3.2.2 奇偶性分层同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·分层作业系列 3.2.2 奇偶性（分层作业，3层24题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约50分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约25分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 4题 约20分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约50分钟 一、单选题（共1小题） 1．已知是定义在上的奇函数，则的值为（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题设结合奇函数定义可得答案. 【详解】为上的奇函数，，令，得，． 二、填空题（共5小题） 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则________．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测） 【答案】3 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 又当时，，令，所以， 所以，所以. 3．已知函数且，则的值为________.（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 4．已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性比较函数值． 【详解】因为 是偶函数，所以 ，． 又因为 ，函数 在上为增函数，所以 ． ． 5．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 6．已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 三、解答题（共6小题） 7．已知函数为偶函数，求实数的值.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】利用偶函数定义可得对于任意的，，随后利用结合验证可得答案. 【详解】因函数为偶函数，且定义域为，则对于任意的，， 取，得， 从而. 当时，满足题设，故. 8．已知函数（a为常数）的图象过点．（25-26高二下·北京·学业考试真题） (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)因为函数的图象过点．所以，解得． 因此，．是偶函数，理由如下： 因为，都有，所以是偶函数． (2)或 【分析】（1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． 【详解】（1）略； （2）由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 9．判断下列函数的奇偶性：（26-27高一上·全国·课后作业） (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 10．判断下列函数的奇偶性：（26-27高一上·全国·课堂例题） (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 11．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，求不等式的解集．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】或 【详解】若定义域为的偶函数在上是增函数， 则在上是减函数，且， 因为，所以， 所以当且仅当或时，， 即的解集为或 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约25分钟 一、单选题（共4小题） 13．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在 单调递减，则在单调递增. 由和偶函数性质得. 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 所以不等式的解集为. 14．若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（ ）（26-27高一上·新疆·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或， 由，得，则，解得， 由，得或，则或， 解得或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 15．已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ）（26-27高一上·河南·期中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在R上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，求解即可. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在R上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于 或 ， 由可得，由可得， 所以或， 则不等式的解集为. 16．已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ）（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以. 当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由 ， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 二、多选题（共2小题） 17．设狄利克雷函数，符号函数，则（    ）（26-27高一上·山东·期中） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用狄利克雷函数、符号函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A：若，，因此； 若，则，； ，故对任意的，，故A正确； 对于B：若为无理数，则，，此时，故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立， 而当为无理数时，，此时，故C错误； 对于D，当为无理数时，也为无理数，此时， 当为有理数时，也为有理数，此时， 故对任意的，， 当时，，则，，此时； 当时，，则，，此时； 当时，. 故对任意的，， 综上所述，对任意的，，故D正确. 18．已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（    ）（26-27高三上·河北雄安·阶段检测） A． B． C．是奇函数 D．不可能是一次函数 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义、函数单调性的性质，结合一次函数的性质、代入法逐一判断即可. 【详解】A： 在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； B：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； C：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； D：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 三、填空题（共2小题） 19．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称；（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】 【详解】为偶函数，且由向左平移一个单位得到，故的图象关于对称； 为奇函数，且由向右平移两个单位得到，故的图象关于对称. 20．已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．（2027高三·全国·专题练习） 【答案】 【分析】由题意知函数在上单调递增，进而得在恒成立，再求解参数范围即可. 【详解】因为时，，所以在为单调递增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即在恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是． C 拓展创新（学有余力选做） 本层共4题，建议用时约20分钟 一、单选题（共1小题） 21．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ）（26-27高一上·天津·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数对称性与偶函数性质转化自变量，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】由，可知函数关于直线对称，即. 因为是定义在上的偶函数，所以. 因为在上单调递减，偶函数的图像关于轴对称，所以在上单调递增， 又，所以，即. 二、多选题（共2小题） 22．已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ）（26-27高一上·安徽·期中） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到 ，可判定C正确；令，得到分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，令，则有， 两式相减可得 ，所以，正确； 对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，错误； 对于C，令，有 ，所以 ， 所以，正确； 对于D，两式相加，可得， 令，则有，可得，所以是偶函数， 因为， 令，可得，整理得， 又因为， 令，可得，所以 ， 当时，可得，即， 当时，由C知： ，可得 ， 因为是偶函数，可得 ， 又因为 ，可得 ，即， 所以，即， 综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，正确． 23．已知函数的定义域为，且，，则（    ）（26-27高三上·江西宜春·阶段检测） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令，得到，且，可判定B正确；令，求得，可判定A正确；由，用代换，得到，联立方程组求得恒成立，可判定C错误；由为奇函数，和，求得，进而可判定D正确. 【详解】由题意知：对于任意，都有， 对于B，令，可得左边， 右边， 令，可得，即，可得， 代入上式，可得，整理得，所以B正确； 对于A，令，可得， 即， 由，且，可得， 代入上式得，左边， 右边， 即，所以，所以A正确； 对于C，由，可得， 将上式中替换为，可得， 联立方程组，可得， 整理得， 当时，可得，且， 所以，恒成立， 所以函数为奇函数，不是偶函数，所以C不正确； 对于D，因为函数为奇函数，可得， 由选项A知：，所以，即， 因为，可得，所以， 当时，，且，所以对于任意都成立， 因为函数在上为单调递增函数，所以在上单调递增，所以D正确. 三、填空题（共1小题） 24．已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测） 【答案】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·分层作业系列 3.2.2 奇偶性（分层作业，3层24题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约50分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约25分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 4题 约20分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约50分钟 一、单选题（共1小题） 1．已知是定义在上的奇函数，则的值为（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B．0 C．1 D．无法确定 二、填空题（共5小题） 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则________．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测） 3．已知函数且，则的值为________.（26-27高一上·全国·课后作业） 4．已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 5．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 6．已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________（26-27高一上·全国·课堂例题） 三、解答题（共6小题） 7．已知函数为偶函数，求实数的值.（26-27高一上·全国·课堂例题） 8．已知函数（a为常数）的图象过点．（25-26高二下·北京·学业考试真题） (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 9．判断下列函数的奇偶性：（26-27高一上·全国·课后作业） (1)； (2)； (3) 10．判断下列函数的奇偶性：（26-27高一上·全国·课堂例题） (1) (2)； (3) 11．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，求不等式的解集．（26-27高一上·全国·课堂例题） 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式．（26-27高一上·全国·课堂例题） B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约25分钟 一、单选题（共4小题） 13．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 14．若上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为（ ）（26-27高一上·新疆·期中） A． B． C． D． 15．已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ）（26-27高一上·河南·期中） A． B． C． D． 16．已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ）（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测） A． B． C． D． 二、多选题（共2小题） 17．设狄利克雷函数，符号函数，则（    ）（26-27高一上·山东·期中） A． B． C． D． 18．已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（    ）（26-27高三上·河北雄安·阶段检测） A． B． C．是奇函数 D．不可能是一次函数 三、填空题（共2小题） 19．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称；（2026高一上·全国·专题练习） 20．已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．（2027高三·全国·专题练习） C 拓展创新（学有余力选做） 本层共4题，建议用时约20分钟 一、单选题（共1小题） 21．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ）（26-27高一上·天津·期中） A． B． C． D． 二、多选题（共2小题） 22．已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ）（26-27高一上·安徽·期中） A． B． C． D．为奇函数 23．已知函数的定义域为，且，，则（    ）（26-27高三上·江西宜春·阶段检测） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 三、填空题（共1小题） 24．已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $