浙江省台州市温岭市新河中学2024-2025学年高二上学期11月阶段性考试数学试题

浙江省台州市新河中学2024年11月阶段性考试 高二数学试题卷 班级：___________姓名：___________ 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）． A． B． C． D．1 2．直线是圆：的一条对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A． B． C． D．1 3．双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、（在右侧），若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，点A为，若射线FA与抛物线C相交于点B，与准线相交于点D，且，则a的值为（　　） A． B． C． D． 5．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为（  ） A．2 B． C． D．1 6．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆 上异于 的点，为平面内一点，且满足，过点 作直线 的垂线与直线 交于点 ，则（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 7．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 8．已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（    ） A．若，则最大值为2 B．若，则最大值为 C．若，则最大值为 D．若，则最大值为1 9．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．面积的最大值为1 3、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 10．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 11．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 12．已知椭圆、是椭圆（）长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，，且，若的最小值为1，则椭圆的离心率为 ． 13．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 四、解答题 14．（10分）已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 15．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为的左顶点，且． （1）求的方程； （2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，．求证：点与点的横坐标之积为定值． 16．（12分）已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. (1)求C的标准方程； (2)若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省台州市新河中学2024年11月阶段性考试 高二数学参考答案 一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解. 【详解】由可得抛物线标准方程为：， 所以抛物线的焦点为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题. 2．直线是圆：的一条对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用对称轴过圆心求得，从而确定点，利用勾股定理可求切线长． 【详解】由圆， 得圆心， 因为对称轴过圆心， 则，即， 因为两条切线长相等， 所以切线长为， 故选：． 【点睛】本题考查了圆的对称性，考查圆的方程与切线长公式，考查了转化思想与计算能力，是基础题． 3．双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、（在右侧），若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的性质、平面向量数量积的运算性质，结合双曲线的性质、余弦定理、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】由，得， 又由题意可得，为双曲线左支上的点，为双曲线右支上的点， 根据双曲线的定义可得，，， 所以，因此， 因为直线的斜率为，所以， 又，所以 ， 解得或（舍，双曲线的离心率大于1）. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面向量线性运算性质和平面向量数量积运算性质化简平面向量等式. 4．已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，点A为，若射线FA与抛物线C相交于点B，与准线相交于点D，且，则a的值为（　　） A． B． C． D． 解：抛物线C：y2＝ax，（a＞0）的焦点F（，0）， 设B在准线上的射影为N，由抛物线的定义知|BF|＝|BN|， ∴，则|DN|：|NB|＝2：1， ∴kFD2，∴a＝2．故选：B． 5．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为（  ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由椭圆与双曲线的定义表示长度，结合勾股定理与离心率的定义化简求解 【详解】设椭圆的长半轴是,双曲线的实半轴是，它们的半焦距是， 并设,根据椭圆的和双曲线的定义可得， 解得，∵由勾股定理得， ∴， 化简可得，∴， ∴， 故选：B 6．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆 上异于 的点，为平面内一点，且满足，过点 作直线 的垂线与直线 交于点 ，则（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】设坐标为，，所以是的中点，可表达出坐标，根据斜率表达出直线，直线，联立解出点坐标，在表达出与解之即可. 【详解】设坐标为，则， 根据题意知， ，所以坐标为， 直线 斜率为，所以直线方程为， 直线 斜率为，因为直线与直线 垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线 方程为， 联立直线 方程与方程， 求得点坐标为，则，， 所以. 故选：C 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 7．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 8．已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（    ） A．若，则最大值为2 B．若，则最大值为 C．若，则最大值为 D．若，则最大值为1 【答案】BC 【分析】 设点坐标，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解. 【详解】设，动点， 对A，，即，化简可得C的轨迹方程，所以三角形ABC的面积，即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误； 对B，由题意可得，化简可得C的轨迹方程，所以，即C点为时，三角形ABC面积最大，故B正确； 对C，由知，动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），椭圆方程为，三角形ABC的面积，即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确； 对于D，由题意，化简可得C的轨迹方程， 三角形ABC的面积， 由双曲线中的范围知，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误. 故选：BC 9．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．面积的最大值为1 【答案】ABD 【分析】根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项；进而根据四边形为平行四边形求选项；当轴时，根据对称性求选项；最后设，因为过焦点，则，则，求选项. 【详解】因为，则平分线段，又，则平分线段， 则四边形为平行四边形，故A对； 因为四边形为平行四边形，所以， 对于抛物线可证其有性质，证明如下： 若斜率存在，设：，， 与方程联立，得：， 由直线过焦点，成立， ，， ， 若斜率不存在，则：，易求得， ， 故，故B对； 当轴时，根据对称性，在轴上，此时，故错； 对于抛物线可证其有性质，证明如下： 设，因为过焦点， 设：， 与方程联立，得： ， 则，则 ， 则，又，则， 即为等腰三角形，且轴为的垂直平分线，故必在轴上， 此外，，则，则， 当与抛物线相切时，取得最大值1，即的最大值为1，故D对， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：若线段是抛物线的一条过焦点F的弦，则 ，. 3、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 10．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 11．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 12．已知椭圆、是椭圆（）长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，，且，若的最小值为1，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，可得，表示出，利用基本不等式可得，由此可求离心率. 【详解】设， 则，即有， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ， ，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为， 圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 且恰为双曲线的左焦点，， 又点是双曲线右支上的一点，则， 所以， 当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号. 故答案为： 四、解答题 14．（10分）已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 【答案】(1)(2)(3)或或 【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解； （2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的方程； 【详解】（1）因为曲线E：， 所以，则， 所以，， 故的周长为； （2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：， 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得：，， 因为，， 所以，则， 从而有， 消去，得，即， 所以直线AB的方程为； 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 15．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为的左顶点，且． （1）求的方程； （2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，．求证：点与点的横坐标之积为定值． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：易知点， 所以，，解得，，则， 所以，双曲线的方程为． （2）证明：分以下两种情况讨论： ①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即， 设点，、，， 联立可得， 则△，可得，则， 不妨点、分别为直线与直线的交点， 此时，． 综上所述，点与点的横坐标之积为定值． 16．（12分）已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. (1)求C的标准方程； (2)若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设MN的方程，与抛物线方程联立，表示出弦长，解得p的值； （2）由对称性得点P与N关于y轴对称，直线MP的方程与抛物线的方程联立，可得直线MP过定点，由的面积等于4，得直线MP的方程. 【详解】（1）由题，，则直线的方程为，，， 联立方程组，得，， ， 则，抛物线的方程为. （2） 由（1），，， 设直线MP的方程为， 因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，， 联立方程组，得， 所以，，得，所以直线MP过定点， 所以，所以，， ，，， 所以直线MP的方程为. 【点睛】直线MN与FP的斜率之和为0，等价与y轴平分，可得P与N关于y轴对称，利用（1）可得直线MP过定点，更易表示的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$