将点代入函数，得， 无解，所以不存在； （2）证明：点的“k级变换点”为， ∴直线和直线的关系式为，， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）且 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）先求出两直线的关系式，再将代入关系式，讨论得出结论； （3）由定义可知“1级变换点”都在函数的图象上，再将两个函数关系式联立，根据图像有交点求出，进而确定两个图象的交点为，然后分和两种情况讨论，即可得出答案． 解：（1）略 （2）略 （3）解：二次函数的图象的点的“1级变换点”都在函数的图象上， 即， 整理，得， ， 函数的图象和直线有公共点， 由的公共点是． 当时，，得， 又， 解得， ∴且； 当，时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 所以n的取值范围是且． 【点拨】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级变换点”是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $