精品解析：广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年度第一学期学情练习（10月） 九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于菱形性质的说法，正确的是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 不是轴对称图形 2. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（ ） A. 32 B. 24 C. 48 D. 50 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 9. 若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12. 我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 13. 如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是___；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是___（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 14. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 15. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 三、解答题 16. 用公式法解一元二次方程：． 17. 某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？ 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 19. 阅读范例，解答问题： 范例：解方程： 解：（1）当时，即， 原式可变为，解得：，， （2）当时，即 原式可变为，解得：，， ∵，∴，均舍去， ∴原方程的解为，． 依照上例解法，解方程：． 20. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； （2）已知是多项式的一个因式，则______； （3）请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 22. 如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE． 观察猜想： （1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由． 探究说理： （2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题： ①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； ②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 23. 如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F． （1）求证：PA＝PF； （2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律． （3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期学情练习（10月） 九年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于菱形性质的说法，正确的是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 不是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 2. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“菱形的对角线互相垂直”可得，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点， ∴, ∵是的中点， ∴． 3. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（ ） A. 32 B. 24 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】连接，求出，根据勾股定理求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】用举反例法判断错误选项，结合特殊四边形判定定理验证其余选项． 【详解】解：根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误,符合题意． 6. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 7. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 8. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键．先解一元二次方程求出菱形的对角线，再根据菱形对角线垂直且互相平分及勾股定理求解即可． 【详解】解方程得， 或（舍去）， 即另一条对角线长是6， 菱形的一条对角线长为8， 菱形的边长． 故选：D． 9. 若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 10. 如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值． 【详解】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2， 连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴Rt△BHC中，BH=CH= ， ∴HG=HC-GC=3-2=1， ∴Rt△BHG中，BG= ， ∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短）， ∴PE+PF的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 12. 我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 13. 如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是___；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是___（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 【答案】 ①. ③ ②. ② 【解析】 【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，即AC⊥BD；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形． 【详解】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成， 连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点， ∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 要使四边形EFGH为矩形， 根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形， 故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形； 要使四边形EFGH为菱形， 根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH， 而EH=BD， ∴AC=BD． 故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形 故答案为：③；②． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质． 14. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 15. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 三、解答题 16. 用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 17. 某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？ 【答案】每件衬衫定价应为279元 【解析】 【分析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，根据平均每天的利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵尽快减少库存， ∴x＝20， ∴299﹣x＝279． 答：每件衬衫定价应为279元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并列出一元二次方程是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1）， （2） 证明：， ， ， ∵， ∴， ∴不论m取任何值，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用， （1）当时，原方程为用因式分解法解方程即可； （2）利用根的判别式进行证明即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ∴ ∴，； 【小问2详解】 略 19. 阅读范例，解答问题： 范例：解方程： 解：（1）当时，即， 原式可变为，解得：，， （2）当时，即 原式可变为，解得：，， ∵，∴，均舍去， ∴原方程的解为，． 依照上例解法，解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】首先分两种情况：和，然后根据绝对值的意义，把方程化简求解即可． 【详解】解：（1）当时，即， 则原式可变为， 解得：，， ∵，∴（舍去）， ∴； （2）当时，， 原式可变为，解得：，， ∵，∴（舍去）， ∴， 综上所述，原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、绝对值的意义，解本题的关键在准确找出两种情况：和，进行分类讨论． 20. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； （2）已知是多项式的一个因式，则______； （3）请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程． （1）利用直接求解； （2）设多项式的另一个因式为，则，再利用恒等得到，，然后解方程组即可； 先利用求根公式解方程得到，，然后利用求解． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个实数根为，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 设多项式的另一个因式为， ， 即， ，， 解得，； 故答案为：； 【小问3详解】 解方程， ， ， ，， ． 22. 如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE． 观察猜想： （1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由． 探究说理： （2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题： ①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； ②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）相等，见解析；（2）①四边形BECD是菱形，见解析；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，见解析 【解析】 【分析】（1）证出AC∥DE，根据AD∥CE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论； （2）①先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形； ②当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形． 【详解】解：（1）CE＝AD， ∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD． （2）①四边形BECD是菱形， 理由：∵D为AB中点，∠ACB=90°， ∴AD＝BD＝CD=AB． ∵CE＝AD， ∴BD＝CE． ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD＝CD ∴四边形BECD是菱形； ②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∴AC＝BC． ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵四边形BECD是菱形； ∴四边形BECD是正方形． 【点睛】本题考查了平行线判定，平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；等腰直角三角形的三线合一性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形，正方形判定，并能进行推理论证是解决问题的关键． 23. 如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F． （1）求证：PA＝PF； （2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律． （3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）PQ的长不变， 理由：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形ABCD为正方形， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴； （3）AB+BF＝PB 【解析】 【分析】（1）连接PC，由正方形的性质得到，，然后依据全等三角形的判定定理证明，由全等三角形的性质可知，，接下来利用四边形的内角和为360°可证明，于是得到，故此可证明； （2）连接AC交BD于点O，依据正方形的性质可知为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明，依据全等三角形的性质可得到； （3）过点P作，，垂足分别为M，N，首先证明为等腰直角三角形于是得到，由角平分线的性质可得到，然后再依据直角三角形全等的证明方法证明可得到，，于是将可转化为的长． 【详解】解：（1）证明：连接PC，如图所示： ∵ABCD为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴； （2）略 （3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N． ∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BD平分，，， ∴． 在RT和RT中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $