4.1指数（分层作业，8大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 4.1 指数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 根式的概念及辨析 题型02 根式的化简求值 题型03 分数指数幂与根式的互化 题型04 指数幂的运算 题型05 指数幂的化简求值 B组 能力进阶 题型01 指数运算中完全平方式、立方和或差公式的运算 题型02 解简单的指数方程 题型03 整体换元法解决条件求值 根式的概念及辨析题型01 1．（25-26高一上·山东·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 2．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 根式的化简求值题型02 1．化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 2．（25-26高一上·山东·期中）化简结果为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·期中）化简：______. 4．，求______． 5．若，则________. 6．化简：__________. 7．定义区间，其中，则满足的m的最大值为_____. 8．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2). 分数指数幂与根式的互化题型03 1．（25-26高一上·甘肃·联考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏连云港·学业水平）化简：   ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为______． 6．（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 7．计算：__________ 8．（25-26高一上·新疆·月考）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 指数幂的运算题型04 1．（   ） A．2 B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，化简__________． 4．（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 5．（24-25高一上·浙江金华·期中）化简： (1)； (2)； 指数幂的化简求值题型05 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D．. 2．（25-26高一上·北京·期中）___________． 3．（24-25高一上·浙江台州·期中）_____. 4．计算______. 5．（25-26高一上·安徽·期中）__________. 6．（24-25高一·山西阳泉·期末）化简：____________ 7．某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需__________轮；决出冠军的比赛总场数是__________. 8．（25-26高一上·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 指数运算中完全平方式、立方和或差公式的运算题型01 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）______. （2）已知，那么等于______. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）； （2）已知，求的值. 3．（25-26高一上·宁夏·期中）； （2）已知，求的值． 4．（24-25高一上·四川·月考）. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 5．（1）计算：； （2）若，求的值. 6．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 解简单的指数方程题型02 1．（25-26高一·云南·期末）若，则    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 2．（25-26高三上·海南·期末）设全集，集合，则   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则    ） A．2 B． C．3 D． 整体换元法解决条件求值题型03 1．已知，则_________. 2．若，则_________． 3．（1）化简：； （2）若，求的值． 4．（25-26高一上·吉林长春·期中）； （2）已知，求的值． 5．（25-26高一上·江苏·期中）化简或求值： (1)； (2)； (3)已知，求 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 7．（25-26高一上·浙江·期中）； （2）若，求． 8．（25-26高一上·江苏·月考）计算或化简： (1)化简：； (2)已知，求以及的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 指数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 根式的概念及辨析 题型02 根式的化简求值 题型03 分数指数幂与根式的互化 题型04 指数幂的运算 题型05 指数幂的化简求值 B组 能力进阶 题型01 指数运算中完全平方式、立方和或差公式的运算 题型02 解简单的指数方程 题型03 整体换元法解决条件求值 根式的概念及辨析题型01 1．（25-26高一上·山东·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 2．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 4．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 根式的化简求值题型02 1．化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 2．（25-26高一上·山东·期中）化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用根式运算化简即得. 【详解】当时，. 故选：B 3．（25-26高一上·安徽·期中）化简：______. 【答案】 【分析】根据根式的运算求得结果. 【详解】. 故答案为： 4．，求______． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 5．若，则________. 【答案】 【分析】利用化简，并去绝对值求出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6．化简：__________. 【答案】6 【分析】根据题意化根式为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：6. 7．定义区间，其中，则满足的m的最大值为_____. 【答案】4 【分析】根据给定条件，依次求出，即可求出m的最大值. 【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用根式的性质比较大小. 8．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分数开方等于分子分母分别开方； （2）由得出各项结果后再合并即可得到结果. 【详解】（1） （2） 分数指数幂与根式的互化题型03 1．（25-26高一上·甘肃·联考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 2．（25-26高一上·山东·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏连云港·学业水平）化简：   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式运算、指数运算等知识进行化简求值. 【详解】 . 故选：C 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式分析充分性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以由，所以充分性成立； 当，显然，但是，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为______． 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 7．计算：__________ 【答案】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确化简，即可求解； 【详解】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 8．