4.1.2无理数指数幂及其运算性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕“无理数指数幂及其运算性质”，通过基础概念辨析、运算技能训练到综合创新应用的三级分层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的巩固路径，适配新授课后概念理解与能力初步提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根式定义、指数幂基本性质|选择题（如1、2题）辨析概念，填空题（如3题）强化基本化简，培养抽象能力| |中档层|指数幂运算、简单化简求值|计算题（如7题）训练运算技能，多选题（如6题）深化互化理解，发展推理意识| |提升层|综合求值、创新应用|新定义题（16题）提升抽象思维，阅读材料题（17题）培养应用意识与创新意识|

第四章　指数函数与对数函数 　无理数指数幂及其运算性质 考点一　根式 1.的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.±2 B.±4 C.2 D.4 2.若()n有意义,则n是 (　 ) A.正偶数 B.正整数 C.正奇数 D.整数 3.化简:-=　　　　　.  4.已知a是实数,若对任意x<0,|x|+2·+a·恒为定值,则a的值为　　　　.  考点二　指数幂及其运算 5.设a>0,m,n∈R,则下列等式恒成立的是 (　 ) A.am+an=am+n B. am·an=am-n C.=am+n D. am·an=am+n 6.(多选题)已知x>0,则下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　 ) A.()3= B.= C.·=1 D.()2·= 7.计算下列各式: (1);(2)2×3×; (3)(a>0); (4)2(x>0). 考点三　幂的化简与求值 8.经过化简,可得恒等式=xmyn(其中x>0,y>0),则m+n=　　　　.  9.(1)化简:++(0<a<b); (2)求值:×(-)0+×-. 10.已知-=2,求的值. 11.已知ab=-5,则a+b的值是 (　 ) A.2 B.0 C.-2 D.±2 12.(多选题)下列等式不正确的是 (　 ) A.=n7 B.= C.=(x+y D.= 13.(多选题)[2026·沈阳东北育才高中高一期中] 已知实数a满足a+a-1=3,则下列说法中正确的是 (　 ) A.a2+a-2=9 B.+= C.a-a-1=± D.=2 14.已知2a=5,8b=3,则2a-3b的值为　　　　.  15.[2026·湖北沙市中学高一月考] 化简求值: (1)已知yx=+1,求的值; (2)已知5m+5n=7,5m+n=6,求的值. 16.设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,[t3]=3,[t4]=4同时成立,则t的取值范围是　　　　.  17.阅读下列材料,然后回答问题. 在进行类似于二次根式的运算时,通常用如下两种方法将其进一步化简. 方法一:===-1. 方法二:====-1. (1)请用两种不同的方法化简; (2)化简++…++. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章　指数函数与对数函数 　无理数指数幂及其运算性质 1.C　[解析] =|-2|=2.故选C. 2.C　[解析] 被开方数为负数时,根指数n为正奇数.故选C. 3.3　[解析] -=|π-5|-(2-π)=5-π-2+π=5-2=3. 4.3　[解析] 由x<0,得|x|+2·+a·=|x|+2|x|+ax=-3x+ax=(a-3)x,因为对任意x<0,|x|+2·+a·恒为定值,所以a-3=0,解得a=3. 5.D　[解析] (am)n=amn , am·an=am+n,故B,C错误,D正确;令a=2,m=1,n=2,则21+22=6,21+2=8,此时am+an≠am+n ,故A错误.故选D. 6.BD　[解析] 在A中,()3=()3=,故A错误;在B中,==,故B正确;在C中,·=·==≠1,故C错误;在D中,()2·=()2·=·==,故D正确.故选BD. 7.解:(1)===. (2)2×3×=2××3××(22×3=2××3××××=×=2×32=18. (3)==. (4)2=-4=1-. 8.　[解析] 依题意,=,因为=xmyn,所以m=,n=,又n∈N*,n>1,所以n=2,所以m=,所以m+n=. 9.解:(1)因为0<a<b,所以a-b<0, 所以++=+|a-b|+(a-b)=+(b-a)+(a-b) ==(ab=(ab=. (2)×(-)0+×-=×1+(23×-=+×-=+-=2. 10.解:由-=2,得x+x-1=(-)2+2=6,则x2+x-2=(x+x-1)2-2=34, 所以==. 11.B　[解析] 因为ab=-5,所以a+b=a+b=a+b=a+b=.由ab<0,得=-,则原式=0.故选B. 12.ABC　[解析] 对于A,=n7m-7,故A中等式不正确;对于B,==,故B中等式不正确;对于C,当x=1,y=2时,==,(x+y=,则≠(x+y,故C中等式不正确;对于D,=(=[(32===,故D中等式正确.故选ABC. 13.BCD　[解析] 由a+a-1=3,得a>0.对于A,a2+a-2=(a+a-1)2-2=7,故A错误;对于B,+==,故B正确;对于C,|a-a-1|==,则a-a-1=±,故C正确;对于D,==a+a-1-1=2,故D正确.故选BCD. 14.　[解析] ∵8b=3,∴(23)b=23b=3,∴2a-3b==. 15.解:(1)由y2x-y-2x=(yx-y-x)(yx+y-x),得=yx-y-x, 又yx=+1,所以=(+1)-=+1-=. (2)由题得52m+52n=-2×5m5n=-2×5m+n=49-12=37, 5-m+5-n=+===, 所以===. 16.[,)　[解析] 由题可知t>0.由[t]=1,得1≤t<2;由[t2]=2,得2≤t2<3,则≤t<;由[t3]=3,得3≤t3<4,则≤t<;由[t4]=4,得4≤t4<5,则≤t<.因为1<=<=,=<==<=<2,所以t的取值范围是[,). 17.解:(1)方法一:原式===-. 方法二:原式====-. (2) 原式=×(-+-+…+-+-)=×(-)=. 学科网（北京）股份有限公司 $