（25-26高一上·新疆·月考）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 指数幂的运算题型04 1．（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果. 【详解】. 故选：B 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】因为， 所以能推出，且不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期中）已知，化简__________． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 【答案】 【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江金华·期中）化简： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再结合指数运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 指数幂的化简求值题型05 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查了指数幂的运算，属于简单题. 2．（25-26高一上·北京·期中）___________． 【答案】3 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】因为. 故答案为：3 3．（24-25高一上·浙江台州·期中）_____. 【答案】5 【分析】根据根式和指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：5. 4．计算______. 【答案】## 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 5．（25-26高一上·安徽·期中）__________. 【答案】## 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得： . 故答案为： 6．（24-25高一·山西阳泉·期末）化简：____________ 【答案】 【详解】原式. 7．某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需__________轮；决出冠军的比赛总场数是__________. 【答案】 7 119 【分析】根据比赛规则，第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，以后每轮淘汰一半同学，按每轮分析计算即可. 【详解】因为， 所以第二轮需要64名同学参加比赛， 则第一轮淘汰人， 即第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛， 则第二轮有64名同学参加比赛， 所以共进行了32场比赛，淘汰了32人， 则第三轮有32名同学比赛，则进行了16场比赛， 第四轮有16名同学参加比赛，共进行了8场比赛， 第五轮有8名同学参加比赛，共进行了4场比赛， 第六轮有4名同学参加比赛，共进行了2场比赛， 第七轮有2名同学参加比赛，共进行了1场比赛， 故直到决出冠军共需7轮比赛， 共进行了场比赛， 故答案为：7；119. 8．（25-26高一上·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式和指数运算化简求得正确答案. （2）根据根式和指数运算化简求得正确答案. 【详解】（1） . （2）由于，所以， 所以 . 指数运算中完全平方式、立方和或差公式的运算题型01 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）______. （2）已知，那么等于______. 【答案】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）5. 【分析】（1）利用指数运算法则及根式运算计算得解. （2）利用指数运算性质化简求解. 【详解】（1）原式. （2）由，得，则， 所以. 3．（25-26高一上·宁夏·期中）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）由，得，， 所以． 4．（24-25高一上·四川·月考）. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 【答案】（1）7；（2）65 【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可； （2）配凑立方和公式求解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，所以， 所以. 5．（1）计算：； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）23 【分析】（1）进行指数式运算可得；（2）将两边同时平方可得到的值，再将平方可求出的值，再用立方和公式将分解，代入、的值，即可求出的值. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，得. 所以，得. 所以， 所以. 6．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 解简单的指数方程题型02 1．（25-26高一·云南·期末）若，则    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·海南·期末）设全集，集合，则   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再根据补集的运算求解即可． 【详解】解：，，即， ． 故选：A． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂与根式的互化即可求解, 【详解】， 故选：D. 4．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【详解】由，得. 故选：C 整体换元法解决条件求值题型03 1．已知，则_________. 【答案】194 【分析】将平方可得，再将该式平方可得答案. 【详解】由得，即， 故，所以，则， 即， 故答案为：194. 2．若，则_________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 3．（1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）2. 【分析】（1）根据指数的运算可得答案； （2）将平方可得答案. 【详解】（1） （2）因为，所以， 所以. 4．（25-26高一上·吉林长春·期中）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）根据指数运算法则求解； （2）将两边平方可得，再平方可得，进而代入求解. 【详解】（1）原式． （2）由，故可得，整理得． ，整理得， 故． 5．（25-26高一上·江苏·期中）化简或求值： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用根式和分数指数幂的运算，即可得解； （2）根据题意，利用分数指数幂的运算法则，准确化简，即可得解； （3）根据条件得出的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得 （2）根据指数幂的运算法则，可得. （3）因为，且，可得. 所以. 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）219；（2）；（3） 【分析】（1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用指数幂的运算法则计算即可； （3）利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1） 首先，计算 ： ， ， 其次，计算： ，所以， 所以， 故. （2）， ， 故. （3）， 因此：. 7．（25-26高一上·浙江·期中）； （2）若，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式= =   = = = （2）由，得， 故， 又 =， 故. 8．（25-26高一上·江苏·月考）计算或化简： (1)化简：； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用根式的性质化简根式与分数指数幂即可； （2）利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解． 【详解】（1）化简， 分子为， 分母为， 则； 化简和， 对于，因为，所以， 可得， 对于，可得； 综上所述，． （2）对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $